北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点达标测试

【精品】4.1 直线与圆锥曲线的交点-1课堂练习

一．填空题

1．过抛物线的焦点作斜率为的直线，与该抛物线交于，两点，若的面积等于（为坐标原点），则______．

2．已知抛物线的焦点为圆的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线线C于A．B两点，则______.

3．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则直线倾斜角的范围是___________.

4．设椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与交于，两点（点在轴上方），且满足，则直线的斜率为______.

5．P．Q是椭圆C：的动点，则的最大值为__________.

6．过抛物线：的焦点的动直线交于，两点，线段的中点为，点.当的值最小时，点的横坐标为___________.

7．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中点O为坐标原点），则面积的最小值是______________．

8．已知抛物线的焦点到直线的距离为，且直线与抛物线交于，两点，则___________.

9．过抛物线焦点的直线交于，两点，点在第一象限，若，则直线的倾斜角为________．

10．已知斜率为的直线过抛物线()的焦点，与抛物线交于，两点(点在点的左侧)，又为坐标原点，点也为抛物线上一点，且，，则实数的值为___________.

11．已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，，则线段长为______．

12．已知为抛物线对称轴上一点，且过该点的直线与抛物线交于，两点，则直线，斜率乘积为___________.

13．抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为．，则______．

14．已知抛物线，斜率小于0的直线交抛物线于．两点，点是线段的中点，过点作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则直线的斜率的最大值为________．

15．已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，轴，则的面积为____________．

16．已知是抛物线的焦点，是的准线上一点，面积为的等边的顶点恰在抛物线上，若直线与抛物线的另一个公共点为，则______．

17．若直线：过双曲线：的左焦点，且与双曲线只有一个公共点，则双曲线的方程为______.

18．三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如图，已知圆心角ACB是待三等分的角(0<∠ACB<π)，具体操作方法如下∶在弦AB上取一点D，满足AD=2DB，以AD为实轴，为虚轴作双曲线，交圆弧AB于点M，则∠ACM=2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线，已知双曲线E的方程为，点A，D分别为双曲线E的左，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交双曲线E于点P，若扇形CMB的面积为，则的值为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：设出直线的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合三角形面积公式进行求解即可.

详解：由题意可得抛物线的焦点，从而直线的方程为，代入抛物线方程，得，设，，则，，的面积为，得．

故答案为：

2．【答案】16

【解析】分析：求出圆心，可求出p=2，得到直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式即可求解.

详解：圆的圆心为（0,1）可得：，即，所以抛物线.

∵直线的倾斜角为60°，∴斜率，故直线AB的方程：.

联立直线与抛物线,可得：，

设，则有，

则.

故答案为：16

【点睛】

求圆锥曲线的弦长：

（1）“设而不求法”，利用弦长公式求弦长，这是求弦长的一般方法；

（2）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式：

3．【答案】

【解析】分析：设直线：，，联立直线方程和抛物线方程，再利用焦半径公式和韦达定理化简，从而可求斜率的取值范围，故可得倾斜角的范围，注意斜率不存在的情形.

详解：由抛物线的方程可得.

当直线的斜率不存在时，则，此时，满足要求.

当直线的斜率存在时，设直线：，.

由，得，

则且，，

故，，

解得或，所以直线倾斜角的范围是.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：设，，由题意可设直线的方程为，由可得，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可求表示出，从而可求出的值，进而可求出直线的斜率；或利用椭圆的焦半径公式表示出，，然后由可得，而由可得，进而可求出交点坐标，从而可求出直线的斜率；或利用椭圆的第二定义求解即可

详解：方法1：设，，

由题意可设直线的方程为.

由，得，

则有.①

由消去，得.

则，②；.③

由①②得，代入③得即，

则的斜率为.

方法2：设，，

则，.

由，得，即，①

由，得，即.②

由①②得，，

则，则直线倾斜角为60°.

方法3：如图，设直线的倾斜角为，为椭圆的右准线，

过点作交于点，过点作垂直于轴，且交轴于点，

过点作交于点，过点作垂直于轴，且交轴于点，

则有，

即；，

即.

而，则，

即，解得，

则直线的斜率为.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本小题主要考查椭圆的定义．标准方程．直线的方程．直线与椭圆位置关系等基础知识；考查运算求解．推理论证等数学能力及创新意识；考查数形结合．化归与转化等数学思想；解题的关键是把转化为的坐标关系，属于中档题

5．【答案】4

【解析】分析：根据椭圆中长轴是最长的弦，即可求出结果.

详解：由于椭圆中长轴是最长的弦，所以，

故答案为：4.

6．【答案】9

【解析】分析：结合抛物线的几何性质分析得到，进而得到，由，，三点共线且在，之间时，的值最小，然后联立方程解出点的坐标即可.

详解：解：设抛物线的准线为，作，，，垂足分别为，，.

则，

∴，

∴，

点到直线的距离为13，∴，

当，，三点共线且在，之间时，，

此时，点的纵坐标为.

