高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积当堂达标检测题

8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

必备知识基础练　

1．若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的(　　)

A．8倍    B．4倍

C．2倍    D．2倍

2．已知某圆柱体的底面半径为2，高为3，则该圆柱体的侧面的面积为(　　)

A．3π    B．6

C．6π    D．12π

3．已知圆锥的表面积为3π，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为(　　)

A．2    B．1C．    D．

4．如图，过球O的一条半径OP的中点O1，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球O的体积是(　　)

A．π　 　B．π    C．32π　 　D．16π

5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的最大盛水量约为(　　)

A．68π cm3B．152π cm3

C．20π cm3    D．204π cm3

6．(多选)圆柱的侧面展开图是长6 cm，宽4 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　)

A． cm3    B．24π cm3

C． cm3    D．36π cm3

7．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为________．

8．已知一个圆台的上、下底面圆半径分别为2，5，高为4，则这个圆台的侧面积为________．

关键能力综合练

1．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的体积为π，则它的表面积为(　　)

A．π　　　B．π    C．10π　 　D．π

2．某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为(　　)

A．    B．C．    D．

3.如图，在Rt△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a>b>c)，分别以边AB，AC，BC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其体积分别为V1，V2，V3，则(　　)

A．aV1＝bV2＝cV3    B．aV2＝bV1＝cV3

C．aV3＝bV2＝cV1    D．aV1＝bV3＝cV2

4．设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为S1，S2，体积为V1，V2，若它们的侧面积相等且＝，则的值是(　　)

A．    B．C．    D．

5．圆台的一个底面周长为另一个底面周长的2倍，母线长为4，圆台侧面积为60π，则圆台较小底面半径为(　　)

A．5    B．10

C．15    D．20

6．(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　)

A．圆柱的侧面积为2πR2

B．圆锥的侧面积为2πR2

C．圆柱的侧面积与球面面积相等

D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2

7．把一个底面半径为3 cm，高为4 cm的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗)，则该钢球的表面积为________ cm2.

8．已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为________．

9.某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm.

(1)求这种“笼具”的体积；

(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？

10．已知圆锥的底面半径R＝6，高h＝8.

(1)求圆锥的表面积和体积；

(2)如图若圆柱O′O内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值．

核心素养升级练　

1．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为10 cm，圆柱部分高度为7 cm，已知陀螺的总体积为120 cm3，则此陀螺圆柱底面的面积为(　　)

A．10 cm2    B．15 cm2

C．16 cm2    D．20 cm2

2．已知某圆锥的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍．将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为(　　)

A．    B．

C．    D．

3．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为2，则这个圆锥的表面积为________．

8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

必备知识基础练

1．答案：C

解析：若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的倍，

则球体积扩大为原来的2倍．

故选C.

2．答案：D

解析：由题意，该圆柱体的侧面的面积为2π×2×3＝12π.

故选D.

3．答案：B

解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，

所以πl＝2πr，则l＝2r，又圆锥的表面积为3π，则πrl＋πr2＝3πr2＝3π，

解得r＝1.

故选B.

4．答案：A

解析：设球O的半径为R，则R2－＝()2，解得R＝2，

∴球O的体积V＝R3＝π.

故选A.

5．答案：B

解析：由题意得上底面半径为4，面积S1＝π×42＝16π，

下底面半径为6，面积S2＝π×62＝36π，圆台高h为6，

则圆台的体积V＝(S1＋S2＋)h＝(16π＋36π＋)×6＝152π cm3.

故选B.

6．答案：AC

解析：因为圆柱的侧面展开图是长6 cm，宽4 cm的矩形，所以当圆柱的高为4 cm，则底面周长为6 cm，设底面半径为r，则2πr＝6，得r＝，

所以此时圆柱的体积为πr2h＝π()2×4＝ cm3，

当圆柱的高为6 cm，则底面周长为4 cm，设底面半径为r，则

2πr＝4，得r＝，

所以此时圆柱的体积为πr2h＝π()2×6＝cm3，

综上，圆柱的体积可能为 cm3或 cm3，故选AC.

7．答案：

解析：设底面半径为r，由题意可知2πr＝π×2，解得r＝1，

圆锥的高h＝＝，

所以圆锥的体积V＝πr2h＝.

8．答案：35π

解析：因为圆台的上下底面圆的半径分别为2与5，高为4，

所以圆台的母线为：AB＝＝＝5，

所以圆台的侧面积为：π·(2＋5)·5＝35π.

