北师大版 (2019)4.1 直线与圆锥曲线的交点课时练习

【优选】4.1 直线与圆锥曲线的交点-2课时练习

一．填空题

1．已知曲线，若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是______.

2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，于点Q．若是钝角三角形，则点P的横坐标的取值范围是_________．

3．若椭圆：（，，）与直线：交于．两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则______.

4．已知直线和双曲线相交于两点，为原点，则面积为_______.

5．已知抛物线的焦点为，点，在上，满足，且，点是抛物线的准线上任意一点，则的面积为________.

6．已知抛物线y2=4x，F是抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A？B两点，若|AF|+|BF|=6，则线段AB中点的横坐标为___________.

7．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于A,B两点，交准线于点C，若|BC|=2|BF|，则|AB|=_____.

8．已知抛物线：的焦点为，点的直线与抛物线交于．两点，且直线与圆交于．两点.若，则直线的斜率为_________.

9．已知，分别为椭圆：的左？右焦点，为椭圆的右顶点，过且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点(在轴上方)，若，则椭圆的离心率为___________.

10．已知椭圆短轴的左．右两个端点分别为．，直线：交椭圆于两点．，设直线．的斜率分别为．，若，则的值为_________.

11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为_______________．

12．设和分别为抛物线的顶点和焦点，过的动直线与抛物线交于．两点，那么的最小值为______.

13．若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则______.

14．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，若直线的斜率，则线段的长为________；

15．过抛物线的焦点作直线交抛物线于点，（点在点上方）交抛物线的准线于点，若，则直线的倾斜角的余弦值为______．

16．设抛物线的焦点为，倾斜角为钝角的直线过点且与曲线交于 两点，若 ，则的斜率_____________.

17．双曲线的渐近线为正方形的边．所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点的直线与直线．的分别相交于．两点，则内切圆半径的最大值为______．

18．已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，圆，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于四点，则的最小值为_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：分别在和两种情况下确定曲线的方程，由此得到的图象；当时，由双曲线的渐近线方程结合图象可知满足题意；当时，由直线与圆相切可求得；综合两种情况可求得的范围.

详解：当时，；当时，；由此可得曲线图象如下图所示：

①当时，为双曲线的渐近线，其与有唯一交点，

当时，与有唯一交点；

②当时，若与有唯一交点，则与相切，

则，解得：（舍）或.

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够根据的正负确定曲线的类型，由此得到曲线的图象.

2．【答案】

【解析】分析：在轴上取点，推导出为钝角，设点，可得出，可求得的范围，进而可求得点的横坐标的取值范围.

详解：如下图所示：

在轴上取点，由抛物线的定义可得，则，

由于为钝角三角形，则为钝角，

由已知可得轴，所以，则为钝角，

设点，，，则，解得，

因此，点的横坐标的取值范围是．

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：解题的关键在于分析出为钝角，进而转化为来求解，一般而言，对于平面几何中的角的问题，一般转化为向量夹角或者直线的倾斜角，进而转化为向量的数量积或者直线的斜率来求解．

3．【答案】

【解析】分析：设，，的中点为，易得，，两式作差化简可得，再结合题中条件可得，最后简单计算即可求得答案.

详解：设，，的中点为，

将．两点代入椭圆方程得，

①②得③，

整理③得：，

因为，，

，，

所以，

因为点．点在直线：上，所以，

因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围.

4．【答案】

【解析】分析：联立方程得关于的一元二次方程，根据韦达定理，代入弦长公式求解弦长，再计算点到直线的距离，利用计算面积即可.

详解：联立得，设，

则，所以

又因为点到直线的距离为：，所以

.

故答案为：.

5．【答案】16

【解析】分析：设抛物线（），因为，所以是线段的中点，易得与轴垂直，继而可得，求出p的值，再由，点到的距离为计算的面积即可.

详解：不妨设抛物线（），

因为，所以，所以是线段的中点，则与轴垂直，

所以，

所以，，

点到的距离为，所以.

故答案为：16.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是由得出，进而得出是线段的中点且与轴垂直，进而求得p的值然后进行相关计算.

6．【答案】

【解析】分析：先根据抛物线方程求出的值，再由抛物线的性质可得到答案．

详解：解：抛物线，，

直线与抛物线相交于．两点，设其横坐标分别为，，因为，利用抛物线定义，所以，所以

所以中点横坐标为．

故答案为：．

7．【答案】

【解析】分析：分别过作准线的垂线，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解可算得弦长.

