数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课堂检测

8．3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

必备知识基础练　

1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)

A．48    B．64C．16    D．96

2．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为(　　)

A．4    B．4C．4＋4    D．4＋4

3．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为(　　)

A．80    B．240

C．350    D．640

4．中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为(　　)

A．144    B．72C．36    D．24

5．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为(　　)

A．    B．

C．    D．

6．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两部分空间图形的说法正确的是(　　)

A．侧面积之比为1∶2    B．侧面积之比为1∶8

C．体积之比为1∶27    D．体积之比为1∶26

7.

如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为________．

8．若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为________．

关键能力综合练　

1．已知正三棱柱的体积为，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为(　　)

A．1    B．

C．2    D．

2．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是36，点E在棱CC1上，且CE＝2EC1，则三棱锥E­BCD的体积是(　　)

A.2    B．3C．4    D．6

3.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥C1­A1BD的体积为(　　)

A．    B．

C．    D．

4．如图，等边△ABC的边长为4，D，E，F分别为AB，BC和AC的中点，将△BDE、△CEF、△ADF分别沿DE、EF和DF折起，使A、B、C三点重合，则折叠后的四面体的体积为(　　)

A．    B．C．    D．

5．已知正四棱锥S­ABCD，底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为(　　)

A．    B．2

C．    D．2

6．已知斜三棱柱A′B′C′­ABC的体积为2，则四棱锥B­AA′C′C的体积是(　　)

A．    B．

C．    D．

7．如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为________．

8．一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图1，底面处于水平状态).将容器放倒(如图2，一个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为________．

9．如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体．

(1)该截角四面体的表面积；

(2)该截角四面体的体积．

10．如图，一块边长为1 m的正方形铁片上有四块阴影部分．将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器(无盖).

(1)把容器的容积V(单位：m3)表示为x(单位：m)的函数；

(2)记x＝0.8 m时的正四棱锥形容器为容器Ⅰ，求容器Ⅰ的体积；为了保证容器的经久耐用，计划给容器的表面涂刷油漆．已知涂刷油漆包工包料价格为每平方米80元，根据需求要给100个容器Ⅰ涂刷油漆，需投入资金多少元？

核心素养升级练　

1．《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ­ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ∥AB，AB＝4，AD＝3，PQ＝2，OR＝1(长度单位：丈).则楔体PQ­ABCD的体积为(体积单位：立方丈)(　　)

A．10    B．8C．6    D．5

2．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同(　　)

A．没有水的部分始终呈棱柱形

B．水面EFGH所在四边形的面积为定值

C．当容器倾斜如图②所示时，AE＋DH为定值

D．当容器倾斜如图③所示时，AE·AH为定值

3．如图，四边形ABCD为正方形，AG⊥平面ABCD，AG∥DF∥CE，若AG＝AB＝3，DF＝2，CE＝1，则VB­EGD∶VG­BEF＝________．

8．3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

必备知识基础练

1．答案：B

解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝96，

∴a＝4，故体积为a3＝43＝64.

故选B.

2．答案：C

解析：依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为×22＝，

所以四棱锥的表面积为4＋4.

故选C.

3．答案：B

解析：由题意可知，该棱台的侧面为上、下底分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，

∴等腰梯形的高为 ＝8，

∴等腰梯形的面积为×(4＋16)×8＝80，

∴该棱台的侧面积为3×80＝240.

故选B.

4．答案：B

解析：

如图，正六边形的每个内角为120°，

按虚线处折成高为的正六棱柱，即BF＝，所以BE＝＝1，

可得正六棱柱底边边长AB＝6－2×1＝4，

则正六棱柱的底面积为S＝6××4×4×＝24，

所以正六棱柱的体积V＝24×＝72.

5．答案：B

解析：

如图，由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为EG＝＝，高为EO＝＝，则其体积为2V＝2×＝2×＝，其表面积为8S＝8×＝8×＝8，

∴此正八面体的体积与表面积之比为.

故选B.

6．答案：BD

解析：依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.

故选BD.

7．答案：2

解析：设正方体边长为a，则×a2×a＝，解得a＝2.

8．答案：

解析：上底面的对角线长为2，下底面的对角线长为4，侧棱长为3，

所以正四棱台的高为 ＝，

正四棱台的体积为×(4＋＋16)×＝.

关键能力综合练

1．答案：C

解析：设该正三棱柱的底面边长为a，由题可知该正三棱柱的体积V＝Sh＝×a×a×sin 60°×a＝a3＝，所以a＝，

即该正三棱柱的底面边长为，高为，故一个侧面的对角线长为l＝＝2.

