第1章 集合与常用逻辑用语-综合检测3（拔尖卷）-高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

第1章  集合与常用逻辑用语

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．设命题：，，则为

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】全称命题的否定为特称命题，变化规则为变量词，否结论，即得．

【解析】由命题：，，所以为，．故选．

2．某班共人，其中人喜欢篮球运动，人喜爱乒乓球运动，人对这两项运动都不喜爱，则喜欢篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

A．5  B．10

C．12  D．13

【答案】C

【分析】根据条件作出图，设既喜欢篮球也喜欢乒乓球运动的人数为，根据图列方程即可得的值，进而可得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．

【解析】根据条件作出图：设既喜欢篮球也喜欢乒乓球运动的人数为，

则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为，

喜欢乒乓球运到但不喜欢篮球运动的人数为，

由题意可得，解得，

所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人，故选C．

3．“且”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义即可得解．

【解析】若且，则，一定成立，即且．

当，满足，但不满足且成立

所以“且”是“”的充分不必要条件故选A．

4．已知，，若，则的取值的集合为

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】解方程得集合，由得，结合方程可得可能为，，，分别代入解出即可．

【解析】因为，由于得，结合可知当，即时，满足题意；当，即时，满足题意；

当，即时，满足题意；故的取值的集合为，故选C．

5．设全集为，非空真子集，，满足：，，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，可知和，结合Venn图一一判断即可．

【解析】由，可知，又因，得．

对于选项AB，由题意可知，集合，都是集合的子集，但是它们两个的关系无法确定，因此AB都错；

对于选项C，由，可知，故C错误；

对于选项D，由和，知，又因集合是全集的非空真子集，故，所以D正确．故选D．

6．已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值集合是

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【分析】令A，，由是的充分不必要条件，可得，可得为或或，从而可得出答案．

【解析】条件：A，条件：，

由是的充分不必要条件，可得，则为或或，

①若，则；

②若，则，解得；

③若，则，解得；

所以的取值集合是．故选C．

7．已知下列四组陈述句：

①：集合；：集合

②：集合；：集合

③：；：

④：桃浦中学高一全体学生：：桃浦中学全体学生

其中是的必要非充分条件的有

A．①②  B．③④

C．②④  D．①③

【答案】D

【分析】根据充分性和必要性的定义依次判断即可．

【解析】①若，若，此时，故充分性不成立；若，则，必要性成立，故是的必要不充分条件；

②若，根据子集的性质可得，故充分性成立，反之，若，则，必要性成立，故是的充要条件；

③，是的必要不充分条件；

④易得是的充分不必要条件．所以是的必要非充分条件的有①③．故选D．

8．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”．规定与是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是

A．4  B．6

C．8  D．9

【答案】D

【分析】对子集分，，，四种情况讨论，列出所有符合题意的集合即可求解．

【解析】，与是的子集，，对子集分情况讨论：

当时，，，，，有种情况；

当时，，，有种情况；

当时，，，有种情况；

当 时，，有种情况；所以共有种，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．使得或成立的充分非必要条件有．

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】求使得或成立的充分非必要条件，则“选项”为的集合是题目条件集合的真子集．

【解析】求使得或成立的充分非必要条件，

故“选项”为条件p，“或”为结论q，

是的充分非必要条件，设p：“”，q：“”，是的真子集． 故选ABC．

10．下列说法正确的是

A．命题的否定是“”

B．命题“”的否定是“”

C．“”是“”的必要条件

D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件

【答案】BD

【分析】根据题意，结合含有一个量词命题的否定方法，以及必要条件和充要条件的判断方法，一一判断即可．

【解析】对于选项A，命题“”的否定是“”，故A错；

对于选项B，由特称命题的否定，需把存在量词换成全称量词，再把结论否定可知，命题“”的否定是“”，故B正确；

对于选项C，当时，，因此“”是“”的不必要条件，故C错；

对于选项D，由方程有一正一负根，得，即，因此“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确．故选BD．

11．设非空集合P，Q满足，且，则下列命题正确的是

A．，有 B．，使得

C．，使得 D．，有

【答案】ABC

【分析】由题意，，且，故，依次判断即可

【解析】由题意，，且，故

选项A，由于，故，有，正确；

选项B，由于，故，使得，正确；

选项C，由于，故，使得，正确；

选项D，由于，，有，不正确．故选ABC

12．已知集合，，定义运算，则下列描述正确的是

A．

B．记为集合，则

C．若，则符合要求的有个

D．中所有元素之和为

【答案】BD

【分析】根据已知条件求出集合，进而可判断AD选项的正误，利用集合的运算可判断B选项的正误，利用列举法可判断C选项的正误．

【解析】由已知条件可得．

对于A选项，，A错；

对于B选项，，则，故，B对；

对于C选项，，即，

则满足条件的集合有：、、、、、、、，共个，C错；

对于D选项，中所有元素之和为，D对．故选BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知集合，若，则实数____________．

