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    第一章 集合与常用逻辑用语(知识通关详解)-【单元测试】高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第一册)
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    第一章 集合与常用逻辑用语(知识通关详解)-【单元测试】高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第一册)

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    这是一份第一章 集合与常用逻辑用语(知识通关详解)-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第一册),文件包含第一章集合与常用逻辑用语知识通关详解-单元测试2022-2023学年高一数学分层训练AB卷人教A版2019必修第一册解析版docx、第一章集合与常用逻辑用语知识通关详解-单元测试2022-2023学年高一数学分层训练AB卷人教A版2019必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共27页, 欢迎下载使用。

    第一章 集合与常用逻辑用语知识详解
    考点一:集合的定义及其关系
    基础知识复习
    (1)集合的概念
    集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
    (2)常用数集及其记法
    表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集.
    (3)集合与元素间的关系
    对象与集合的关系是,或者,两者必居其一.
    (4)集合的表示法
    ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
    ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
    ③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素.
    ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
    (5)集合的分类
    ①含有有限个元素的集合叫做有限集.
    ②含有无限个元素的集合叫做无限集.
    ③不含有任何元素的集合叫做空集().
    题型一:集合的概念
    例1:1.下列各组对象能构成集合的是(       )
    A.充分接近的所有实数 B.所有的正方形
    C.著名的数学家 D.1,2,3,3,4,4,4,4
    【答案】B
    【详解】选项A,C不满足集合的确定性;集合B正方形是确定的,故能构成集合;选项D不满足集合的互异性.故选:B.
    举一反三
    1.下列选项能组成集合的是(       )
    A.著名的运动健儿 B.英文26个字母 C.非常接近0的数 D.勇敢的人
    【答案】B
    解:著名的运动健儿,元素不确定,不能组成集合;英文26个字母,满足集合元素的特征,所以能组成集合;
    非常接近0的数,元素不确定,不能组成集合;勇敢的人,元素不确定,不能组成集合.
    故选:B.
    2.下列所给的对象能组成集合的是(       )
    A.“金砖国家”成员国 B.接近1的数
    C.著名的科学家 D.漂亮的鲜花
    【答案】A.
    【详解】对于A,“金砖国家”成员国即巴西,俄罗斯,印度,中国,南非,能组成集合,故A正确;对于B,C,D三个选项来说,研究对象无法确定,所以不能组成集合.
    故选:A.
    题型二:元素与集合
    例2:1.下列关系中,正确的是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【详解】根据常见的数集,元素与集合的关系可知,,,不正确,
    故选:C
    2.已知集合,则______ .
    【答案】
    【详解】若,符合题意;若,不符合题意;若,符合题意.故答案为:.
    举一反三
    1.若集合则实数的取值集合为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】当时,不等式等价于,此时不等式无解;
    当时,要使原不等式无解,应满足,解得;
    综上,的取值范围是.故选:B.
    2.已知集合,,则集合的元素个数为(       )
    A.6 B.7 C.8 D.9
    【答案】B
    解:由,解得,所以.
    所以,共有7个元素,故选:B.
    题型三:集合中元素的特性
    例3:2.若集合有且只有一个元素,则的取值集合为__________.
    【答案】##
    【详解】①若,则,解得,满足集合A 中只有一个元素,所以符合题意;
    ②若,则为二次方程,集合A有且只有一个元素等价于,解得.故答案为:.
    2.下列命题中正确的是(       )
    ①与表示同一个集合
    ②由1,2,3组成的集合可表示为或
    ③方程的所有解的集合可表示为
    ④集合可以用列举法表示
    A.只有①和④ B.只有②和③ C.只有② D.以上都对
    【答案】C
    解:对于①,由于“0”是元素,而“”表示含0元素的集合,而不含任何元素,所以①不正确;对于②,根据集合中元素的无序性,知②正确;
    对于③,根据集合元素的互异性,知③错误;
    对于④,由于该集合为无限集、且无明显的规律性,所以不能用列举法表示,所以④不正确.综上可得只有②正确.故选:C.
    举一反三
    1.已知且,则由的值构成的集合是_______ .
    【答案】
    【详解】,;或,解得.故答案为:.
    2.设集合,其中,且,若,则中的元素之和为_____.
    【答案】0
    【详解】因为,所以若,则集合不成立.所以.
    若因为,所以,所以必有,所以.
    因为,,所以或.
    若,此时不成立,舍去.
    若,则,成立.所以元素之和为.
    故答案为:0.
    题型四:集合的表示法
    例3:1.设全集,集合,,则如图所示的阴影部分表示的集合为(       )

