2023版新教材高中数学第八章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.1平面课时作业新人教A版必修第二册

8．4.1　平面

必备知识基础练　

1．下列命题正确的是(　　)

A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　　)

A．A⊂a，a⊂α，B∈α    B．A∈a，a⊂α，B∈α

C．A⊂a，a∈α，B⊂α    D．A∈a，a∈α，B∈α

3．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有(　　)

A．1条    B．2条

C．3条    D．1条或3条

4．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则(　　)

A．P∈c    B．P∉cC．c∩a＝∅    D．c∩β＝∅

5．(多选)下列图形中一定是平面图形的有(　　)

A．三角形    B．平行四边形

C．梯形    D．四条边相等的四边形

6．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．梯形的四个顶点共面

B．三条平行直线共面

C．有三个公共点的两个平面重合

D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．

7．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．

8．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱的条数为________．

关键能力综合练　

1．已知空间中有A，B，C，D，E五个点，如果点A，B，C，D在同一个平面内，点B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点(　　)

A．一定共面    B．不一定共面

C．一定不共面    D．以上都不对

2．下列命题是真命题的是(　　)

A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合

B．若四点不共面，则其中任意三点不共线

C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内

D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分

3．在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P(　　)

A．一定在直线BD上

B．一定在直线AC上

C．在直线AC或BD上

D．不在直线AC上，也不在直线BD上

4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC    B．直线AB

C．直线CD    D．直线BC

5．(多选)已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是(　　)

A．l⊄α，A∈l⇒A∉α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A

6．(多选)以下四个命题中，不正确的命题是(　　)

A．不共面的四点中，其中任意三点不共线

B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面

C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面

D．依次首尾相接的四条线段必共面

7．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．

8.在空间四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，若直线EH与FG相交于点P，则点P与直线BD的关系是________．

9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若P为棱BB1的中点，判断平面D1PC与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．

10．如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．

核心素养升级练　

1.如图，四棱锥P­ABCD，AC∩BD＝O，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点N，则下列结论正确的是(　　)

A．O，N，P，M四点不共面   

B．O，N，M，D四点共面

C．O，N，M三点共线   

D．P，N，O三点共线

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1和C1D1的中点分别为M，N.如图，若以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为(　　)

A．六边形　B．五边形    C．四边形　D．三角形

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：

(1)C1、O、M三点共线；

(2)E、C、D1、F四点共面；

(3)CE、D1F、DA三线共点．

8．4.1　平面

必备知识基础练

1．答案：D

解析：过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确．故选D.

2．答案：B

解析：点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.

故选B.

3．答案：D

解析：三个平面可能交于同一条直线，也可能有三条不同的交线，如图所示：

故选D.

4．答案：A

解析：

因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a⊂α，b⊂γ，

由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，

所以P∈α且P∈γ，

因为γ∩α＝c，所以P∈c，故选项A正确，选项B不正确；

因为P∈c，P∈a，所以c、a有公共点P，故选项C不正确；

因为P∈b，b⊂β，所以P∈β，因为P∈c，所以c与β有公共点P，故选项D不正确．

故选A.

5．答案：ABC

解析：由平面及基本性质知：

三角形的三个顶点不共线，故三角形一定是平面图形，故A正确；平行四边形的两组对边分别平行，故平行四边形一定是平面图形，故B正确；梯形有一组对边平行，故梯形一定是平面图形，故C正确；四边相等的四边形可能是空间四边形，故D不正确．故选ABC.

6．答案：AD

解析：梯形是平面图形，四个顶点共面，A正确；三条平行直线可以确定1个或3个平面，B错误；若这三个点共线，则两个平面相交，故C错误；若三条直线交于一点，可以确定3个平面，若三条直线交于三点，可以确定1个平面，D正确．

故选AD.

7．答案：A∈m

解析：因为α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，

所以A∈α，A∈β，所以A∈m.

8．答案：5

解析：如图，满足条件的有BC，DC，BB1，AA1，D1C1.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：设点A，B，C，D在同一个平面α内，

若E∈α，则五点共面，

若B，C，D∈l，且E∉α，这种情况五点不共面．

故选B.

2．答案：B

解析：A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；C.空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥P­ABC，相交于同一点P的三条直线PA，PB，PC不在同一平面内，所以该选项错误；D.三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误．

故选B.

3．答案：B

解析：如图，

∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.

又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.

故选B.

4．答案：C

解析：由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β.

又D∈AB，∴D∈平面ABC，

即D在平面ABC与平面β的交线上．

又C∈平面ABC，C∈β，

∴点C在平面β与平面ABC的交线上．

从而有平面ABC∩平面β＝CD.

故选C.

5．答案：BCD

解析：l⊄α，A∈l，则点A可能在面α内，也可能不在面α内．故错误；为公理2，可判断面面相交．故B正确；为公理1，可判断出线在面内．故C正确；A∈α，A∈l说明直线与平面有公共点，又l⊄α，所以l∩α＝A.故D正确．

故选BCD.

6．答案：BCD

解析：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确；若A，B，C三点共线，直线DE与直线AC异面，此时A，B，C，D，E不共面，B错误；a，b共面，a，c共面，此时b，c可为异面直线，C错误；依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D错误．

故选BCD.

7．答案：共线

解析：因AC∥BD，则AC与BD确定一个平面β，而C，D∈α，从而得α∩β＝CD，

又l∩α＝O，即O∈α，而l⊂β，则有O∈β，于是得O∈CD，

所以O，C，D三点共线．

8．答案：P∈BD

解析：由题意，P∈EH，P∈FG，而EH⊂平面ABD，FG⊂平面CBD，

∴P∈平面ABD，P∈平面CBD，而平面ABD∩平面CBD＝BD，

∴P∈BD.

9．解析：平面D1PC与平面ABCD相交，

如图，连接DB、D1P并延长交于Q，连接CQ，

则平面D1PC∩平面ABCD＝CQ.

10．证明：因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．

所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α，

所以l⊂α，因为C∈l，所以C∈α，因为A，B，C，D∈α，

所以AD⊂α，BD⊂α，CD⊂α，即直线AD，BD，CD在同一平面内．

核心素养升级练

1．答案：D

解析：直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC内，点N∈AM，故N∈平面PAC，故O，N，P，M四点共面，所以A错．

若点D与M，N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错．

O，M为中点，所以OM∥PA，ON∩PA＝P，故ON∩OM＝O，故C错．

故选D.

2．答案：B

解析：如图，延长AM，A1B1相交于点P，

连接PN并延长，与B1C1相交于点E，与A1D1的延长线相交于点Q，

连接AQ，与DD1相交于点F，

连接NF，ME，则五边形AMENF即为截面．

故选B.

3．证明：(1)∵A1C∩平面BDC1＝O，∴O∈A1C，O∈平面BDC1；

又∵A1C⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1；

∵AC、BD交于点M，∴M∈AC，M∈BD；

又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1，

∴M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1；

又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1；

∴C1、O、M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上，

∴C1、O、M三点共线．

(2)连接EF，

∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF∥BA1，

又∵BC∥A1D1，BC＝A1D1，∴四边形BCD1A1是平行四边形，

∴BA1∥CD1，∴EF∥CD1，∴E、F、C、D1四点共面．

(3)∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

设CE与D1F交于一点P，则P∈CE，CE⊂平面ABCD，

∴P∈平面ABCD，同理，P∈平面ADD1A1，

∴P∈平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

∴直线CE、D1F、DA三线交于一点P，即三线共点．