高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线同步练习题，共2页。

知识点1 抛物线的几何性质及其应用
1.以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是( )
A.y2=8x
B.y2=−8x
C.y2=8x或y2=−8x
D.x2=8y或x2=−8y
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆C:(x+1)2+(y−2)2=9相切,则p=( )
A.2 B.4 C.8 D.16
3.[2022江西赣州高三二模]抛物线x2=2py(p>0)与椭圆x212+y22=1交于A,B两点,若△AOB的面积为6(其中O为坐标原点),则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4.已知抛物线的离心率为e,焦点为(0,e),则抛物线的标准方程为 .
5.[2022天津一中高二上期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为x=−1.若M为C上的一个动点,N(3,0),则|MN|的最小值为 .
6.[2022江苏省前黄高级中学学情检测]平面直角坐标系中xOy中,已知顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线恰好经过四个点(1, 1),(2,12),(2,1),(4,2)中的两个,则该抛物线的焦点坐标可以是 .
知识点2 直线与抛物线的位置关系
7.已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(−2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[−1,1]
B.[−1,0)∪(0,1]
C.(−∞,−1]∪[1,+∞)
D.(−∞,−1)∪(1,+∞)
8.抛物线y=−x2上的点到直线4x+3y−8=0的距离的最小值是( )
A.43 B.75 C.85 D.3
9.直线y=x−2与抛物线y2= 2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB(O为坐标原点),则p=( )
A.12 B.1 C.32 D.2
10.[2022江苏南通如东高二上期中]已知O为坐标原点,A,B为抛物线y2=2px(p>0)上异于点O的两个动点,且∠AOB=90°.若点O到直线AB的距离的最大值为8,则p的值为 .
11.[2022陕西西安长安一中高二上期中]已知点M(−1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点有斜率存在且不为0的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则直线AB的方程为( )
A.2x−y−2=0 B.x−y−1=0
C.2x+y−2=0 D.x+y−1=0
12.(多选)[2022山东高二“山东学情”期中联考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4,直线l过点F且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若M(m,2)是线段AB的中点,则( )
A.p=4
B.抛物线的方程为y2=16x
C.直线l的方程为y=2x−4
D.|AB|=10
13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.
知识点3 抛物线的实际应用
14.[2022湖南师范大学附属中学高二上期中]苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是“东方之门”的立意基础,“门”的内侧曲线是抛物线的一部分,如图1.两栋建筑之间有一条长60 m的连桥AB,在该抛物线两侧距连桥150 m处各有一窗户,两窗户的水平距离|CD|=30 m,如图2.则此抛物线顶点O到连桥AB的距离为( )
A.180 m B.200 m
C.220 m D.240 m
15.[2022福建福州八中高二上期中]中国古代桥梁的建筑艺术有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国古代劳动人民的非凡智慧.一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽8 m.若水面下降1 m,则水面宽度为( )
A.26 m B.46 m
C.42 m D.12 m
参考答案
1.C 依题意,设抛物线的方程为y2=±2px(p>0).因为焦点与原点之间的距离为2,所以p2=2,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=−8x.故选C.
2.C 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=−p2.由题意知直线x=−p2与圆C:(x+1)2+(y−2)2=9相切,所以−p2=−1−3,解得p=8,故选C.
3.B 由抛物线与椭圆的对称性,知A,B关于y轴对称,不妨设A(x0,y0),B(−x0,y0)(x0>0).因为△AOB的面积为6,所以S△AOB=12×2x0y0=x032p=6.又x0212+y022=1,即x02+3x042p2=12,所以x04−12x02+36=0,解得x02=6,则p=3.
4.x2=4y 解析 由e=1,得焦点为(0,1),所以抛物线的标准方程为x2=4y.
5.22 解析 由题意知p=2,所以抛物线C:y2=4x.设M(x0,y0)(x0≥0).由题意知y02=4x0,则|MN|2=(x0−3)2+y02=(x0−3)2+4x0=(x0−1)2+8≥8,当x0=1时,|MN|2取得最小值8,所以|MN|的最小值为22.
6.(14,0)(答案不唯一) 解析 因为题中的四个点均在第一象限,所以抛物线的方程为y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0).若抛物线的方程为y2=2px(p>0),将(1,1)代入得p=12,则y2=x,此时点(4,2)在抛物线上,符合题意,所以抛物线的焦点坐标为(14,0).(焦点坐标还可以是(0,2).)
7.A 由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0.当k=0时,显然满足题意;当k≠0时,Δ=(4k2−8)2−4k2·4k2=64(1−k2)≥0,解得−1≤k<0或08.A 方法一 设与抛物线相切,且与直线4x+3y−8=0平行的直线方程为4x+3y+m=0.由4x+3y+m=0y=−x2,得3x2−4x−m=0,则Δ=16+12m=0,所以m=−43.所以所求最小值为两平行线之间的距离,为d=|−43+8|5=43.
方法二 设抛物线y=−x2上一点为(m,−m2),该点到直线4x+3y−8=0的距离d=|4m−3m2−8|5=|3(m−23)2+203|5,当m=23时,d取得最小值,为43.
9.B 设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=x−2y2=2px,得x2−(2p+4)x+4=0,所以x1+x2=2p+4,x1x2=4.又OA⊥OB,所以OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(x1−2)(x2−2)=2x1x2−2(x1+x2)+4=4−4p=0,所以p=1.
10.4 解析 由抛物线的两垂直弦的性质,可得直线AB恒过定点(2p,0),所以当直线AB垂直于x轴时,点O到直线AB的距离最大,为2p,则2p=8,得p=4.
11.A 由y2=4x,得焦点坐标为(1,0).设直线AB的方程为y=k(x−1),由y=k(x−1)y2=4x,得k2x2−(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.因为∠AMB=90°,所以y1−1x1+1·y2−1x2+1=−1,即k2x1x2−(k2+k)(x1+x2)+k2+2k+1x1x2+x1+x2+1=−1,即−(3k+4)k4k2+4=−1,解得k=2,所以直线AB的方程为2x−y−2=0,故选A.
12.ACD 因为焦点F到准线的距离为4,根据抛物线的定义可知p=4,所以抛物线的方程为y2=8x,焦点F(2,0),则y12=8x1,y22=8x2.又M(m,2)是AB的中点,则y1+y2=4,所以y12−y22=8x1−8x2,即y1−y2x1−x2=8y1+y2=2,所以直线l的方程为y=2x−4.由y2=8xy=2x−4,得x2−6x+4=0,所以x1+x2=6,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=10.故选ACD.
13. 解析 (1)直线AB的方程是y=22(x−p2),与y2=2px联立,有4x2−5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.
由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,
所以抛物线的方程是y2=8x.
(2)因为p=4,
所以4x2−5px+p2=0为x2−5x+4=0.
又x1所以x1=1,x2=4,y1=−22,y2=42,
所以A(1,−22),B(4,42).
设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,−22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ−22).
又y32=8x3,即[22(2λ−1)]2=8(4λ+1),即(2λ−1)2=4λ+1,
解得λ=0或λ=2.
14.B 如图建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=−2py(p>0).由题意设D(15,h),B(30,h−150),则152=−2pℎ302=−2p(ℎ−150),解得ℎ=−50p=2.25,所以此抛物线顶点O到连桥AB的距离为50+150=200 m.故选B.
15.B 由题意,以拱桥顶点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=−2py(p>0).由题意知,抛物线经过点A(−4,−2),代入抛物线方程,解得p=4,所以抛物线的方程为x2=−8y.水面下降1 m,即y=−3,解得x=±26,所以此时水面宽度为46 m.