    A. B. C. D.
    【答案】A
    【详解】,图中阴影部分表示的集合为.故选:A.
    2.试分别用列举法和描述法表示下列集合:
    (1)方程的解集;
    (2)大于且小于的所有整数组成的集合.
    【解析】(1)方程的根可以用x表示,它满足的条件是,
    因此,用描述法表示为;又方程的根是,
    因此,用列举法表示为.
    (2)大于且小于的整数可以用x表示,它满足的条件是且,
    因此,用描述法表示为;大于且小于的整数有,
    因此,用列举法表示为
    举一反三
    1.设集合,则用列举法表示集合为______.
    【详解】∵,则可得,则
    又∵,则当成立,当成立,∴
    故答案为:.
    2.用描述法表示下列集合:
    (1)所有被3整除的整数组成的集合;
    (2)不等式的解集;
    (3)方程的所有实数解组成的集合;
    (4)抛物线上所有点组成的集合;
    (5)集合.
    【解析】(1)解:所有被3整除的整数组成的集合,用描述法可表示为:
    (2)解:不等式的解集,用描述法可表示为:.
    (3)解:方程的所有实数解组成的集合,
    用描述法可表示为:.
    (4)解:抛物线上所有点组成的集合,
    用描述法可表示为:.
    (5)解:集合,用描述法可表示为:且.


    考点二:集合间的基本关系
    1.子集、真子集、集合相等
    名称
    记号
    意义
    性质
    示意图
    子集

    (或
    A中的任一元素都属于B
    (1)AA
    (2)
    (3)若且,则
    (4)若且,则

    真子集
    AB
    (或BA)
    ,且B中至少有一元素不属于A
    (1)(A为非空子集)
    (2)若且,则

    集合
    相等

    A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A
    (1)AB
    (2)BA

    2.已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集.
    题型一:子集、真子集
    例1:1.已知集合,且中的至多有一个偶数,则这样的集合共有(       )
    A.个 B.个 C.个 D.个
    【答案】D
    【详解】当集合中无偶数,则,或,
    当集合中只有一个偶数,则,或,或,或,
    共有个,故选:D.
    2.集合至多有1个真子集,则的取值范围是(       )
    A. B. C. D.或
    【答案】D
    【详解】当时,,满足题意,
    当时,由题意得,得,
    综上,的取值范围是故选:D
    举一反三
    1.集合的非空真子集的个数为(       )
    A.5 B.6 C.7 D.8
    【答案】B
    【详解】由题意可知,集合A的非空真子集为,共6个.
    故选:B.
    2.(多选)下列说法正确的是(       )
    A.任何集合都是它自身的真子集
    B.集合共有4个子集
    C.集合
    D.集合
    【答案】BC
    【详解】对A,空集不是它自身的真子集,故A错误;
    对B,因为集合中有2个元素,所以有个子集,故B正确;
    对C,因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数,所以两个集合相等,故C正确;
    对D,因为,当时,,所以,但,故两个集合不相等,故D错误.
    故选:BC.
    题型二:包含关系
    例2:若集合满足,,,,则满足上述条件的集合的个数为(       )
    A.0 B.1
    C.2 D.4
    【答案】D
    解:因为,,所以中最多能含有0,2两个元素,
    所以,,,,共4个.
    故选:D.
    举一反三
    1.(2022·江苏盐城·高一期末)设集合{是正四棱柱},{是长方体},{是正方体},则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】当正四棱柱的高与底面边长相等时,该正四棱柱为正方体;
    当长方体底面为正方形时,该长方体为正四棱柱;.
    故选:B.
    2.(2022·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中)用适当的符号(⊆,⊇,∈,∉)填空:
    (1)________;
    (2)2________;
    (3)N*________N;
    (4)R________Q.
    【详解】(1)当时,,故;
    (2)当时,,故2;
    (3)因为为正整数集,为自然数集,所以
    (4)因为为实数集,为有理数集,所以.
    故答案为:;;;.
    题型三:相等关系
    例3:已知集合, 若, 则 (       )
    A.3 B.4 C. D.
    【答案】D
    解:因为且,所以,且,又,
    所以和为方程的两个实数根,所以;
    故选:D
    举一反三
    设集合M={5,x2},N={5x,5}.若M=N,则实数x的值组成的集合为(       )
    A.{5} B.{1} C.{0,5} D.{0,1}
    【答案】C
    解:因为,所以,解得或,的取值集合为,
    故选:C
    题型四:空集
    例3:①,②,③,④,其中正确的个数为(       )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】B
    【详解】正确;正确;不正确,左边是数集,右边是点集;
    不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.
    故正确的有①②,共2个.
    故选:B.
    举一反三
    下列各式中关系符号运用正确的是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C.
    【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于,所以选项A错误;
    根据集合与集合的关系是包含或不包含,所以选项D错误;
    根据空集是任何集合的子集,所以选项B错误,故选项C正确.
    故选:C.
    考点三:集合的基本运算
    1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
    记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
    2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
    3、交集与并集的性质:A∩A = A,A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ= A , A∪B = B∪A.
    4、全集与补集
    (1)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
    S


