人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线第2课时学案设计

3.3.2  第2课时 抛物线的简单几何性质

【学习目标】

【经典例题】

题型一 与抛物线有关的定点问题

点拨：求与抛物线有关的定点问题的步骤

例1 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过定点．

【跟踪训练】1　已知点A、B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB．

(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；

(2)求证：直线AB过定点．

题型二 与抛物线有关的定值问题

点拨：求与抛物线有关的定值问题的步骤

例2 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)求抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．

【跟踪训练】2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且·＝2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)点M坐标为(－2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：＋为定值．

题型三 与抛物线有关的最值问题

点拨：解决与抛物线有关的最值问题的思路

求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的距离的最值、求抛物线上一点到定直线的距离的最值．解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决．　　　

例3 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．

【跟踪训练】3 如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．

【当堂达标】

1.如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为________．

2.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

3.若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.

4.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.

(1)求y1y2的值；

(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值．

【参考答案】

【经典例题】

例1解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p＝2．

所以抛物线C的方程为y2＝4x．

(2)①当直线AB的斜率不存在时，设A，B，

因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32．

所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8．

②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，

联立得化简得ky2－4y＋4b＝0．

根据根与系数的关系得yAyB＝，

因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，

即xAxB＋2yAyB＝0，即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，

所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，

所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)，

综上所述，直线AB过x轴上一定点(8,0)．

【跟踪训练】1 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，

∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0．

∴yy＝4p2x1x2＝－4p2y1y2．

∴y1y2＝－4p2．

∴x1x2＝4p2．

(2)证明：y＝2px1，①    y＝2px2，②

②－①得y－y＝2p(x2－x1)，

∴＝．

∴直线AB的斜率为．

∴直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x＋，也就是y＝(x－2p)．

∴直线AB过定点(2p,0 )．

例2  解：(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，

故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.

(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－.

又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.

【跟踪训练】2 解：(1)设l的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得－my－2＝0.

所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－4p.

所以·＝x1x2＋y1y2＝·＋y1y2＝4－4p＝2，

所以p＝，所以抛物线C的方程为y2＝x.

(2)证明：因为M坐标为(－2，0)，

所以＋＝＋＝

＝＝，

由(1)可得y1＋y2＝m，y1y2＝－2，

所以＋＝0为定值．

例3 解：法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，

则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝

＝＝＋.

∴当t＝时，d有最小值，最小值为.

法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，

由

消去y得3x2－4x－m＝0，

∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.

故最小距离为＝＝.

【跟踪训练】3 解：由解得或

由题图可知，A(4，4)，B(1，－2)，则|AB|＝3.

设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，

则d＝＝·＝|(y0－1)2－9|.

∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0.

∴d＝[9－(y0－1)2]．

从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝.

故当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.

【当堂达标】

1. (4，＋∞) 解析：由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1，∴|AB|＝·＝·＝.

点D(－1，0)到直线AB的距离d＝，

∴S＝d·|AB|＝·＝4>4，　　

∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)．

2. 解：(1)如图1，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连AF交抛物线于P点，故最小值为，即．

(2)如图2，把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，因为＞2，所以B在抛物线内部，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1．

此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|．

那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．即最小值为4．

3.证明：由消去y，得x2－12x＋16＝0.

∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，

∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.

∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，

∴⊥，即OA⊥OB.

4. 解：(1)依题意，设AB的方程为x＝my＋2，

代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.

(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

＝×＝×＝，

设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，

所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，

＝＝＝，

由(1)知y1y2＝－8，所以＝2为定值.