高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程当堂达标检测题

§3　抛物线

3.1　抛物线及其标准方程

1.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过点P的抛物线的标准方程是(　　).

A.y2=-x或x2=y

B.y2=x或x2=y

C.y2=x或x2=-y

D.y2=-x或x2=-y

解析:直线方程可化为a(x+2)-x-y+1=0,由得P(-2,3),经检验知A正确.

答案:A

2.已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为(　　).

A.1 B.1或4 C.1或5 D.4或5

解析:因为点M到对称轴的距离为4,

所以点M的坐标可设为(x,4)或(x,-4).

又因为点M到准线的距离为5,

所以解得

所以点M的横坐标为1或4.

答案:B

3.已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(　　).

A.x2=y B.x2=y

C.x2=8y D.x2=16y

解析:由e2=1+=4,得,则双曲线C1的渐近线方程为y=±x,即±x-y=0.抛物线C2的焦点坐标为,则有=2,解得p=8.

故抛物线C2的方程为x2=16y.

答案:D

4.从抛物线y2=4x上的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的内切圆的面积为(　　).

A.π B.π

C.π D.π

解析:如答图,不妨令点P在第一象限,∵|PM|=5,

(第4题答图)

∴点P的坐标为(4,4).

∴S△PMF=×5×4=10.

设△PMF的内切圆圆心为O',半径为r,则S△PMF=S△O'PM+S△O'PF+S△O'MF,

即(5+5+2)r=10,解得r=.

故△PMF内切圆的面积为πr2=π.

答案:B

5.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.设l与x轴的交点为K,P为抛物线C上异于O的任意一点,点P在l上的射影为点E,∠EPF的外角平分线交x轴于点Q,过点Q作QM⊥PF交PF于点M,过点Q作QN⊥EP交线段EP的延长线于点N,则(　　).

A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF|

C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF|

解析:如答图,由抛物线的定义可知|PE|=|PF|,故A正确.

(第5题答图)

因为PQ是∠EPF的外角平分线,所以∠FPQ=∠NPQ.又EN∥KQ,所以∠NPQ=∠PQF,所以∠FPQ=∠PQF,所以|PF|=|QF|,故B正确.

若|PN|=|MF|,

则有△FMQ≌△PNQ,从而有|FQ|=|PQ|,所以∠PFQ=,此时P为定点,与P为抛物线C上异于O的任意一点矛盾,故C不正确.

因为四边形KQNE是矩形,所以|EN|=|KQ|.

又|PE|=|PF|=|QF|,所以|PN|=|KF|,故D正确.故选ABD.

答案:ABD

6.过抛物线x2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A,B两点(点A在y轴左侧),则=.

解析:如答图,设抛物线的准线为l,分别过点A,B,作AA1⊥l,BB1⊥l,交l于点A1,B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.

(第6题答图)

又已知AB的倾斜角为30°,

则|BB1|-|AA1|=|AB|=(|AF|+|BF|),

∴|BF|-|AF|=(|AF|+|BF|),

整理得|BF|=3|AF|,故.

答案:

7.已知点A(12,6),点M到F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1.

(1)求点M的轨迹方程G.

(2)在G上是否存在一点P,使点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值?若存在,求此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)因为点M到点F(0,1)的距离比它到x轴的距离大1,即“点M到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离”,所以点M的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,此时,p=2,故所求轨迹方程G为x2=4y.

(2)存在点P,使得点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和取得最小值.理由如下:

如答图,易判断出点A在抛物线外侧,设P(x,y),则点P到x轴的距离为y,设点P到准线y=-1的距离为d,则y=d-1.

(第7题答图)

故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d.

于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.

由答图可知,当A,P,F三点共线且P在AF之间时,|PA|+|PF|取得最小值13.此时直线AF的方程为y=x+1,由得点P坐标为(3,)或(-)(舍去).故在抛物线G上存在点P,使得所求距离之和最小.