高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后练习题，共2页。试卷主要包含了基础巩固，能力提升等内容，欢迎下载使用。

一、基础巩固
知识点 抛物线的焦点弦
1.[2022河南商丘部分学校大联考高二上阶段测试]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(12,0),过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=4,则弦AB的中点到y轴的距离为( )
A.32 B.2 C.3 D.4
2.[2022山西太原师院附中高二上月考]已知抛物线y=mx2(m>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=6,则焦点F的坐标为( )
A.(0,94) B.(0,98) C.(0,92) D.(0,32)
3.[2022河北徐水综合高级中学高二上月考]已知抛物线y2=8x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AF|=6,则|BF|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交C于A,B两点,若|AF|=3|BF|=3,则p=( )
A.3 B.2 C.32 D.1
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于M,N两点(M,N的横坐标不相等),弦MN的垂直平分线交x轴于点H,若|MN|=40,则|HF|=( )
A.14B.16C.18D.20
6.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .
7.已知抛物线E:y2=12x的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作AM⊥l,垂足为M,AM的中点为N,若AM⊥FN,则|AB|= .
8.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,引两条互相垂直的弦AC和BD,求四边形ABCD面积的最小值.
9.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,AB为抛物线C过焦点F的弦.已知以AB为直径的圆D与l相切于点(−1,0).
(1)求p的值及圆D的标准方程;
(2)设M为l上任意一点,过点M作C的切线,切点为N,证明:MF⊥NF.
二、能力提升
1.已知等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是( )
A.8p2B.4p2C.2p2D.p2
2.抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P,称△PAB为“阿基米德三角形”,当线段AB经过抛物线的焦点F时,△PAB具有以特征:
①点P必在抛物线的准线上;②PF⊥AB.
若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB,“阿基米德三角形”为△PAB,且点P的纵坐标为4,则直线AB的方程为( )
A.x−2y−1=0 B.2x+y−2=0
C.x+2y−1=0 D.2x−y−2=0
3.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若|OF|=1,|MN|=8,则( )
A.抛物线方程为y2=2x
B.抛物线的准线方程为x=−1
C.过点K(1,3)可作抛物线的两条切线
D.△OMN的面积为22
4.[2021新高考八省(市)联考]已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x−2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为( )
A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0
C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0
5.已知以F为焦点的抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1,−2),直线l与抛物线C交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,且OM+OP=λOF.
(1)当λ=2时,求点M的坐标;
(2)当OA·OB=12时,求直线l的方程.
6.在平面直角坐标系xOy中,已知M(2,−1),N(0,1),动点P满足|PM·ON|=|PN|.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过点N且不平行于x轴的直线l与轨迹E交于A,B两点,记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,求1k1+1k2的值.
7.在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点列Pn(8,n),直线系ln:x=n,n∈N*,若直线ln与直线OPn交于点Mn.
(1)求证:点Mn在抛物线上,并求出该抛物线的方程;
(2)设A,B为(1)中抛物线上两个不同的点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且(k1+1)(k2+1)=2,证明:直线AB经过定点.
参考答案
一、基础巩固
1.A 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(12,0),所以p=1,抛物线的方程为y2=2x.设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p,所以4=x1+x2+1,即x1+x2=3,所以弦AB的中点到y轴的距离为d=x1+x22=32.
2.B 方法一 y=mx2(m>0)可化为x2=1my,则F(0,14m),所以直线AB的方程为y=33x+14m,与y=mx2(m>0)联立,消去x,得3y2−52my+316m2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=56m.由|AB|=y1+y2+12m=6,解得1m=92,所以焦点F的坐标为(0,98).故选B.
方法二 设直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=1mcs2θ,得1m=6×34=92,所以焦点F的坐标为(0,98).故选B.
3.C 方法一 由题知p=4.因为抛物线过焦点的弦满足1|AF|+1|BF|=2p,又|AF|=6,所以|BF|=3.
方法二 由题知抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x=−2.因为|AF|=6,所以xA=4.不妨设点A在第一象限,则yA=42,所以kAF=424−2=22,故直线AB的方程为y=22x−42.由y=22x−42y2=8x,得x2−5x+4=0,所以xA+xB=5,所以xB=1,所以|BF|=xB+2=3.
4.C 方法一 如图,分别过点A,B作准线l的垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1,过点B作BD⊥AA1于点D,BD交x轴于点E.由已知条件及抛物线的定义,得|BB1|=|BF|=1,|AA1|=|AF|=3,所以|AD|=3−1=2.在Rt△ADB中,因为|AB|=4,|AD|=2,所以∠ABD=30°,所以|EF|=12|BF|=12,所以焦点F到准线l的距离为12+1=32,即p=32.
