人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试优秀导学案及答案

25  几何法解空间角

【题组一  线线角】

1．如图，在正四面体中，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

2．已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，点在上，且，则异面直线与所成角为         .

3．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥中，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是  ________．

4．已知为正三棱锥，则与所成角大小为 ________．

5．如图，为等边三角形所在平面外一点，且，分别为的中点，则异面直线与所成的角为________．

6．如图，在底面为正方形的四棱锥中，，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．

7．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．

【题组二  线面角】

1．如图，已知是等腰三角形，且，，点是的中点将沿折起，使得，则此时直线与平面所成角的正弦值为 ________．

2．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成的角的正切值为      .

3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值.

4．如图几何体中，底面为正方形，平面，，且.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的大小.

5．如图，正方形的边长为2，与的交点为，平面，，且.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

6．如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB ，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F 分别为AC，BP中点．

（1）求证：EF∥平面PCD；

（2）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

7．已知四边形是正方形，平面，平面，，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

8．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值.

9．如图，在四棱锥中中，，，，，是正三角形.

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的余弦值.

10．已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，E为PC的中点．

（1）证明：；

（2）求直线AP与平面ADE所成角．

【题组三  二面角】

1．如图,在四面体ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=,则二面角A-BC-D的大小为         。

2．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，平面平面且.

（1）求证：；

（2）求二面角的正切值.

3．如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形．且，点是的中点．

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

4．已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（1）求证：BD⊥AE

（2）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

5．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求证：

（1）平面；

（2）平面平面；

（3）二面角的平面角的大小.

6．如图所示，在棱台中，平面，，

（1）求证：；

（2）求二面角的大小.

7．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

8．如图，四边形ABCD是棱长为2的正方形．E为AD的中点，以CE为折痕把折起，使点D到达点P的位置，且点P的射影O落在线段AC上．

（1）求；

（2）求二面角的余弦值．

9．已知斜三棱柱的棱长都是，侧棱与底面成60°角，侧面底面.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

10．已知四棱锥中,底面是直角梯形,∥,,,,又平面,且,点在棱上且.

（1）求证:;

（2）求与平面所成角的正弦值;

（3）求二面角的大小.