高中数学新教材必修第二册课件PPT 第8章 §8.3 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

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高中数学新教材同步课件必修第二册 高考政策|高中“新”课程，新在哪里?1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第八章　 §8.3　简单几何体的表面积与体积1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计 算公式求几何体的表面积与体积.学习目标在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？导语随堂演练课时对点练一、圆柱、圆锥、圆台的表面积二、圆柱、圆锥、圆台的体积三、球的表面积与体积内容索引一、圆柱、圆锥、圆台的表面积问题1　如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？提示　圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长.问题2　如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？提示　圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.问题3　如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？提示　圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).2πr22πrl2πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l)πr′2πr2π(r′l＋rl)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)例1　(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为√解析　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为A.7 B.6 C.5 D.3√解析　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3.反思感悟　圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1　圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是√又侧面展开图为一个正方形，二、圆柱、圆锥、圆台的体积问题4　我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？πr2h例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是√√(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为______.224π解析　设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图.∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.∴下底面半径R＝8，高h＝8，反思感悟　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.√解析　作圆锥的轴截面，如图所示，由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.设圆锥的高为h，底面半径为r，三、球的表面积与体积问题5　设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的体积公式吗？提示　分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式.1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径).2.球的体积公式V＝ .4πR2√∴S球＝4πR2＝16π.A.4π B.12π C.24π D.48π√∴S球＝4πR2＝12π.反思感悟　计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径.√解析　设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，(2)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为_____.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.(3)球的表面积和体积.2.方法归纳：公式法.3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.课堂小结随堂演练A.π B.2π C.3π D.4π√1234所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为A.3 B.4 C.5 D.6√1234故h＝3.3.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是√12341234课时对点练1.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为√解析　由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.基础巩固123456789101112131415162.轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的√解析　设该等边圆锥的半径为R，则母线l＝2R，∴S底＝πR2，S侧＝πRl＝2πR2，∴S侧＝2S底.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析　绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为√123456789101112131415165.(多选)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的√12345678910111213141516√√解析　如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，12345678910111213141516表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π.6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)A.6 250 B.3 050C.2 850 D.2 350√12345678910111213141516解析　由题意知，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为17.6 cm，高为8.8 cm的正方体的体积减去底面直径为4.9 cm，高为8.8 cm的圆柱的体积.12345678910111213141516结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为2 350 cm3.7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____.12π解析　由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，12345678910111213141516故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比为______，其体积之比为________.2∶112345678910111213141516∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.12345678910111213141516解　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h，表面积为S.12345678910111213141516解　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.1234567891011121314151611.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为A.5π B.6π C.20π D.10π√解析　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.12345678910111213141516综合运用12.正方体的内切球与其外接球的体积之比为√1234567891011121314151613.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A.2寸 B.3寸C.4寸 D.6寸12345678910111213141516√解析　由已知得天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸，则盆口面积为196π，盆底面积为36π，又盆深18寸，盆中水深9寸，12345678910111213141516∴积水水面面积为100π，14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.123456789101112131415163∶1∶2解析　设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，12345678910111213141516＝3∶1∶2.15.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为____ cm，表面积等于______ cm2.拓广探究1234567891011121314151620224π解析　设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20 cm.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).1234567891011121314151616.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚度忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？材料最省为多少？12345678910111213141516解　要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.12345678910111213141516