高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点达标测试

【基础】4.1 直线与圆锥曲线的交点-1优选练习

一．填空题

1．过抛物线的焦点作两条相互垂直的弦，，且，则的值为___________.

2．椭圆：的左．右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，则__________.

3．设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，△的面积为，则抛物线的方程为______________．

4．已知抛物线：（）的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.如果是面积为的正三角形，那么_________.

5．已知直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为2，则双曲线的焦距的最小值为________.

6．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率等于______.

7．设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值是______.

8．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家．数学家．天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．

9．已知为抛物线对称轴上一点，且过该点的直线与抛物线交于．两点，则直线．斜率乘积为_______．

10．椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为______．

11．已知双曲线的左．右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．

12．已知抛物线与直线相切，则__________．

13．已知抛物线焦点为为坐标原点，直线过点与抛物线交于两点，与轴交于，若，则的面积为___________.

14．已知椭圆：（）的左，右焦点分别是，，是椭圆上第一象限内的一点，且的周长为．过点作的切线，分别与轴和轴交于，两点，为原点，当点在上移动时，的面积最小值为________．

15．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.

16．抛物线：的准线为，过焦点的直线与相交于A，两点，分别过A，作准线的垂线，垂足分别为，，与的面积分别为，，且，则的面积为______.

17．P．Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.

18．设为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的焦点弦长公式表示出，然后计算．

详解：焦点为，，

设直线的倾斜角为，直线的斜率角为或，

显然时，记，直线方程为，设，

由得，

则，，

所以

，

，，

∴.

故答案为：．

【点睛】

结论点睛：本题考查抛物线的焦点弦性质，是抛物线的过焦点的弦，直线的倾斜角为，则焦点弦长．焦点弦还有许多性质，如，等等．

2．【答案】或

【解析】分析：根据题意可知，，设直线，，联立直线与椭圆方程可得，由面积公式即可求出，得到，从而求出的值．

详解：如图所示：当直线斜率为零时，显然不符合题意，由题意可知，，，

设直线，，不妨假设点在轴上方．

由化简可得，，

所以．

即的面积为，即，于是有，

，化简得，，解得，所以．

当时，，所以，所以；

当时，，，所以．

同理可知，当点在轴上方时，或．

故答案为：或．

3．【答案】

【解析】分析：由题设易得圆的半径．，结合△的面积即可求参数，进而写出抛物线方程.

详解：由题意，，，且，

∴圆的半径，即，而，

由抛物线的定义知：到的距离，

∴，即，解得.

∴抛物线方程为.

故答案为：.

4．【答案】1

【解析】分析：结合抛物线的知识以及三角形的面积，求得.

详解：因为是面积为的正三角形，所以，，

依题意可知轴，所以，

所以.

故答案为：

5．【答案】4

【解析】分析：先由直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为2，得到，利用基本不等式求出，从而得到焦距的最小值.

详解：

由题意可知：，由，解得：，则

所以，即.

在双曲线中，，所以，所以.

所以双曲线的焦距的最小值为4.

故答案为：4

【点睛】

解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．

6．【答案】

【解析】分析：利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．

详解：解：设，，，，

则①，②，

是线段的中点，

，，

直线的方程是，

，

①②两式相减可得：，

，

，

，

，

故答案为：.

7．【答案】

【解析】分析：思路一：令，则：，由直线：可知纵向距离最小，设与直线平行的切线方程为：，求出相切时的值，即可得出答案.

思路二：同思路一，知纵向距离最小，设与直线平行且与椭圆相切的直线切于点，易知切线方程为：，其斜率，得，代入椭圆方程即可求得P点的坐标，从而得出答案.

详解：解法一：令，则：，由直线：可知纵向距离最小，设与直线平行的切线方程为：，与椭圆联立，得，由得，，故.

解法二：同解法一，知纵向距离最小，设与直线平行且与椭圆相切的直线切于点，易知切线方程为：，其斜率，∴，代入椭圆方程得，∴，即，此时点.

故.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：由题意求得到抛物线，联立，解得，结合导数的几何意义，求得抛物线过点，点的切线方程，联立方程组，求得，进而得到所以围成的三角形面积为，结合题意，即可求得封闭图形的面积．

详解：由的最小值是，可得，解得，所以抛物线的方程是，

联立方程组，解得，

又由抛物线可化为，可得，

设抛物线在点的切线斜率分别为，，则，，

所以抛物线过点，点的切线方程分别是和，

联立方程组，解得，

所以抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，

所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积．

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：设点．，直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式以及抛物线的方程可求得，即为所求.

详解：设点．，则，同理可得，

若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.

设直线的方程为，

联立，可得，由韦达定理可得，

因此，直线．斜率乘积为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为．；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为．（或．）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

10．【答案】

【解析】分析：设出坐标，根据点在椭圆上利用点差法求解出的值，再利用直线的点斜式方程可求解出直线方程.

详解：设直线与椭圆的两个交点为，因为在椭圆上，

所以，所以，

所以，所以，

所以，所以，

所以的方程为：，即，

故答案为：.

11．【答案】

【解析】分析：设与的内切圆圆心分别为，， 的内切圆与三边分别切于点，，， 利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．

详解：设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，

的内切圆与三边分别切于点，，，如图，

则，

所以，即，

同理，所以，

设直线的倾斜角为，则，

在中，，

在中，，

由题得，所以，

解得，所以．

故答案为：﹒

12．【答案】

【解析】分析：联立直线方程和抛物线方程，消元后利用判别式为0可求的值.

详解：联立方程组整理得

因为与相切，所以，解得或舍去)．

故答案为：3.

13．【答案】32

【解析】分析：写出抛物线的焦点F坐标，求出直线l的方程，联立直线l与抛物线的方程组，利用韦达定理及抛物线的定义求出p即可作答.

详解：抛物线焦点，而直线l过点，则直线l的斜率为，其方程为，即，

由消去x得，

显然，设，则，而，

由抛物线定义知，，解得，

即，，而，于是得，

所以的面积为32.

故答案为：32

14．【答案】2

【解析】分析：首先可求出椭圆的方程，设切线的方程为，联立直线与椭圆的方程消元，然后由可得，然后，利用基本不等式求解即可.

详解：因为的周长为，所以，

因为，所以可解得，即椭圆的方程为

设切线的方程为，其中

由可得

所以，化简可得

由可得

所以

当且仅当，即时等号成立

所以的面积最小值为2

故答案为：2

15．【答案】

【解析】分析：由题意知，，则；由三角形的三边关系可知，

从而可求出，由椭圆的定义知，

，

从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程.

详解：由椭圆定义可知，且，则，

因为，所以，

所以，所以，

故的方程为.

故答案为：.

16．【答案】

【解析】分析：设，，，先证明，由可得，再利用三角形面积公式可得答案.

详解：如图，设，，，则，.

因为，

所以，

所以.

由余定理得，.

因为，，

所以，

即，

所以，

故的面积为.

故答案为：4.

17．【答案】4

【解析】分析：根据椭圆中长轴是最长的弦，即可求出结果.

详解：由于椭圆中长轴是最长的弦，所以，

故答案为：4.

18．【答案】

【解析】分析：直线方程与抛物线方程联立，根据抛物线的定义，结合一元二次方程根与系数关系．基本不等式进行求解即可.

详解：解：由抛物线的方程可得焦点，由题意可知，显然直线存在斜率，

设直线的方程为：，设，，

联立，整理可得：，

，

由抛物线的性质可得，，

所以，

故答案为：．

【点睛】

关键点睛：利用抛物线的定义，结合基本不等式是解题的关键.