故选C.

2．答案：C

3．答案：A

4．答案：C

解析：

如图所示：正四面体S­DEF，O是S在底面的投影，则正四面体棱长为2且SO⊥OD.

由于OD＝××2＝，则SO＝＝，

所以体积V＝××2×2××＝.

故选C.

5．答案：C

解析：因为正四棱锥S­ABCD，底面边长是2，所以底面积为2×2＝4.

设正四棱锥的高为h，由V＝×4h＝，所以h＝.

所以侧棱长为l＝＝＝.

即侧棱长为.

故选C.

6．答案：A

解析：因为VB－A′B′C′＝VA′B′C′－ABC＝，

所以VB－AA′C′C＝VA′B′C′－ABC－VB－A′B′C′＝.

故选A.

7．答案：4

解析：六个面的中心构成的多面体共8个面，每个侧面都是全等的正三角形，且正三角形的边长为，所以表面积为8××()2×＝4.

8．答案：a

解析：设正三棱柱的底面积为S，图1中水面的高度为h，则水的体积V1＝Sh.因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以S△AEF＝S，S四边形BCFE＝S，所以图2中水的体积V2＝(S)×(2a)＝Sa.又V1＝V2，所以h＝a.

9．解析：(1)依题意，该截角四面体由4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成，

截角四面体中，正三角形的面积S1＝×1×1×＝，

边长为1的正六边形的面积S2＝6××1×1×＝，

所以该截角四面体的表面积为S＝4×＋4×＝7.

(2)该截角四面体是棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得，

棱长为1的正四面体的高h＝＝，棱长为3的正四面体的高为3h＝，

则棱长为1的正四面体的体积V1＝××12×＝，

棱长为3的正四面体的体积V2＝××32×＝，

所以该截角四面体的体积为：V＝V2－4V1＝－4×＝.

10．解析：(1)正四棱锥的斜高为m，正四棱锥的高为h＝＝m，

所以，V＝x2h＝(m3)，其中0<x<1.

(2)当x＝0.8 m时，容器Ⅰ的体积为V＝＝0.064(m3)，

一个容器Ⅰ的表面积为4××0.8×＝0.8(m2)，

给100个容器Ⅰ涂刷油漆，所需资金为0.8×80×100＝6 400元．

核心素养升级练

1．答案：D

解析：根据题意，分别过点P，Q作平面ABCD的垂直平面，则可以把楔体PQ­ABCD分成一个三棱柱和两个四棱锥．

三棱柱的体积V1＝×3×1×2＝3(立方丈)，

四棱锥的体积V2＝×1×3×1＝1(立方丈)，

故楔体PQ­ABCD的体积V＝V1＋2V2＝5(立方丈).

故选D.

2．答案：ACD

解析：对于A，由于AB固定，所以在倾斜的过程中，始终有AB∥EF∥HG∥DC，且平面A1D1HE∥平面B1C1GF，

故没有水的部分始终呈棱柱状(四棱柱或三棱柱、五棱柱)，且EF为棱柱的一条侧棱，故A正确；对于B，因为水面EFGH为矩形，所以SEFGH＝|EF|·|FG|，其中|EF|＝|AB|，|FG|随着倾斜角的变化而变化，故水面EFGH的面积是变化的，故B错误；对于C，当容器倾斜如图②所示时，四棱柱ADHE­BCGF的体积不变，又VADHE­BCGF＝SADHE·AB，其中SADHE＝，又AB是定值，AD是定值，所以AE＋DH为定值，故C正确；对于D，当容器倾斜如图③所示时，三棱柱BFG­AEH的体积不变，VBFG­AEH＝S△AEH·AB，

其中S△AEH＝AE·AH，因为高AB是定值，则底面积S△AEH为定值，

即S△AEH＝AE·AH为定值，则AE·AH为定值，故D正确．

故选ACD.

3．答案：2∶1

解析：将几何体补全为正方体，如图所示，

VG­BEF＝VABCD­GIHJ－VG­HEBJ－VG­HIFE－VB­CDFE－VB­DFGA

＝27－×3××5×3－×3××3×3－×3××3×3－×3××5×3

＝3.

VB­EGD＝VABCD­GIHJ－VG­HEBJ－VG­HIDE－VE­BCD－VG­ABD

＝27－×3××5×3－×3××5×3－×1××3×3－×3××3×3

＝6.

所以VB­EGD∶VG­BEF＝2∶1.