北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点随堂练习题

§4　直线与圆锥曲线的位置关系

4.1　直线与圆锥曲线的交点

1.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,的值等于(　　).

A.0 B.2 C.4 D.-2

解析:由题意得c=,又=2=2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高),

所以当h=b=1时,取最大值,此时∠F1PF2=120°.所以=||·||·cos120°=2×2×=-2.

答案:D

2.已知直线y=x与双曲线=1交于A,B两点,P为双曲线上不同于A,B的点,当直线PA,PB的斜率kPA,kPB存在时,kPA·kPB=(　　).

A. B.

C. D.与P点位置有关

解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由得y2-=0,则y1+y2=0,y1y2=-,x1+x2=0,x1x2=-4×.

由于kPA·kPB=,即kPA·kPB为定值,故选A.

答案:A

3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(　　).

A.有且只有一条 

B.有且只有两条

C.有且只有三条 

D.有且只有四条

解析:若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和为1,不符合题意.

若直线AB的斜率存在,设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=kx-,代入抛物线方程y2=2x,得k2x2-(k2+2)x+k2=0,因为A,B两点的横坐标之和为2,所以k=±.所以这样的直线有两条.

答案:B

4.若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,设点P的坐标为(a,b),则过点P的一条直线与椭圆=1的公共点的个数为(　　).

A.0 B.1 C.2 D.1或2

解析:由题意得,圆心(0,0)到直线ax+by-3=0的距离,则a2+b2<3.

又因为a,b不同时为零,所以0<a2+b2<3.

由0<a2+b2<3,可知|a|<,|b|<,由椭圆的方程知其长半轴长为2,短半轴长为,

所以P(a,b)在椭圆内部,所以过点P的直线与椭圆=1的公共点有2个,故选C.

答案:C

5.直线l:y=x+3与曲线=1交点的个数为(　　).

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:当x≤0时,曲线方程可化为=1,即椭圆位于y轴左侧部分;当x>0时,曲线方程可化为=1,即双曲线位于y轴右侧部分,如答图,可知直线y=x+3与曲线有3个交点.

(第5题答图)

答案:D

6.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=　　　　　. 

解析:由于直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,所以A-,0,B(0,a).

由消去y,得x2+2cx+c2=0,

所以M(-c,a-ec).

由题知,|AM|=e|AB|,由图知(图略),=e,

即-c+,a-ec=e,a,所以a-ec=ae,

即1-e2=e,解得e=或e=(舍去).

答案:

7.双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2.给定四条直线:①5x-3y=0;②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果上述直线上存在点P,使|PF2|=|PF1|+6,则满足这样条件的直线对应的序号有　　　　　. 

解析:因为=1,所以a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5,由双曲线的定义,双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.

当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时,说明直线与双曲线的左支有公共点.由已知双曲线的渐近线方程为y=±x,对于①③两直线的斜率均为,

故①③均与双曲线左支无公共点,经验证②④表示的直线与双曲线有公共点.

答案:②④

8.已知双曲线C1:x2-=1.

(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程.

(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当=3时,求实数m的值.

解:(1)双曲线C1的焦点坐标为(,0),(-,0),

设双曲线C2的标准方程为=1(a>0,b>0),

则解得

故双曲线C2的标准方程为-y2=1.

(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x,

设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).

因为点A,B在直线l上,

所以

解得

于是=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2=m2=3,解得m=±.