关键能力综合练

1．答案：C

解析：设中间圆柱部分的高为h，则胶囊的体积V＝π×13＋π×12×h＝，解得h＝3，

所以胶囊的表面积为4π×12＋2π×1×3＝10π.

故选C.

2．答案：C

解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为2r，设圆台的母线为l，则圆锥的底面半径为2r，圆锥的母线为2l，

圆锥的侧面积记为S1＝·2π·2r·2l＝4πrl＝1⇒πrl＝，

截去的小圆锥的侧面积即为S2＝·2πr·l＝πrl＝，

故圆台的侧面积为S1－S2＝1－＝，

故选C.

3．答案：A

解析：当绕a边旋转时，其体积V1＝×π×()2×a＝π；

当绕b边旋转时，体积V2＝π×c2×b＝bc2π；

当绕c边旋转时，体积V3＝π×b2×c＝b2cπ.

∴aV1＝bV2＝cV3.

故选A.

4．答案：C

解析：因为甲、乙两个圆柱的底面面积分别为S1，S2，且＝，

所以甲、乙两个圆柱的底面半径R1，R2满足：＝，

所以甲、乙两个圆柱的底面周长C1，C2满足：＝，

又因为甲、乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲、乙两个圆柱的高H1，H2满足：＝，

所以甲、乙两个圆柱的体积V1，V2满足：＝＝×＝.故A、B、D错误．

故选C.

5．答案：A

解析：设圆台比较小的底面半径为r，比较大的底面的半径为R，

则由已知可得R＝2r，

因为圆台的侧面积为π(r＋R)×4＝π×3r×4＝60π，

解得r＝5，故选A.

6．答案：CD

解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，∴A错误；

圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，∴B错误；

球面面积为4πR2，∵圆柱的侧面积为4πR2，∴C正确；

∵V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，

∴V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2，∴D正确．

故选CD.

7．答案：36π

解析：圆柱的体积为V＝πr2h＝π×32×4＝36π cm3，设球的半径为R，则πR3＝36π，R＝3 cm，则该钢球的表面积为S＝4π×32＝36π cm2.

8．答案：3π

解析：由题中直观图图象可知，该几何体是一个圆柱去掉了其中一部分，

故所求几何体体积为π×12×4－×π×12×2＝3π.

9．解析：(1)设圆柱的底面半径为r，高为h；圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr＝24π，则r＝12，h1＝＝16，V＝πr2h－πr2h1＝122×30π－×122×16π＝3 552π cm3；

(2)圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720π cm2，圆柱的底面积S2＝πr2＝144π cm2，圆锥的侧面积S3＝πrl＝240π cm2，所以“笼具”表面积S表＝S1＋S2＋S3＝1 104π cm2，故50个“笼具”的总造价为：＝(元).

10．解析：(1)∵圆锥的底面半径R＝6，高h＝8，

∴圆锥的母线长L＝＝10，

则表面积S＝πRL＋πR2＝60π＋36π＝96π，体积V＝πR2h＝96π.

(2)作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，

其中SO＝8，OA＝OB＝6，OK＝x(0<x<8)，

设圆柱底面半径为r，则＝，即r＝(8－x).

设圆柱的侧面积为S′＝2πr·x＝2π·(8－x)·x＝(－x2＋8x).

当x＝4时，S′有最大值为24π.

核心素养升级练

1．答案：B

解析：由题，圆锥部分高度为3 cm，故V＝V柱＋V锥＝Sh柱＋Sh锥，即120＝S(7＋×3)，可解得S＝15 cm2.

故选B.

2．答案：D

解析：

如图所示，设圆锥的底面半径为r，母线长为l.

O为底面圆的圆心，ABCD为底面的一个圆内接正方形，OP为圆锥的高．

由题意可得：πrl＝3πr2，解得：l＝3r＝6，所以OP＝＝＝4.

而SABCD＝AB×BC＝(2)2＝8.

所以该四棱锥的体积为V＝SABCD×OP＝×8×4＝.

故选D.

3．答案：π

解析：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示，该小虫爬行的最短路程为PP′，

由余弦定理可得cos ∠P′OP＝＝＝－，

∴∠P′OP＝，设底面圆的半径为r，

则有2πr＝×2，解得r＝.

所以这个圆锥的表面积S＝πr2＋πrl＝π×＋π××2＝π.