    CsA
    A
    (2)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中
    所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。
    记作: CSA ,即 CSA ={x | xS且 xA}
    (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U
    (4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)
    题型一:交集
    例1:(2022·全国·高考真题)已知集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】,故,故选:B.
    举一反三
    (2022·全国·高考真题(文))设集合,则(  )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【详解】因为,,所以.
    故选:A.
    题型二:并集
    例2:(2022·浙江·高考真题)设集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【详解】,故选:D.
    举一反三
    (2021·北京·高考真题)已知集合,,则(   )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【详解】由题意可得:.故选:B.
    题型三:补集、全集
    例3:(2022·全国·高考真题(理))设全集,集合M满足,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【详解】由题知,对比选项知,正确,错误
    故选:
    举一反三
    (2022·北京·高考真题)已知全集,集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【详解】由补集定义可知:或,即,
    故选:D.
    题型四:集合的交并补
    例4:(2021·天津·高考真题)设集合,则(   )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【详解】,
    ,.
    故选:C.
    举一反三
    (2022·全国·高考真题(理))设全集,集合,则=(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【详解】由题意,,所以,
    所以.
    故选:D.
    题型五:Venn图
    例5:(2019·全国·高考真题(理))《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【详解】由题意得,阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7.故选C.
    【点睛】
    本题考查容斥原理,渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法,利用转化与化归思想解题.
    举一反三
    (2022·江西·九江实验中学模拟预测(理))学校运动会,某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛,已知该班共有23人参加羽毛球赛,35人参加乒乓球赛,既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人,则该班学生数为______.
    【答案】
    【详解】解:设参加羽毛球赛为集合,参加乒乓球赛为集合,
    依题意可得如下韦恩图:

    所以该班一共有人;
    故答案为:
    题型六:集合的新定义
    例6:(2022·贵州·凯里一中高一期中)已知且,若集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】
    解:由题得.
    故选:B
    举一反三
    (多选)非空集合关于运算满足:对于任意的、,都有,则称集合关于运算为“回归集”.下列集合关于运算为“回归集”的是(       )
    A.为,为自然数的减法
    B.为,为有理数的乘法
    C.为,为实数的加法
    D.已知全集,集合,为,为实数的乘法
    【答案】BC
    【详解】对于A选项,若,为自然数的减法,则,A不满足条件;
    对于B选项,若,对任意的、,则,B满足条件;
    对于C选项,若,对任意的、,则,C满足条件;
    对于D选项,已知全集,集合,,取,,
    则,D不满足条件.
    故选:BC.

