2023版新教材高中数学第八章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.1直线与直线平行8.5.2直线与平面平行课时作业新人教A版必修第二册

8．5.1　直线与直线平行8．5.2　直线与平面平行

必备知识基础练　

1．不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形(　　)

A．一定是全等三角形

B．一定是相似但不全等的三角形

C．一定是相似或全等的三角形

D．可能不全等或相似

2．下列命题正确的是(　　)

A．a∥b，b⊂α⇒a∥α

B．a∥α，b⊂α⇒a∥b

C．a∥α，a∥b⇒b∥α

D．a⊄α，a∥b，b⊂α⇒a∥α

3．已知平面α∩平面β＝l，直线a∥α，a∥β，则直线a与l的位置关系是(　　)

A．平行或异面    B．相交C．平行    D．异面

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)

A．相交    B．异面

C．平行    D．垂直

5.

若直线a∥平面α，A∉α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF的长为(　　)

A．3    B．C．    D．

6．(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的是(　　)

A．OM∥平面PBC    B．OM∥平面PCD

C．OM∥平面PDA    D．OM∥平面PBA

7.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．

8．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱PC上的点(不与端点重合)，平面ABE与棱PD交于点F，求证：

(1)AB∥平面PCD；

(2)AB∥EF.

关键能力综合练　

1．若a，b是空间中两条不相交的直线，则过b且平行于a的平面(　　)

A．有且仅有一个    B．有一个或无数个

C．至多有一个    D．有无数个

2．已知m，n是两条异面直线，下列说法中正确的是(　　)

A．过直线m没有一个平面与直线n平行

B．过直线m有无数个平面与直线n平行

C．过直线m有两个平面与直线n平行

D．过直线m有且只有一个平面与直线n平行

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l⊂平面A1B1C1D1，且直线l与直线B1C1不平行，则下列一定不可能的是(　　)

A．l与AD平行    B．l与AD不平行

C．l与AC平行    D．l与BD平行

4．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P、D，则四边形EFBC是(　　)

A．空间四边形    B．矩形

C．梯形    D．平行四边形

5．(多选)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F，G，H，I分别为棱AB，CD，BC，A1D1，AD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．A1E∥D1F

B．A1E∥HF

C．EG∥平面D1IF

D．A1E∥平面D1FGB1

6．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　　)

7．已知α，β是不同的平面，a，b是不同的直线．给出下列四个论断：①α∩β＝b；②a⊂β；③a∥b；④a∥α.以其中三个论断作为条件，剩下一个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：________________．

8．P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB，△PBC的重心，AC＝a，则DE的长为________．

9．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．

(1)求证：AM∥平面BDE；

(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．

10．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．

(1)若E、F分别是PD和BC中点，求证：EF∥平面PAB；

(2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD中点．

核心素养升级练　

1．如图，在三棱锥P­ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为(　　)

A．1    B．2C．    D．

2．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件________时，A1P∥平面BCD(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)

3．如图所示正四棱锥S­ABCD，SA＝SB＝SC＝SD＝4，AB＝2，P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD，求：

(1)正四棱锥S­ABCD的表面积；

(2)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

8．5.1　直线与直线平行

8．5.2　直线与平面平行

必备知识基础练

1．答案：C

解析：根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等．故选C.

2．答案：D

解析：a∥b，b⊂α，有可能a⊂α，A错误；a∥α，b⊂α，有可能a，b异面，B错误；a∥α，a∥b，有可能b⊂α，C错误；由线面平行的判定定理可知D正确．故选D.

3．答案：C

解析：过a作平面γ∩α＝m，a∥α，则m∥a，

过a作平面η∩β＝n，a∥β，则n∥a

所以m∥n，m⊄β，n⊂β，则m∥β，

而m⊂α，平面α∩平面β＝l，则m∥l，

综上，a∥l.

故选C.

4．答案：C

解析：

如图，连接AD1，CD1，AC，

因为E，F分别为AD1，CD1的中点，

由三角形的中位线定理知EF∥AC，GH∥AC，

所以EF∥GH.

故选C.

5．答案：B

解析：∵BC∥α，BC⊂平面ABC，平面ABC∩α＝EF，

∴EF∥BC，∴＝，即＝，∴EF＝.故选B.

6．答案：BC

解析：M∈平面PBC，故A错误；

由于O为BD的中点，M为PB的中点，则OM∥PD，OM⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，则OM∥平面PCD，故B正确；

由于OM∥PD，OM⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，则OM∥平面PAD，故C正确；

由于M∈平面PAB，故D错误．

故选BC.

7．答案：平行

解析：在△ABC中，AE∶EB＝AF∶FC，

∴EF∥BC，三棱柱ABC­A1B1C1中，有BC∥B1C1，

∴EF∥B1C1.