∵过点，

故设方程为，

代入，得，

，，则.

当，，三点共线时，，

∴，，

直线的方程为，.

点在，之间，成立，

所以，当的值最小时，点的横坐标为9.

故答案为：9.

7．【答案】

【解析】分析：先设直线方程和点的坐标联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后把面积表示出来，探求其最值

详解：解：设直线的方程为，点，直线与轴的交点为，

由，得，则，

因为，所以，则，即，

因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以，

所以，即，则，

由抛物线得焦点，

所以

，当时取等号，

所以面积的最小值是，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：此题考查抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是利用，得，从而可求出直线恒过定点，进而可表示出三角形面积，然后求其最小值，考查计算能力，属于中档题

8．【答案】

【解析】分析：利用到直线的距离求得，联立直线的方程和抛物线方程求得，由此求得.

详解：由题知，抛物线的焦点，则焦点到直线的距离，解得或.又直线与抛物线交于，两点，设，，联立消去并整理得，则，解得，所以，所以直线.代入抛物线，消去并整理得，则，所以.

故答案为：

【点睛】

直线和圆锥曲线相交有两个交点的问题，要注意结合来求解.

9．【答案】

【解析】分析：过作，垂直准线，垂足为，，过作垂线，垂足为，利用抛物线的定义，即可得答案；

详解：过作，垂直准线，垂足为，，过作垂线，垂足为，

由抛物线定义知，，．

所以，

又因为，所以，即直线的倾斜角为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的定义．焦点弦的性质及平面几何的知识，求解时注意利用直角三角形中三边的关系.

10．【答案】0或

【解析】分析：设出直线方程，与抛物线方程联立根据韦达定理和弦长公式，求出，再求出点，的坐标，根据向量的运算即可求出．

详解：解：由于直线斜率为，且过焦点，则其方程为，

将直线方程与抛物线方程联立，消可得，①

设，，，，

，

，

，

，即，

①式变为，

解，，

，，，，

设，

则有，，

消，化简整理可得，

解得或．

故答案为：0或．

11．【答案】

【解析】分析：设，不妨设，直线方程为，联立，由得到，结合韦达定理求得点A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.

详解：设，不妨设，直线方程为，

由，得，

由韦达定理得，

因为，

所以，

解得，，

所以，

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：设出直线方程，利用韦达定理表示斜率积，即可得到结果.

详解：设过的直线方程为：，

联立方程 ，可得，

设，两点的坐标为

则

而，

故答案为：

13．【答案】49

【解析】分析：将点P的坐标代入双曲线方程，可求得的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得两点处的切线的斜率，求得切点弦AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可

详解：解：由于点在曲线上，所以，

则双曲线的方程为，即，则，

所以抛物线方程为，准线方程为，

设，则，

由，得，

所以处的切线方程为，

即，即，

将点代入可得，

同理可得，

所以直线的方程为，

联立抛物线的方程，可得，

所以，

所以

.

故答案为：49

【点睛】

关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程，，从而可得切点弦的方程为，考查计算能力，属于较难题

14．【答案】

【解析】分析：设出直线方程，与抛物线联立，求得B的坐标，从而写出C，Q，P点的坐标，表示出OP的斜率，根据基本不等关系求得最大值.

详解：解：设：，代入

得，

由韦达定理知：，，

由知，，，，，

.

当且仅当“”即时，等号成立.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：将直线方程与抛物线联立，求得各点坐标，用k表示出OP的斜率，借助不等式求最值.

15．【答案】

【解析】分析：根据轴，求出点的坐标，由，即可求出的面积.

详解：解：根据题意，可得，

因为轴，故设，

代入得：，解得，

所以.

故答案为：.

16．【答案】

【解析】分析：不妨设点位于第一象限，分析出直线的倾斜角为，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦点弦长公式可求得.

详解：由于对称性，不妨设点位于第一象限，

由于为等边三角形，则，且点在抛物线的准线上，

由抛物线的定义可知，与抛物线的准线垂直，

所以，，所以，，故是边长为的等边三角形，

由已知可得，解得，

所以，抛物线的标准方程为，

因为，则直线的倾斜角为，

直线的方程可表示为，设点．，

联立，化简得，所以，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

17．【答案】

【解析】分析：由题意，直线与渐近线平行，且过左焦点，所以可列关于的三个等式，求解，即可得双曲线方程.

详解：过双曲线：（，）的渐近线方程为，因为过双曲线：的左焦点的直线：与双曲线只有一个公共点，所以直线与渐近线平行，得，，又因为，解得，，，所以双曲线的方程为.

故答案为：.

18．【答案】

【解析】分析：由可得，右准线方程为，然后设，，然后可得，，然后可求出，然后联立直线的方程和双曲线的方程求出点的纵坐标即可.

详解：由可得，右准线方程为

设，，则圆C∶，

由题意可得，又有，即

可得，则BC：，联立，可得

所以

故答案为：