北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.2 抛物线的简单几何性质同步训练题

3.2　抛物线的简单几何性质

1.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点.若=-4,则点A的坐标为(　　).

A.(2,±2) B.(1,±2)

C.(1,2) D.(2,2)

解析:设A(x,y)(x≥0),则y2=4x,①

又∵F(1,0),∴=(x,y),=(1-x,-y),

∴=x-x2-y2=-4.②

由①②可解得x=1,y=±2.

答案:B

2.已知点F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点.若|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　).

A. B. C. D.1

解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),则|AF|+|BF|=xA+xB+p=3,则AB的中点C()到y轴的距离d=.故选B.

答案:B

3.(多选题)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,O为坐标原点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则(　　).

A.C的准线方程为x=-4

B.点F的坐标为(0,4)

C.|FN|=12

D.三角形ONF的面积为16

解析:如答图,不妨设点M位于第一象限,

(第3题答图)

设抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A.

由抛物线的解析式可得准线方程为x=-4,故选项A正确;

由y2=16x得,点F的坐标为(4,0),故选项B不正确;

由|AN|=4,|FF'|=8得,在直角梯形ANFF'中,中位线|BM|==6,

由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,

则|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,故选项C正确;

由|ON|==8,得S△ONF=×8×4=16,故选项D正确.

答案:ACD

4.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则直线l的方程为(　　).

A.y=x-1或y=-x+1

B.y=(x-1)或y=-(x-1)

C.y=(x-1)或y=-(x-1)

D.y=(x-1)或y=-(x-1)

解析:(方法一)如答图,作出抛物线的准线l1及点A,B到准线的垂线段AA1,BB1,并设直线l交准线于点M.

(第4题答图)

设|BF|=m,由抛物线的定义可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.

由BB1∥AA1,可知,即,

则|MB|=2m,于是|MA|=6m,故∠AMA1=30°,

得∠AFx=∠MAA1=60°,结合选项知应选C.

(方法二)由题意知F(1,0),由|AF|=3|BF|可知=3.

设A(xA,yA),B(x0,y0),则从而可解得A的坐标为(4-3x0,-3y0).

因为点A,B都在抛物线上,

所以

解得

所以直线l的斜率kl==±.结合选项可知应选C.

答案:C

5.如图,南北方向的公路l,A地在公路正东2 km处,B地在A地东偏北30°方向2 km处,河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地的距离相等.现要在曲线PQ上建一座码头,向A,B两地运货物,经测算,从M到A,B的修建费用都为a万元/km,那么,修建这两条公路的总费用最低是(　　)万元.

(第5题)

A.(2+)a B.2(+1)a

C.5a D.6a

解析:依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线,欲求从M到A,B修建公路的最低费用,只需求出|MA|+|MB|的最小值,根据抛物线的定义知,只需求出点B到直线l的距离即可,因B地在A地东偏北30°方向2km处,所以B到A的水平距离为3km,

所以B到直线l的距离为3+2=5(km),

故修建这两条公路的总费用最低为5a万元.

答案:C

6.已知抛物线C:y2=8x,圆D:x2+y2-4x+3=0,点P为抛物线上任意一点,过点P向圆D作切线,切点分别为A,B,则四边形PADB的面积的最小值为　　　　　. 

解析:如答图,连接PD,圆D:(x-2)2+y2=1,该圆的圆心与抛物线的焦点重合,半径为1,则S四边形PADB=2SRt△PAD=|PA|.又|PA|=,所以当四边形PADB的面积最小时,|PD|最小.过点P向抛物线的准线x=-2作垂线,垂足为点E,则|PD|=|PE|,当点P与坐标原点重合时,|PE|最小,此时|PE|=2.故(S四边形PADB)min=()min=.

(第6题答图)

答案:

7.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程;

(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.

解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).因为点P(1,2)在抛物线上,

所以22=2p×1,解得p=2.

所以所求抛物线的标准方程是y2=4x,准线方程是x=-1.

(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,

则kPA=,kPB=.

因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以kPA=-kPB.

由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得

所以=-,

所以y1+2=-(y2+2),

即y1+y2=-4.

由①-②得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),

即,

故直线AB的斜率为-1.