人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步达标检测题

3.3.2 抛物线的简单几何性质

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)

A.   B.p   C.2p   D.无法确定

2.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)

A.6   B.8   C.9   D.10

3.（多选）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为(　　)

A.(3，2)  B.(3，－2)

C. (－3，2)                 D.(－3，－2)

4.过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)

A．2 B．2

C．2 D．2

5.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．

6.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交抛物线为A、B两点，点P为准线与x轴的交点，则面积的最小值为___________.

7.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．

8.已知动点到的距离与点到直线：的距离相等.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若过点且倾斜角为60°的直线与动点的轨迹交于，两点，求线段的长度.

能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.(多选)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　　)

A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小                         B．＋＝

C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－相离                  D．y1y2＝－p2

10.抛物线y2＝2px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝(　　)

A．1∶4          B．1∶2          C．2∶5        D．3∶8

11.(多选)已知抛物线，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，O为坐标原点，且，若直线l恒过点，则下列说法正确的是（    ）

A．抛物线方程为

B．

C．的面积的最小值为32

D．弦中点的轨迹为一条抛物线

12.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.

13.抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．

14.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________.

15.已知抛物线的准线交轴于点，过点作斜率为的直线交于两点，且，则直线的斜率是__________.

16.已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设斜率为－1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.

【参考答案】

1.C 解析：当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.

2.B 解析：因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

3. AB 解析：设点P的坐标为(x，y)，∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.

把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，∴y＝±2.∴点P的坐标为(3，±2).故选AB.

4.B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，

即y＝－2x＋2.由得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.

∴|AB|＝＝＝＝2.

5.(3,2)　解析： 将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．

6.1 解析：由，故可设，代入，得，

设，，不妨令，，

∴

∴

当且仅当时取等号，此时轴.

故面积的最小值为1.

7. 解：(1)由抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)，

可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．

②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．

③当直线l的斜率存在且不为0时，

设直线l的方程为y＝kx＋2.由得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，

故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.

8.解：（1）由题意点M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，

所以，则，所以动点M的轨迹方程是

（2）由已知可得直线的方程是即，

设，

由得，，

所以，则，

故.

9.ABD解析：过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最小，∴A正确；＋＝，∴B正确；y1y2＝－p2，∴D正确；以AB为直径的圆与准线x＝－相切，∴C错误，故选ABD.

10.C 解析： 将点A(2,4)的坐标代入y2＝2px，得p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x, 焦点F(2,0)，已知，B(8，－8) ，∴＝＝＝.

11.ABD 解析：设直线，联立得，所以，，因为，则，利用代入，解得，所以抛物线方程为，且，故A，B正确；

（当且仅当时取等号），故C错误；

设的中点为M，则，所以．即，所以M点的轨迹为一条抛物线，故D正确，综上ABD正确．

故选：ABD.

12.6 解析：因为抛物线x2＝2py的准线y＝－和双曲线－＝1相交交点横坐标为x＝±，∴由等边三角形得2×＝p，解得p＝6.

13.　 解析： 设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.

由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，

即直线方程为x－y＋1＝0，

直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.

即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.

15. 解析：抛物线的准线为，点，设点，

因，则点是线段的中点，即，又点在抛物线上，

因此，解得，即点，

所以直线的斜率.

16.解：(1)依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，

设其方程为y2＝2px(p>0)，则＝1，解得p＝2，

所以动点P的轨迹C的方程是y2＝4x(x>0)．

(2)证明：设直线AB：y＝－x＋b(b≠3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得y＝－＋b，即y2＋4y－4b＝0，

Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，

因为x1＝，x2＝，

所以k1＋k2＝＋＝＋＝＋＝＝0.

因此k1＋k2＝0.