    考点四:充分条件、必要条件与充要条件
    ⑴、一般地,如果已知,那么就说:是的充分条件,是的必要条件;
    若,则是的充分必要条件,简称充要条件.
    ⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系:
    Ⅰ、从逻辑推理关系上看:
    ①若,则是充分条件,是的必要条件;
    ②若,但 ,则是充分而不必要条件;
    ③若 ,但,则是必要而不充分条件;
    ④若且,则是的充要条件;
    ⑤若 且 ,则是的既不充分也不必要条件.
    Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看:已知满足条件,满足条件:
    ①_x0001_ ,则是充分条件; ②若,则是必要条件;
    ③若A B,则是充分而不必要条件;
    ④若B A,则是必要而不充分条件;
    ⑤若,则是的充要条件;
    ⑥若且,则是的既不充分也不必要条件.
    题型一:充分不必要条件
    例1:请写出不等式的一个充分不必要条件___________.
    【答案】 (答案不唯一)
    【详解】因为能推出,但是不能推出,
    所以是不等式的一个充分不必要条件,
    故答案为:(答案不唯一)
    举一反三
    已知集合,B={x|-1 【答案】
    求出.
    【详解】集合.
    因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,所以Ü B.
    因为B={x|-1 故答案为:.
    题型二:必要不充分条件
    例2:已知“”是“”的必要不充分条件,则的取值范围是_____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    先化简不等式,再根据“”是“”的必要不充分条件求解.
    【详解】
    不等式等价于,即,解得.
    因为“”是“”的必要不充分条件,
    所以,即的取值范围为.
    故答案为:
    举一反三
    若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是_________.
    【答案】
    解:由,得或,即不等式的解集为或,
    由,得,
    若,则不等式的解为,此时不等式的解集为为,
    若,则不等式的解集为或,
    若,不等式的解集为或,
    若“”是“”的必要不充分条件,
    则,
    则当时,不满足条件.
    当时则满足,即,得,
    当时,则满足,得,得,
    综上实数的取值范围.
    故答案为:.
    题型三:充要条件
    例3:“,”的充要条件是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】“,”等价于 ,
    即,
    故“,”的充要条件是,
    故选:B
    举一反三
    “对于任意的实数,不等式恒成立”的一个充分必要条件是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【详解】对于任意的实数,不等式恒成立,

    由,得,由,得,
    当时,;
    当时,,;
    当时,,
    综上,,.

    “对于任意的实数,不等式恒成立”的一个充分必要条件是,.
    故选:.

    题型四:既不充分也不必要条件
    例4:设,则“”是“”的(       )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【详解】解不等式,得,
    解不等式,得,
    故由可推出,由推不出,
    所以“”是“”的必要不充分条件.
    故选:B.
    举一反三
    若a,,则“”是“”的(       )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】D
    【详解】若,当时,,当时,;
    又当时,两边除以b,得,当且时,两边除以b,得.
    故“”是“”的既不充分也不必要条件.
    故选:D

    考点五:全称量词与存在量词
    ⑴全称量词与全称命题
    短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.
    ⑵存在量词与特称命题
    短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.
    ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
    ①全称命题:,它的否定:全称命题的否定是特称命题.
    ②特称命题:,它的否定:特称命题的否定是全称命题.

    题型一:全称量词与全称命题
    例1:已知命题“,”是假命题,则实数a的取值范围是___.
    【答案】
    【详解】若命题“”是假命题,则命题的否定“,方程”是真命题,所以.
    所以实数a的取值范围是.
    故答案为:
    举一反三
    命题“”为真命题的一个充分不必要条件是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【详解】因为命题“,”是真命题,
    所以,恒成立,所以,
    结合选项,命题是真命题的一个充分不必要条件是,
    故选:B
    题型二:存在量词与特称命题
    例2:命题“,使得”为假命题,则实数的取值范围是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【详解】因为命题“,使得”为假命题,则
    命题“,使得”为真命题,
    所以,解得,
    所以实数的取值范围为.
    故选:A.
    举一反三
    已知命题“,”是假命题,则m的取值范围是_________.
    【答案】.
    【详解】由题意可知命题“,”是真命题,即,.因为,所以,则.
    故答案为:.
    题型三:含有一个量词命题的否定
    例3:设命题:,,则为(       )
    A., B.,
    C., D.,
    【答案】A
    【详解】
    根据全称命题的否定为特称命题,所以为“,”.
    故选:A.
    举一反三
    已知命题p:,使得,则为(       )
    A., B.,
    C., D.,
    【答案】A
    解:根据命题的否定可知,为,.
    故选:A.
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