高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点同步练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点同步练习题

【精品】4.1 直线与圆锥曲线的交点-1作业练习一．填空题1．设抛物线的焦点为，过的两条直线，分别交抛物线于点，，，，且，的斜率，满足，则的最小值为__________．2．已知，是双曲线的左？右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则下列结论正确的有___________.①双曲线的离心率；②双曲线的一条渐近线斜率是；③线段；④的面积是.3．已知抛物线C的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则符合条件的抛物线C的一个方程为_______.4．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若，则______.5．过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为___．6．过抛物线的焦点F作不垂直于坐标轴的直线l，交抛物线于A，B两点，线段的中垂线交x轴于点M，则______．7．已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为__________.8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若为坐标原点，的重心为点，则______．9．已知点P是椭圆上一点，是圆的直径，则的取值范围为________．10．已知椭圆C：的左，右焦点分别是是椭圆C上第一象限内的一点，且的周长为.过点作的切线，分别与轴和轴交于两点，为原点，当点在上移动时，面积的最小值为___________.11．已知椭圆的短轴长为，上顶点为，为坐标原点，点为的中点，双曲线的左．右焦点分别与椭圆的左．右顶点．重合，点是双曲线与椭圆在第一象限的交点，且．．三点共线，直线的斜率，则双曲线的离心率为______.12．已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.13．设为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为__________．14．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为_________；15．设抛物线的焦点为，为其上的一点，为坐标原点，若，则的面积为 _____.16．直线与抛物线交于A？B两点，则___________.17．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于．两点，直线与交于．两点，则的值为_______．18．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点（点位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率___________.参考答案与试题解析1．【答案】8【解析】分析：根据解析式求出焦点的坐标，从而由直线的点斜式方程写出直线，方程，与抛物线进行联立，设交点坐标，由韦达定理得焦点横坐标之和，结合抛物线中焦点弦长公式可得，由基本不等式即可求出最值.详解：解：抛物线的焦点坐标为，设直线：，直线：，联立，整理得．设，，则，设，，同理可得．由抛物线的性质可得：，，又∵，∴．当且仅当时，等号成立，∴的最小值为8.故答案为：8.【点睛】关键点睛:本题的关键是联立直线和抛物线方程后，结合韦达定理和抛物线中的焦点弦公式写出的表达式.2．【答案】②④【解析】分析：利用题设条件分析．探讨出a，b的关系，并对四个问题的条件逐一处理即可得解.详解：依题意结合双曲线定义得：，则，因，而，则，，如图：则|AB|=8a，|BF2|=6a，|BF1|=|BF2|+2a=8a=|AB|，是等腰三角形，，中，由余弦定理得，双曲线C的焦距2c=4a，即c=2a，，双曲线离心率，①不正确；而|AB|=8a，③不正确；双曲线C的一条渐近线为，其斜率为，②正确；因，，④正确.故答案为：②④3．【答案】【解析】分析：由于抛物开口不定，可先设其抛物线方程，设直线方程，联立整理可得，根据韦达定理，结合抛物线焦半径公式，代入即可得解.详解：由题意可设抛物线的其中一种方程为，且过的直线方程为，，，由联立消去可得，，所以，，所以所以，则抛物线的一个方程为．故答案为：.4．【答案】8【解析】分析：求出焦点F的坐标，过点P作y轴的垂线，垂足为N，由三角形相似可知知，求出|PN|，结合抛物线的定义，求解即可求解详解：由抛物线C：y2＝16x，可知F（4，0），即|OF|＝4（O为坐标原点），过点P作y轴的垂线，垂足为N，由三角形相似可知，所以|PN|＝3|FO|＝12，故所以．故答案为：8.5．【答案】1【解析】分析：设出切线方程，与抛物线联立，利用求得，即可得出所求.详解：设切线斜率为，则切线方程，联立方程可得，则，解得，即切线方程为，取，得．∴切线在轴上的截距为1.故答案为：1.6．【答案】【解析】分析：设，，由抛物线性质可得出，由点差法求出，进而得出直线的中垂线方程，然后得出点M的横坐标，从而得出，得出答案.详解：设，，由抛物线性质可知．因为，，所以，由题可知．所以，即，所以线段的中垂线方程为，令，则点M的横坐标，则，所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的方程与抛物线的性质，解答本题的关键是由点差法求出，进而得出直线的中垂线方程，然后得出点M的横坐标，属于中档题.7．