方法二 依题意,直线AB不与x轴垂直,设直线AB的方程为y=k(x−p2),将其代入抛物线C的方程y2=2px,得k2x2−p(k2+2)x+k2p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=p24.因为|AF|=3|BF|=3,所以x1+p2=3(x2+p2)=3,即x1=3−p2,x2=1−p2,所以(3−p2)(1−p2)=p24,解得p=32.
5.D 方法一 设M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中点为M'(x0,y0),H(xH,0),则y12=2px1y22=2px2,所以y12−y22x1−x2=2p,所以(y1−y2)(y1+y2)x1−x2=2p,则kMN=y1−y2x1−x2=2py1+y2=2p2y0=py0,所以弦MN的垂直平分线为y−y0=−y0p(x−x0).令y=0,则xH=x0+p,所以|HF|=x0+p2.又|MN|=x1+x2+p=2x0+p=40,所以|HF|=20.故选D.
方法二 如图,设MN的中点为B,过M作x轴的垂线,过N作x轴的平行线,两直线交于点A.设|MF|=m,|NF|=n,不妨取m>n,则|BF|=m−n2.由抛物线的定义知|AN|=m−n,易知△NMA∽△FHB,所以|MN||FH|=|AN||BF|=2,所以|FH|=12|MN|=20.故选D.
6.2 解析 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|−2=|AB|−2.依据抛物线定义知,当AB为通径,即|AB|=2p=4时,|AB|取最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
7.16 解析 方法一 因为|AF|=|AM|,N为AM的中点,且FN⊥AM,所以∠AFN=30°,所以直线AB的倾斜角为60°,斜率为3.由抛物线y2=12x,得F(3,0),则直线AB的方程为y=3(x−3).由y=3(x−3)y2=12x,得x2−10x+9=0,则xA+xB=10,所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=16.
方法二 设直线AB的倾斜角为α,不妨设点A在第一象限.因为点N为AM的中点,AM⊥NF,所以|AM|=2p,所以|AF|=|AM|=p1−csα=2p=12,得cs α=12,所以|BF|=p1+csα=4,所以|AB|=16.
8. 解析 依题意,知直线AC的斜率存在且不为0,设为k,则直线AC的方程为y=k(x−p2).
由y=k(x−p2)y2=2px,得4k2x2−4p(k2+2)x+p2k2=0.
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则x1+x2=p(k2+2)k2,x1x2=p24.
由抛物线的定义,得|AC|=x1+x2+p=2p(k2+1)k2.
同理(用−1k代换k),可得|BD|=2p(k2+1).
于是,四边形ABCD的面积S=12|AC|·|BD|=2p2(k2+1)2k2=2p2(2+k2+1k2)≥8p2,当且仅当k2=1k2,即k=±1时等号成立.
所以四边形ABCD面积的最小值为8p2.
9. 解析 (1)由题意得l的方程为x=−p2,且l过点(−1,0),
所以−p2=−1,解得p=2.
又由抛物线和圆的对称性,可知所求圆的圆心为(1,0),半径为2.
所以圆D的标准方程为(x−1)2+y2=4.
(2)方法一 易知直线MN的斜率存在且不为0.
设M(−1,y0),MN的方程为y=k(x+1)+y0.代入C的方程,得ky2−4y+4(y0+k)=0.
令Δ=16−16k(y0+k)=0,得y0+k=1k, 所以ky2−4y+4(y0+k)=k2y2−4ky+4k=0, 解得y=2k.
将y=2k代入C的方程,得x=1k2, 即点N的坐标为(1k2,2k),
所以FM=(−2,y0),FN=(1k2−1,2k),
所以FM·FN=2−2k2+y0·2k=2−2k2+(1k−k)·2k=0,故MF⊥NF.
方法二 设点N(y024,y0), 则切线MN的方程为y0y=2(x+y024),
所以点M的坐标为(−1,−2y0+y02),
则MF=(2,2y0−y02),NF=(1−y024,−y0),
MF·NF=2(1−y024)−y0(2y0−y02)=0, 所以MF⊥NF.
二、能力提升
1.B 因为抛物线y2=2px(p>0)的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,且OA⊥OB,所以由对称性,知直线AB与x轴垂直,从而直线OA和直线OB与x轴的夹角均为45°.由y=xy2=2px,得x=0y=0或x=2py=2p,不妨设点A在x轴上方,则易得A(2p,2p),B(2p,−2p),所以|AB|=4p,所以S△AOB=12×4p×2p=4p2.