【答案】

【分析】根据，得到或，结合集合中元素的互异性，即可求解．

【解析】由题意，集合，且，

若时，可得，此时，不满足元素的互异性，舍去；

若时，解得或，当时，可得集合，符合题意；

当时，不符合题意，（舍去），综上可得．故答案为．

14．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是____________．

【答案】

【分析】根据特称命题的否定是真命题，转化为二次不等式恒成立，即可求解实数a的取值范围．

【解析】因为命题“，使”是假命题，

所以命题“，使”是真命题，

即判别式，即．故答案为

15．是的____________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

【答案】必要不充分

【解析】由，可得且，

所以是的必要不充分条件．故答案为必要不充分

16．以集合的子集中选出两个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有____________种不同的选法．

【答案】32

【分析】根据题意，集合A，B可以互换，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必包含{a，b}，A为B的真子集，从而解得答案．

【解析】由题意，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必含有a，b，A为B的真子集，

若，A为B的真子集，则有种，

若，A为B的真子集，则有种，

若，A为B的真子集，则有种，

若，A为B的真子集，则有种，

共有3+7+7+15=32种．故答案为32．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：

（1）对任意都成立；

（2），使．

【答案】（1）全称量词命题，否定为，假命题；（2）存在量词命题，否定为，使，假命题．

【分析】（1）根据全称量词命题的定义，结合，即可求解；

（2）根据存在量词命题的定义，结合，即可求解．

【解析】（1）全称量词命题，其否定为“”

因为，

所以命题“对任意都成立”为真命题，故否定为假命题；

（2）存在量词命题，其否定为“，使”

对于方程，可得，

所以命题“，使”为真命题，故其否定为假命题．

18．（12分）

设集合，，，求实数a的值．

【答案】或

【分析】首先求出集合，然后根据已知条件，可得，通过分类讨论集合中元素的个数即可求解．

【解析】由题意，，

又可知，，

①若，，得；

②若B中有一个元素，，得，，符合；

③若B中有两个元素，则，由根与系数关系得，

解得，．

综上所述，或．

19．（12分）

命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．

（1）“”是命题乙的什么条件？并证明；

（2）若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．

【答案】（1）充分不必要条件，证明见解析（2）

【分析】（1）由充分不必要条件的定义即可证明；

（2）先求出命题甲、乙分别为真命题时的范围，然后分甲为真命题乙为假命题和甲为假命题乙为真命题两种情况即可求解．

【解析】命题甲为真命题，则集合为空集，

当时，，解得，

当时，方程为，无解，满足题意，

综上，；

命题乙为真命题，则关于的不等式的解集为，

，解得，

（1）因为命题乙为真命题时，又，即，

所以，但，

所以是命题乙的充分不必要条件；

（2）因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题，所以分两种情况讨论：

①当甲命题为真，乙命题为假时，

有或，解得；

②当甲命题为假，乙命题为真时，

有或，解得或，

综上，实数的取值范围为．

20．（12分）

已知集合，，．

（1）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）或．

【分析】（1）由题设有、，讨论、分别判断是否符合题设，并确定的值；

（2）由题设有，讨论集合，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求的取值范围．

【解析】由题设，，

（1）由题设，，

当时，，则，即；

当时，，显然．

综上，或．

（2）由题设，，

当时，，即；

当时，，无解；

当时，，无解；

当时，，解得；

综上，的取值范围或．

21．（12分）

已知集合，，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）．

【分析】（1）解方程可求得集合，根据并集结果可知或，由此可求得结果；

（2）由交集结果可知，由此可确定所有可能的结果，分别讨论不同结果对应的的取值范围，由此可得结果．

【解析】

（1），，又，所有可能的结果为，；

当时，，解得；当时，，解得；

或；

（2），，所有可能的结果为，，，；

当时，，解得；

当时，，解得，此时，满足题意；

当时，，解得，

此时，不合题意；

当时，无解，不合题意；

综上所述：实数的取值范围为．

22．（12分）

在①；②“”是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若___________，求实数a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）详见解析．

【分析】（1）当a＝2时，得出集合A，然后根据并集的定义进行求解即可；

（2）若选条件①，可得出A⊆B，然后建立不等式，解出a的范围．若选择条件②，得，建立不等式，求的取值范围，若选项③，同样建立不等式，可得出a的取值范围．

【解析】（1）当时，集合，

所以；

（2）若选择①，则，

因为 ，所以 ，

又，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是．

若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，

因为，所以，

又，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是．

若选择③，，

因为，所以，

又

所以或，

解得或，

所以实数a的取值范围是 ．