数学选择性必修 第一册3.3 抛物线优秀练习题

3.3.2抛物线的简单几何性质同步练习人教   A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C于两点，O为坐标原点，则的面积为 

A.  B.  C.  D.

2. 设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为

A.  B.  C.  D.

3. 设抛物线C：的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4. 设抛物线C：的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

5. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则线段FQ的垂直平分线

A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP

6. 设O为坐标原点，点P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为 

A.  B.  C.  D. 1

7. 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是 

A.  B.  C.  D.

8. 已知焦点为F的抛物线的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为   

A. 或 B. 或
C. 或 D.

9. 过抛物线的焦点F的直线l，与该抛物线及其准线从上向下依次交于A，B，C三点，若，且，则该抛物线的标准方程是

A.  B.  C.  D.

10. 给出下列说法：
    方程表示一个圆；
    若，则方程表示焦点在y轴上的椭圆；
    已知点、，若，则动点P的轨迹是双曲线的右支；
    以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切．
    其中正确说法的个数是 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 已知F是抛物线的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是     

A.  B.  C.  D.

12. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则   

A. 8 B. 11 C. 13 D. 16

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 如图所示，已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作于B，，则的面积为          ．
    
    
     

14. 若点P到直线的距离比它到点的距离小2，则点P的轨迹方程是          ．
15. 已知抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则的最小值为          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知抛物线C：的焦点为F，准线l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则           ，直线PF的斜率           ．
17. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C的交点为P，与y轴的交点为Q，且，则抛物线C的方程为          ，点P的坐标为          ．
18. 已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p等于          ，双曲线方程为          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 如图，已知椭圆：，抛物线：，点A是椭圆与抛物线的交点．过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M不同于．
    若，求抛物线的焦点坐标；
    若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

20. 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程；
     平面内一个动点P到点的距离比它到直线的距离小2个单位，求动点P的轨迹方程．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知抛物线C：，过的直线l与C交于M，N两点．当l垂直于x轴时，的面积为2．

求抛物线C的方程；

若在x轴上存在定点Q满足，试求Q的坐标．






 

22. 过抛物线C：上一定点作直线，斜率分别为，交抛物线C于A，B两点且求抛物线C的方程；         

证明：直线AB过定点．






 

23. 已知抛物线的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，．

求抛物线的方程；

过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若的面积为4，求直线l的斜率其中O为坐标原点．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线中的面积问题，属于中档题．
由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．

【解答】

解：由，得，，则，
过A，B的直线方程为，
即，
联立
得，，
设，，
则，，


．
故选：D．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．
通过，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．

【解答】

解：将代入抛物线，可得，，可得，
即，解得，
所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．
故选：B．

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力，属于中档题．
求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．

【解答】

解：抛物线C：的焦点为，过点且斜率为的直线为：，
联立，消去x可得：，
解得  ，，不妨设，，
，，
则．
故选D．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系，向量的数量积，考查计算能力，属于中档题．
求出抛物线的焦点坐标，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．

【解答】

解：抛物线C：的焦点为，
过点且斜率为的直线为：，
联立该直线与抛物线C：，消去x可得：，
解得，，不妨设，，
所以，．
则．
故选D．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的定义和垂直平分线的性质，考查了转化思想，属于基础题．
根据抛物线的定义和垂直平分线的性质可得答案．

【解答】

解：根据抛物线的定义可得，故线段FQ的垂直平分线必过点P．
故选B．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的方程及性质，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．
由题意可得，设，要求的最大值，设，运用向量的加减运算可得，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．

【解答】

解：由题意可得，设，
显然当，；当，．
要求的最大值，设，
则
，
可得，
当且仅当，取得等号．
故选C．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线，直线与圆相切问题，考查分析能力和计算能力．
由题意，分两种情况：直线AB的斜率不存在，有两条，直线AB的斜率存在，也有两条，根据M为线段AB的中点及A、B在抛物线上，，建立方程和不等式，求得r的范围．