详解：

设，可知

如图，作,垂直于准线分别于，则，

又，，

，，

，，解得

故答案为：

【点睛】

8．【答案】

【解析】分析：求出圆的圆心坐标，抛物线的焦点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解直线的斜率即可.

详解：由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以，所以.设直线：，代入得，设直线与抛物线的交点坐标为，，则，，则，所以，解得.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：先由已知条件及相关结论用，，表示出和，再根据得，从而构建关于，的方程，进而求得离心率.

详解：设点的横坐标为，过点作轴，垂足为，由，得，所以，

由点是椭圆上的点，且是椭圆的右焦点知，，得，同理可得.

因为，所以，即，得，

所以，解得，又，所以.

故答案为：．

【点睛】

结论点睛：椭圆的焦半径公式：已知，分别为椭圆：的左？右焦点，设为椭圆上一点，其横坐标为，则，(为椭圆的离心率).

10．【答案】3

【解析】分析：由直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用点的坐标表示出关系，将点在椭圆上的坐标关系代入，结合韦达定理可得答案.

详解：由题意可得 ．，设．，

由点在椭圆上，则，所以，同理

直线：恒过定点，点在椭圆内，所以直线与椭圆恒有两个公共点.

由，得

,

由可得

即，所以

即，所以

即，

解得或.

又由且，所以

解得，所以取

故答案为：3

【点睛】

关键点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查利用韦达定理的设而不求方法的应用，解答本题的关键是由可得，根据点在椭圆进一步化为，将韦达定理代入，结合由且，所以进行取舍，属于中档题.

11．【答案】

【解析】分析：由抛物线方程求出，根据光学性质求出，利用三点共线求出，再根据两点间的距离公式求出三角形的三边长，进而可得三角形的周长.

详解：由可得，，所以，

因为，根据抛物线的光学性质可得，

设，根据．．三点共线可得，

整理得，解得或（舍），

所以，所以，

所以，，

，

所以的周长为.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】分析：设过点的直线的方程为，与抛物线方程联立，先求得弦长.，再求得原点到直线的距离，然后由求解.

详解：由题意可得且直线的斜率一定存在，

设过点的直线的方程为，，，

联立方程，

消去得.

所以，，

故.

原点到直线的距离，

所以

故当时，有最小值.

故答案为：

13．【答案】或

【解析】分析：联立直线与双曲线方程，化为，分类讨论：当时，此时直线双曲线的渐近线，满足题意；当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得，解出即可．

详解：联立，可得．

①当时，可得，此时直线与双曲线的渐近线平行，

直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；

②当时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，

可得，

解得，满足条件．

综上可得：，．

故答案为，.

14．【答案】

【解析】分析：根据直线的斜率可以求得P点的横坐标，根据抛物线定义，求得PF的长.

详解：∵直线的斜率为-2，

∴，又焦点到准线的距离为，

则P点纵坐标为，代入抛物线方程，

求得横坐标为6，即，

.

故答案为：.

15．【答案】

【解析】分析：作出抛物线准线，作垂直于准线于，由，判断是的中位线，进一步得出，则直线l的倾斜角可求.

详解：解：

,设,过作出抛物线准线，则

过M作垂直于准线于,则轴

∵，F为的三等分点，所以是的三等分点，

所以，

∴，即，∴，

∴

直线的倾斜角的余弦值为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，结合三角形的有关知识和抛物线的定义考查求直线倾斜角的方法，解题的关键是根据抛物线的定义求出，考查运算求解能力和逻辑推理能力，基础题.

16．【答案】

【解析】分析：由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式得答案．

详解：由题意，抛物线，可得，

设直线的直线方程为，

联立方程组，可得，

设，则，

因为，可得，解得，

又因为直线的倾斜角为钝角，所以.

故答案为：

17．【答案】

【解析】分析：根据双曲线和正方形的对称性．三角形的面积公式，结合基本不等式．直角三角形内切圆半径公式．分式型函数的单调性进行求解即可.

详解：由题意得，过．向轴作垂线，垂足分别为，．

设，，则，．

，所以有．

又，有．（当且仅当时等号成立）．

的内切圆半径令，，则在上单调递减．

∴当时，有最大值为．

故答案为：

【点睛】

关键点睛：利用三角形的面积得到等式是解题的关键.

18．【答案】

【解析】分析：根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.

详解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以抛物线方程为，

如下图，，

因为，

设，所以，

所以，

设，所以，，所以，

所以，取等号时，

所以的最小值为，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.