【答案】【解析】分析：设直线．的方程联立抛物线，若，，，，应用韦达定理求．．．，根据抛物线的定义易得．，进而求目标式的值.详解：由题设，直线．的斜率一定存在，设为，，，联立抛物线方程，可得且，∴，，而，，∴，由，设为，，，联立抛物线，可得，同理有，，∴，综上，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：设直线方程联立抛物线，结合韦达定理及抛物线的定义求．，进而求目标式的值.8．【答案】8【解析】分析：设，，根据重心坐标公式，可得，根据焦点弦公式，即可得答案.详解：设，，由题意得，∴，根据焦点弦的公式可得．故答案为：89．【答案】【解析】分析：求出圆心和半径，则可得，而点P是椭圆上的点，则可得，从而可求得结果详解：可化为，又圆心是椭圆C的右焦点，所以．又P是椭圆上一点，所以．故的取值范围是．故答案为：10．【答案】2【解析】分析：设出直线的方程，根据焦点三角形的周长求解出的值，则椭圆方程可求，联立椭圆方程与抛物线方程并根据相切关系对应的求解出的关系式，然后表示出面积并结合基本不等式求解出面积的最小值.详解：设直线方程为，因为的周长为，所以，且，所以，所以椭圆，联立可得，所以，所以，又因为与坐标轴交于，所以，取等号时，所以面积的最小值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用直线与椭圆的相切关系寻找参数之间关系，根据相切关系可得，由此得到参数的关系，对后续求解面积的最小值起化简作用.11．【答案】【解析】分析：设的中点为，连接，求出直线．的方程，求得点．的方程，利用双曲线的定义求得双曲线的实轴长和焦距，由此可求得双曲线的离心率.详解：因为椭圆的短轴长为，所以，.设的中点为，连接，．分别为．的中点，则，设点，则，可得，，，则，所以，，，又，所以，解得，所以直线的方程为，而直线的方程为，联立得解得，所以的坐标为，的坐标为.又双曲线的左．右焦点分别为．，所以根据双曲线的定义，得双曲线的实轴长，所以双曲线的离心率.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得．的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于．的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．【答案】【解析】分析：依题意联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可得到，再根据，则，即可得到方程，解得即可；详解：解：依题意联立直线与椭圆方程，消去并整理得，解得或，不妨取，则，，，所以，，又，所以，因为，所以，即，即所以，解得故答案为：13．【答案】【解析】分析：直线方程与抛物线方程联立，根据抛物线的定义，结合一元二次方程根与系数关系．基本不等式进行求解即可.详解：解：由抛物线的方程可得焦点，由题意可知，显然直线存在斜率，设直线的方程为：，设，，联立，整理可得：，，由抛物线的性质可得，，所以，故答案为：．【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合基本不等式是解题的关键.14．【答案】【解析】分析：由椭圆离心率和关系可得关系，再由点差法和中点坐标公式．两点的斜率公式可得所求值.详解：由题意可得，整理可得，设，则，两式相减可得，的中点为，，则直线斜率.故答案为：.15．【答案】【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，然后求出点的会标，即可求出三角形的面积详解：解：抛物线的焦点为，因为为其上的一点，为坐标原点，，所以点的横坐标为，所以当时，，得，所以的面积为，故答案为：16．【答案】【解析】分析：联立求得交点坐标后利用两点间距离求解即可.详解：联立两个交点为，，故，故答案为：.17．【答案】【解析】分析：由题意可设：，：，联立抛物线方程，若，，，可得．，结合抛物线的定义写出．，根据垂直关系即可求.详解：由题设，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，将它们联立抛物线方程，∴，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，∵，有，∴.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据直线．抛物线的位置关系，应用韦达定理并结合抛物线定义求相交弦的弦长.18．【答案】【解析】分析：设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，求出，即可得到直线的斜率详解：解：设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，设，，，设的内切圆为圆，由双曲线的定义可得，得，由引可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，过圆心作的垂线，垂足为，因为，所以与直线的倾斜角相等，因为，不妨设,则,在中，，所以所以直线的斜率为，故答案为：【点睛】此题考查直线与双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线的斜率与倾斜角的关系的应用，解题的关键是将直线的倾斜角转化为进行求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于中档题