【解答】

解：当直线AB的斜率不存在，且时，有两条满足题意的直线l．

当直线AB的斜率存在时，由抛物线与圆的对称性知，和时各有一条满足题意的直线l．

设圆的圆心为C，，，，
则，．

 ，

 ，且，
．

，即．

另一方面，由AB的中点为M知，

点B，A在抛物线上，
，

，

由，得 ，

，
．

，
．

综上，，
故选D．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了抛物线的定义与标准方程、直线与抛物线的位置关系、点斜式方程、有关抛物线的最值问题，属于中档题．
过M作MP与准线垂直，垂足为P，根据抛物线的定义将转化为，，所以当最大时最大，直线AM与抛物线相切，由抛物线与直线相切列方程组求解即可．

【解答】

解：抛物线的准线为，则，
过M作MP与准线垂直，垂足为P，

，
则当取得最大值时，最大，此时AM与抛物线C相切，
易知此时直线AM的斜率存在，设切线方程为，，
则，消去x整理得，
则，
得直线MA的方程为或
故选：A．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值，进而可得方程
本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．

【解答】

解：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设，则，，，
在直角三角形ACE中，，，

，即，
，，，解得，
从而抛物线的方程为．
故选：C．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查曲线与方程，注意常见圆锥曲线的定义与方程的形式，属于中档题．
根据题意，依次分析题目中的四个命题，综合即可得答案．

【解答】

解：根据题意，依次分析4个说法：
对于，方程变形可得，不是圆的方程，错误；
对于，方程变形可得，
若，则有，
则方程表示焦点在y轴上的椭圆；正确；
对于，点、，
则，若，
则动点P的轨迹是一条射线；错误；
对于，由抛物线的定义，以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，正确；
则正确；
故选：B．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了抛物线的性质及几何意义，轨迹方程，属于基础题．
根据题意，可得到焦点，设线段PF的中点E的坐标为，，即可得到，，代入抛物线即可解得答案．

【解答】

解：抛物线方程可化为，焦点，
设线段PF的中点E的坐标为，，
则，，
代入抛物线方程得，
即，
故答案选：A．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
由抛物线的定义，得，根据中点的坐标公式，得，代入即可求解．

【解答】

解：由抛物线C：可知，，得到，，
设，，因为AB的中点的纵坐标为5，
所以，则．
故选C．

13.【答案】8
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义，抛物线中的面积问题，属于中档题．
根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设，则，根据及，进而可求得A点坐标，进而求得的面积．

【解答】

解：抛物线C：的焦点为，准线为，
，
设，
于B，，

，
由抛物线定义可得，，

由，得，
即，解得，

又A在x轴上方，
，
的面积为．

故答案为8．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题给出动点满足的条件，求该点的轨迹方程，着重考查了圆锥曲线的定义和轨迹方程的求法等知识，属于基础题．
根据题意，将条件转化为点P到直线的距离与它到点的距离相等，结合抛物线的定义即可求解点P的轨迹方程．

【解答】

解：点P到直线的距离比它到点的距离小2，
点P到直线的距离与它到点的距离相等，
点P的轨迹是以为焦点、直线l：为准线的抛物线，
因此，设P的轨迹方程为，，
可得，解得，，
动点P的轨迹方程为．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查利用基本不等式求最值，属于难题．
当直线AB的斜率k存在时，显然，由题意设直线AB的方程以及A、B点的坐标，由直线与抛物线方程联立消去y整理得关于x的二次方程，利用根与系数的关系求出的表达式，利用基本不等式求出最小值即可； 当直线l的斜率不存在时，，则，进而可解．

【解答】

解：由题意知抛物线的焦点，准线方程为，
当直线AB的斜率k存在时，显然；
设直线AB的方程为，，，
由
消去y整理得：，
，
则，，
，
根据抛物线性质知，，，

，其中；
设，


，
当且仅当时取“”；
的最小值为，
当直线l的斜率不存在时，，
，
又，
的最小值为．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

求得抛物线的焦点和准线方程，设Q在准线上的射影为M，准线与x轴的交点为N，设，在中，运用三角形的相似可得，再在直角三角形PMQ中，求得，可得直线PF的斜率．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及三角形的相似性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

