第8章立体几何初步8.6.3第1课时二面角及平面与平面垂直的判定定理学案含解析

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8.6.3　平面与平面垂直第1课时　二面角及平面与平面垂直的判定定理在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度．问题：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？知识点1　二面角1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．2．相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱，(2)两个半平面叫做二面角的面．3．画法：4．记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q．5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA⊂α，OB⊂β；(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AOB．6．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？[提示]　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．1．如图所示的二面角可记为(　　)A．α­β­l　　B．M­l­N　　C．l­M­N　　D．l­β­αB　[根据二面角的记法规则可知B正确．]2．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于________．90°　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°，∴所求二面角的大小为90°．] 知识点2　平面与平面垂直1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．画法：3．记作：α⊥β．4．判定定理：2．两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？[提示]　不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)A．α⊥γ，β⊥γ　　　　 B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥βD　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行又a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β．]4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有(　　)A．1对　　　 B．2对C．3对 D．5对D　[∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA．又AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB．又易证AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．] 类型1　二面角的计算问题【例1】　如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值．[解]　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD．由二面角的定义可知∠AMB为二面角A­CD­B的平面角．设点H是△BCD的重心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq \f(\r(3),2)×2＝eq \r(3)，HM＝eq \f(\r(3),2)×2×eq \f(1,3)＝eq \f(\r(3),3)，则cos∠AMB＝eq \f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq \f(1,3)，即二面角的余弦值为eq \f(1,3)．求二面角大小的方法和步骤是什么？[提示]　1．确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．2．求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．eq \o([跟进训练])1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝eq \f(1,2)AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小．[解]　因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD，所以BD⊥AC．又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面 ACD．因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝eq \f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°．即平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°． 类型2　平面与平面垂直的判定【例2】　(对接教材P158例8)如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．求证：平面ABC⊥平面SBC．[证明]　(1)法一：(利用定义证明)因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝eq \f(\r(2),2)a，BD＝eq \f(BC,2)＝eq \f(\r(2),2)a．在Rt△ABD中，AD＝eq \f(\r(2),2)a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC．法二：(利用判定定理)因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为等腰直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC．又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．eq \o([跟进训练])2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD．[证明]　连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE．因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC．因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD．1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　　)A．0个　　　　　　　 B．1个C．无数个 D．1个或无数个D　[设P为平面α外一点，O为平面α内一点．当PO⊥α时，过直线PO有无数多个平面与平面α垂直；当PO与α不垂直时，过直线PO有且只有1个平面与平面α垂直．]2．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小为(　　)A．90°　　　B．60°　　　C．45°　　　D．30°A　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC即为二面角B­PA­C的平面角．又∠BAC＝90°，∴二面角B­PA­C的大小为90°]3．(多选题)已知l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列命题正确的有(　　)A．α∥β⇒l⊥m B．α⊥β⇒l∥mC．l∥m⇒α⊥β D．l⊥m⇒α∥βAC　[∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故C正确．]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于________．45°　[根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A­BC­A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°．]5．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．证明：平面AB1C⊥平面A1BC1．[证明]　因为BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)二面角的定义是什么？如何作二面角的平面角？(2)如何求二面角的平面角的大小？(3)二面角的取值范围是什么？(4)如何证明两个平面垂直？学 习 任 务核 心 素 养1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)3．熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)1． 通过学习平面与平面垂直的判定定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．2． 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β