2.A 设抛物线的焦点为F.由题意可知F(1,0),准线方程为x=−1.因为△PAB为“阿基米德三角形”且线段AB经过抛物线y2=4x的焦点,所以点P(−1,4),则直线PF的斜率为4−0−1−1=−2.又PF⊥AB,所以直线AB的斜率为12,所以直线AB的方程为y−0=12(x−1),即x−2y−1=0,故选A.
3.BCD 由题意可知抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=−1,A错误,B正确.易知点K在抛物线外,则过点K(1,3)可作抛物线的两条切线,C正确.
方法一 设点M(x1,y1),N(x2,y2),则由抛物线的定义,可知|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=8,所以x1+x2=6.由y12=4x1y22=4x2,可得y12+y22=24,又MN为过焦点的弦,故y1y2=−4,故S△OMN=12|OF|·|y1−y2|=12y12+y22−2y1y2=22.
方法二 设直线MN的倾斜角为α,则由抛物线焦点弦的性质可知|MN|=2psin2α,故2psin2α=4sin2α=8,所以sin2α=12,所以sin α=22,故S△OMN=p22sinα=42=22.
4.B 点A(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上,故22=2p×2,即p=1,抛物线方程为y2=2x.设过点A(2,2)与圆(x−2)2+y2=1相切的直线的方程为y−2=k(x−2),即kx−y+2−2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离为|2k−0+2−2k|k2+1=1,解得k=±3.如图,直线AB:y−2=3(x−2),直线AC:y−2=−3(x−2).由y−2=3(x−2)y2=2x,得3x2+(43−14)x+16−83=0,故xAxB=16−833,
由xA=2得xB=8−433,故yB=23−63.由y−2=−3(x−2)y2=2x,得3x2−(43+14)x+16+83=0,故xAxC=16+833,由xA=2得xC=8+433,故yC=−23−63,故yB+yC=23−63+−23−63=−4.又由B,C在抛物线上,可知直线BC的斜率为kBC=yB−yCxB−xC=yB−yC12yB2−12yC2=2yB+yC=2−4=−12,故直线BC的方程为y−23−63=−12(x−8−433),即3x+6y+4=0.故选B.
5. 解析 (1)因为点P(1,−2)在抛物线y2=2px(p>0)上,所以4=2p,得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0).
设M(x0,y0),当λ=2时,由OM+OP=2OF,
得(x0,y0)+(1,−2)=2(1,0),
即(x0+1,y0−2)=(2,0),
所以x0+1=2y0−2=0,可得M(1,2).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由OM+OP=λOF,可得(x0+1,y0−2)=(λ,0),所以y0=2,
所以直线l的斜率存在且斜率k=y1−y2x1−x2=2y0=1,
可设直线l的方程为y=x+b.
由y=x+by2=4x,得x2+(2b−4)x+b2=0,
Δ=(2b−4)2−4b2=16−16b>0,得b<1.
又x1+x2=4−2b,x1x2=b2,
则y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=4b,
所以OA·OB=x1x2+y1y2=b2+4b=12,
解得b=−6或b=2(舍去),
所以直线l的方程为y=x−6.
6. 解析 (1)设P(x,y),则PM=(2−x,−1−y),ON=(0,1),PN=(−x,1−y).
由|PM·ON|=|PN|,
可得|−1−y|=(−x)2+(1−y)2,
化简得x2=4y,即轨迹E的方程为x2=4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=kx+1x2=4y,得x2−4kx−4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=−4,
因为1k1+1k2=x1−2y1+1+x2−2y2+1
=x1−2kx1+2+x2−2kx2+2
=(x1−2)(kx2+2)+(kx1+2)(x2−2)(kx1+2)(kx2+2)
=2kx1x2−2(k−1)(x1+x2)−8k2x1x2+2k(x1+x2)+4
=−8k−8k(k−1)−8−4k2+8k2+4
=−8k2−84k2+4=−2,
所以1k1+1k2的值为−2.
7.证明 (1)设Mn(x,y).
依题意,得直线OPn的方程为y=n8x,
由y=n8xx=n,消去n,得y=18x2,即x2=8y,
所以点Mn在抛物线x2=8y上.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x12=8y1,x22=8y2,
所以k1=y1x1=18x1,k2=y2x2=18x2.
由(k1+1)(k2+1)=2,得(18x1+1)(18x2+1)=2,
所以x1x2+8(x1+x2)−64=0.
又直线AB的方程为y−y1=y1−y2x1−x2(x−x1),
即y−18x12=18(x1+x2)(x−x1),
即y=18(x1+x2)x−18x1x2.
由x1x2+8(x1+x2)−64=0,
得x1x2=−8(x1+x2)+64,
代入y=18(x1+x2)x−18x1x2,
得y=18(x1+x2)(x+8)−8.
故直线AB经过定点(−8,−8).