8．证明：(1)∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD.

(2)∵AB∥面PCD，又∵AB⊂面ABEF，面ABEF∩面PCD于EF，∴AB∥EF.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：∵a，b是空间中两条不相交的直线，∴a，b只可能平行或者异面．

当a，b平行时，则过直线b且平行于直线a的平面有无数个；

当a，b异面时，如图，

在b上取一点O，过O作c∥a，则b，c确定平面α，

∴a∥α，此时过直线b且平行于直线a的平面有且只有一个．

故选B.

2．答案：D

解析：如图所示：

在直线n上任取一点O，作n′∥n，

因为n′∩m＝O，则确定平面α，

又因为n⊄α，n′⊂α，

所以n∥α，

故选D.

3．答案：A

解析：假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，

这与直线l与直线B1C1不平行矛盾，

所以直线l与直线AD不平行．

故选A.

4．答案：C

解析：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，

所以BC∥平面PAD，

因为BC⊂平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，

所以BC∥EF，

因为BC＝AD，EF<AD，

所以EF<BC，

所以四边形EFBC为梯形，

故选C.

5．答案：ACD

解析：连接FE，因为E，F为AB，CD的中点，故FE平行且等于AD.

由题意知AD平行且等于A1D1，故FE平行且等于A1D1，所以四边形FEA1D1为平行四边形，所以A1E∥D1F，故A正确；

显然A1E与HF为相交直线，故B错误；

因为EG∥IF，同时IF在平面D1IF内，且EG不在平面D1IF内，所以EG∥平面D1IF，故C正确；

因为A1E∥D1F，同时D1F在平面D1FGB1内，且A1E不在平面D1FGB1内，所以A1E∥平面D1FGB1，故D正确．

故选ACD.

6．答案：BCD

解析：OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；

由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；

由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故C正确；

由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故D正确．

故选BCD.

7．答案：①②④⇒③，①②③⇒④

解析：由线面平行的判定定理与性质定理得①②④⇒③，①②③⇒④.

8．答案：a

解析：如图，∵D，E分别是△PAB，△PBC的重心，连接PD，PE，并延长分别交AB，BC于M，N点，则M，N分别为AB，BC的中点，

∴DE∥MN且DE＝MN，MN∥AC且MN＝AC，

∴DE∥AC且DE＝AC，

∴DE＝a.

9．证明：(1)令AC∩BD＝O，连OE，如图，

四边形ABCD是正方形，即O是AC中点，而M是矩形ACEF边EF的中点，

则有AO＝AC＝FE＝ME，且AO∥ME，于是得四边形AOEM为平行四边形，

则AM∥OE，又OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

所以AM∥平面BDE.

(2)l∥m，由(1)知，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，因此，l∥AM，

AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，因此，m∥AM，

所以l∥m.

10．解析：(1)取PA中点G，连接BG，EG，

在△PAD中，因为E，G分别为所在边的中点，所以EG∥AD，且EG＝AD，

又因为底面ABCD为平行四边形，F为BC的中点，

所以BF∥AD，且BF＝AD，

所以EG∥BF，且EG＝BF，

所以四边形BFEG为平行四边形，

所以EF∥BG，因为EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，

所以EF∥平面PAB.

(2)连接BD，交AC于H，连接EH，

因为PB∥平面ACE，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EH，

所以PB∥EH，在△PBD中，H为BD中点，

所以E为PD中点．

核心素养升级练

1．答案：C

解析：连接CD，交PE于G，连接FG，如图，

∵AD∥平面PEF，平面ADC∩平面PEF＝FG，

∴AD∥FG，

∵点D，E分别为棱PB，BC的中点．

∴G是△PBC的重心，

∴＝＝.

故选C.

2．答案：P是CC1中点

解析：取CC1中点P，连结A1P，

∵在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，

∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，

∵A1P⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，

∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD.

3．解析：(1)正四棱锥S­ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝4，AB＝2，则侧面的高h＝，

所以正四棱锥S­ABCD的表面积S＝2×2＋4×××2＝8＋8.

(2)在侧棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC，满足＝2，

理由如下：

取SD中点为Q，因为SP＝3PD，则PQ＝PD，

过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE.

在△BDQ中有BQ∥PO，PO⊂平面PAC，BQ⊄平面PAC，

所以BQ∥平面PAC，

又由于QE∥PC，PC⊂平面PAC，QE⊄平面PAC，

所以QE∥平面PAC，而BQ∩QE＝Q，故平面BEQ∥平面PAC，

又BE⊂平面BEQ，则BE∥平面PAC，此时＝＝2.