【解答】

解：抛物线C：的焦点，准线l：，
设Q在准线上的射影为M，准线与x轴的交点为N，

由，可设，则，，
由抛物线的定义可得，
在中，，即为，解得，即为，
在直角三角形PMQ中，可得，
即有，所以直线PF的斜率为，
根据对称性可知，直线PF的斜率也成立，
即有，
故答案为：；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查抛物线的定义和几何性质的应用，属一般题．
设，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程与P的坐标．

【解答】

解：直线与C的交点为P，则设，代入由中得，
所以，，
由题设得，，解得．
所以C的方程为，．
故答案为； ．

18.【答案】4

【解析】

【分析】

 本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．
求出抛物线的焦点坐标，推出双曲线的渐近线方程，利用直线与抛物线相切求解即可． 

【解答】

解：抛物线的焦点，可得，，
双曲线方程为：， 
它的渐近线方程为：，即：， 
直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：， 
，可得 
，解得或，
， 
所以双曲线方程为：．
故答案为；双曲线方程为：．

19.【答案】解：当，则，则抛物线的焦点坐标，
当直线l与x轴垂直时，此时点M与点A或点B重合，不满足题意，
由题意可设直线l：，点，
将直线l的方程代入椭圆：得
，
为线段AB的中点，
点M的纵坐标，
将直线l的方程代入抛物线：得
，
，可得，
因此，
由，可得，
即，得，当且仅当，时，等号成立，
的最大值为．
 

【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，基本不等式等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于中档题．
根据，可得，即可得到抛物线的焦点坐标；
由题意可设直线l：，点，将直线方程带入椭圆方程可得点M的纵坐标，带入抛物线方程可得，因此，结合基本不等式即可得解．
 

20.【答案】解：由于点  在第四象限，且坐标轴为对称轴，
所以设抛物线方程为  或 ，
将点 A 的坐标代入，分别得  或 ，
所以，所求的抛物线方程为  或    
易分析出点 P 不可能在 y 轴左侧．
设直线 ，
则y轴右侧的点P到直线的距离比它到直线的距离小2个单位，
由题意，P到点的距离等于它到直线的距离，
根据抛物线的定义，知动点P的轨迹为抛物线，且焦点为，
所以动点P的轨迹方程为．
 

【解析】本题主要考查抛物线的应用，属于中档题．
由于点  在第四象限，且坐标轴为对称轴，所以设抛物线方程为  或 ，化简即可求解；
易分析出点 P 不可能在 y 轴左侧，设直线 ，P 到点  的距离等于它到直线  的距离，根据抛物线的定义，即可求解．
 

21.【答案】解：由和抛物线方程联立，可得，
因为直线l垂直于x轴时，的面积为2，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为；
由题意可设直线l的方程为，，，，
联立抛物线的方程可得，
，，，
因为


，
由于Q为定点，
所以，所以，此时Q的坐标为．
 

【解析】本题主要考查抛物线的标准方程，直线和抛物线的位置关系等基础知识，向量的数量积的坐标运算，考查运算能力、推理论证能力，考查方程思想，属于中档题．
将代入抛物线的方程，可得，再由的面积为，结合题意，解方程可得p，进而求得抛物线的方程；
由题意可设直线l的方程为，，，，联立抛物线的方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合定点和恒等式的性质，可得所求坐标．
 

22.【答案】解：由题意，得
设直线AB的方程为
联立

，



直线AB方程为，恒过点．
 

【解析】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线中的定点问题，属于中档题．
将P点坐标代入抛物线方程求出p，即可得抛物线方程；
设直线AB的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合，即可求证直线AB过定点．
 

23.【答案】解：由抛物线的定义得，
抛物线的方程为；
设直线l的方程为，，，
直线l与抛物线有两个交点，
，
直线方程可化为，
代入，得，
且恒成立，
，，
，
又点O到直线l的距离，
，
解得，即．
 

【解析】本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式及点到直线的距离．
根据题意得出，即可求出结果；
设出直线方程，化为，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，求出弦长和点到直线l的距离，利用的面积为4，得出方程即可求出结果．