人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质教课课件ppt

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1.了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法.(数学抽象)2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤与方法,能利用“五点法”画出简单的正弦、余弦函数图象.(直观想象)3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.(逻辑推理)
[激趣诱思]将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.
把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
知识点一:正弦函数的图象1.正弦曲线正弦函数y=sin x,x∈R的图象叫做正弦曲线.
2.正弦函数图象的画法(1)几何法:①利用正弦线画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;②将图象不断向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度).(2)“五点法”:①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π,0),用光滑的曲线连接;②将所得图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度).
微练习用五点法画y=3sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是关键点 (　　)C.(π,0)D.(2π,0)答案 A
知识点二:余弦函数的图象1.余弦曲线余弦函数y=cs x,x∈R的图象叫做余弦曲线.
2.余弦函数图象的画法
名师点析 对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
微判断(1)正弦函数y=sin x的图象向左右和上下都能无限伸展.(　　)(2)函数y=sin x与y=sin(-x)的图象完全相同.(　　)(3)函数y=cs x的图象关于(0,0)对称.(　　)答案 (1)×　(2)×　(3)×微练习函数y=cs x,x∈[0,2π]的图象与直线y=- 的交点有　　　　　个. 答案 2
微拓展正、余弦曲线的对称性提醒 对称中心处函数值为0,对称轴处函数值为-1或1.
例1用“五点法”作出下列函数的图象:(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];(2)y=1- cs x,x∈[-2π,2π].
反思感悟 用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acs x+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤.(1)列表:
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点: 这里的yi(i=1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的.(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到正(余)弦函数y=Asin x+b(y=Acs x+b)(A≠0)的图象.作图象时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度.
变式训练1画出函数y=3+2cs x,x∈[0,2π]的简图.解 列表如下:
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,得函数y=3+2cs x,x∈[0,2π]的图象,如图所示.
例2利用图象变换法作出下列函数的图象:(1)y=1-cs x,x∈[0,2π];
解 (1)作出函数y=cs x的图象,再将该图象关于x轴对称,得到函数y=-cs x的图象,最后将该图象向上平移1个单位长度,即得函数y=1-cs x的图象(如图1).
(2) =|sin x|,先作出函数y=sin x在区间[0,4π]上的图象,再将该图象在x轴上方的图象保持不动,下方的图象关于x轴对称翻折到上方,即得函数y=|sin x|的图象(如图2).
延伸探究 在本例中,如何利用图象变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简图?
解 y=sin|x|= 为偶函数,首先作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,再将x∈[0,2π]的图象作出关于y轴对称的图象,即得x∈[-2π,0]的部分.如图所示即为所求图象.
反思感悟 图象变换的规律1.平移变换(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的;(2)函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.
2.对称变换(1)函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到;(2)函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左侧得到;(3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;(4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.
(2)在同一平面直角坐标系中,作函数y=sin x和y=lg x的图象,根据图象判断出方程sin x=lg x的解的个数.
(2)解 用五点法作出函数y=sin x,x∈R的图象.描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图所示.
由图象可知方程sin x=lg x的解有3个.
反思感悟 1.用三角函数的图象解sin x>a(或cs x>a)的方法(1)作出y=a,y=sin x(或y=cs x)的图象.(2)确定sin x=a(或cs x=a)的x值.(3)确定sin x>a(或cs x>a)的解集.2.利用三角函数线解sin x>a(或cs x>a)的方法(1)找出使sin x=a(或cs x=a)的两个x值的终边所在的位置.(2)根据变化趋势,确定不等式的解集.
利用数形结合思想解决解的个数问题典例 方程lg x=sin x的解的个数为(　　)A.0B.1C.2D.3审题视角该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sin x和y=lg x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.
方法点睛 数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.
1.用“五点法”作函数y=2-3sin x的图象,下列点中不属于五个关键点之一的是(　　)
2.函数y=cs(x+3π)的图象与余弦函数图象(　　)A.关于x轴对称B.关于原点对称C.关于原点和x轴对称D.关于原点和坐标轴对称答案 C解析 因为y=cs(x+3π)=-cs x,所以其图象与余弦函数y=cs x的图象关于原点和x轴都对称.
4.函数y=x2-cs x的零点个数为　　　　　. 答案 2解析 在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cs x的图象,如图所示.则两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cs x的零点有两个.
5.用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的图象.解 列表如下:
先在平面直角坐标系中描出五点 ,(2π,1),再用光滑曲线顺次连接起来,就得到函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的图象,如图所示.