北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点同步训练题

【基础】4.1 直线与圆锥曲线的交点-1练习

一．填空题

1．已知椭圆：的右焦点为，若过的直线与椭圆交于，两点，则的取值范围是______．

2．已知抛物线:的焦点为，为上的动点，直线与的另一交点为，关于点的对称点为．当的值最小时，直线的方程为_______．

3．已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，过作轴的垂线，垂线交该双曲线的一条渐近线于点，在另一条渐近线上取一点，使得，若，则双曲线的离心率为__________.

4．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为7，到轴的距离为5，则___________.

5．已知抛物线的准线与坐标轴交于点，若过点的直线与抛物线相切于点，且，则___________.

6．已知抛物线上一点，且抛物线上两个动点满足，若直线过定点，则的坐标为 _________.

7．抛物线的焦点为，准线为，是上在第一象限内的一点，点在上，已知，，则直线与轴交点的坐标为___________.

8．已知直线(斜率大于)的倾斜角的正弦值为，在轴上的截距为，直线与抛物线交于两点.若，则___________.

9．已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________．

10．直线l过定点，且与双曲线有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为__________.

11．已知直线经过抛物线的焦点并交抛物线于，两点，则，且在抛物线的准线上的一点满足，则______.

12．已知抛物线：的焦点为，圆，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为___________.

13．设是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，则直线过定点，定点坐标为___________.

14．已知AB，CD都是经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，且AB⊥CD，则四边形ACBD面积的最小值是 ______.

15．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，点是坐标原点，若，则的面积为___________.

16．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于A，两点，且，则___________.

17．在平面直角坐标系中，椭圆，双曲线，．分别为，上的动点（．都不在坐标轴上），且，则的值为_____．

18．已知直线与抛物线相交于两点，设，若直线恰好平分，则___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值，然后分为椭圆的右顶点和为左顶点两种情况求解即可得答案

详解：解：由椭圆性质可知，当，分别为椭圆的顶点时，取最值．

当为椭圆的右顶点时，最小，此时，

此时恰为椭圆的左顶点，最大，此时，此时的最小值为，

同理可得的最大值为2，即的取值范围是．

故答案为：．

2．【答案】

【解析】分析：设为的中点，设抛物线的准线为，作，，，则由抛物线定义知，点到直线的距离为，，当，，三点共线且在，之间时，，此时，点的纵坐标为，设方程为，与抛物线联立求得参数m，即可求得直线方程.

详解：解：设为的中点，连接，

设抛物线的准线为，作，，，垂足分别为，，．

则，，

，

点到直线的距离为，

，

当，，三点共线且在，之间时，，

此时，点的纵坐标为．

过点，

故设方程为，

代入，得

，，则．

当，，三点共线时，，

，，

直线的方程为，．

点在，之间，成立．

所以，当的值最小时，直线的方程为．

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：根据得到，设直线的方程为，与另一条渐近线方程联立，求得点B，再由求解.

详解：设双曲线的半焦距为，且不妨设.

由知，，

所以直线的方程为，

由，解得，

又，

所以，

解得，

所以双曲线的离心率.

故答案为：

4．【答案】4

【解析】分析：根据抛物线的定义计算．

详解：由题意，解得．

故答案为：4.

5．【答案】

【解析】分析：设切点为，…，设切线方程为，与抛物线方程联立，由相切（）可求得斜率， 求得切点坐标，由求得．

详解：由题意知，抛物线的准线方程为，点，切线的斜率一定存在，设切线的方程为，切点，

联立抛物线与切线的方程消去得，

由，解得

当时，则，可得，则

因为，所以，解得当时，同理可得.

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查直线与抛物线的相切问题．解题方法是由直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后所得方程为一元二次方程时，由判别式（）直线与抛物线的位置关系．

6．【答案】

【解析】分析：根据题意设出合适直线的方程，联立直线与抛物线的方程，得到关于的一元二次方程及其韦达定理形式，将转化为和韦达定理有关的形式，由此求解出的关系式，用表示后即可求得所过的定点坐标.

详解：由题意可知，直线的斜率不为零，所以设，，

所以，所以，所以，

又因为，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以过定点，

故答案为：

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：

（1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求；

（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.

7．【答案】

【解析】分析：先画出图形，设，由及可得，，再设在上射影为，由抛物线定义，及，可得，进而再求出，，再由中点坐标公式求出点P的坐标即可.

详解：设，则，，由可得，

设在上射影为，由抛物线定义，，

因为，所以，

故垂直平分，直线经过线段中点，

因为轴，所以中点在轴上，因为，，

所以点的坐标为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象．直观的特点来解题，特别是涉及焦点．顶点．准线的问题更是如此.

8．【答案】4

【解析】分析：先求出直线的斜率，联立直线与抛物线C的方程，借助弦长公式即可得解.

详解：依题意，直线的倾斜角为45o，斜率k=1，直线的方程为：y=x+2，

由得，设，则，

从而有，

即，而p>0，解得p=4.

故答案为：4

【点睛】

结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离；

直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离.

9．【答案】

【解析】分析：设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．

详解：设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以

故答案为：.

10．【答案】2

【解析】分析：由双曲线的渐近线为，所以点在渐近线上，根据该点所在位置以及和双曲线关系，可得有两条直线和双曲线有一个公共点.

详解：因为点在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，

一条与另一条渐近线平行，

另外一条与双曲线相切，此时斜率不存在.

故答案为：2

11．【答案】2

【解析】分析：由所给向量关系可得点C在直线AB上，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，结合抛物线定义求出即可作答.

详解：过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为N，M，令准线交x轴于点K，如图：

则有，因点C在准线上且满足，即点C是直线AB与准线的交点，

于是有，得，从而有，即点F是线段AC的中点，

而，则有,又，

所以.

故答案为：2

12．【答案】

【解析】分析：根据切线的性质，利用面积等积法建立|AB|=，利用抛物线定义知，分析范围求解即可.

详解：因为圆，即，

圆F的圆心为F(2,0),半径r=2,

所以抛物线方程,

四边形MAFB的面积，

所以|AB|=，

由抛物线定义,得,又 x∈[1,4],

所以|MF|2∈ [9，36],

所以，

所以

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：设直线OA为，与抛物线联立，根据条件，分别求得A，B的坐标，写出直线AB的方程，从而判断是否过定点.

详解：设直线OA为，（），联立抛物线方程，得，

解得，则，即

由直线OA与直线OB斜率乘积为-2，同理求得，

则直线AB的方程为，

化简得，故直线AB过定点

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：求得A，B的坐标，写出直线AB的方程，不论k取何值，均满足方程，则参数k前的系数应为0，从而求得定点坐标.

14．【答案】

【解析】分析：设直线的方程：，设直线的倾斜角为，设，利用韦达定理可得，同理可得，再求面积即可．

详解：可知，设直线的方程：，设直线的倾斜角为．

设，

联立直线与抛物线的方程整理得：．

，．．

，

同理可得．

所以四边形面积，当时取得最小值.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键一是求弦长，二是二倍角公式的运用，三是准确的计算能力.

15．【答案】

【解析】分析：数形结合即可求解.

详解：由已知可得.

如图过作，垂足为，

则由抛物线的定义得，

，，

代入得，

或.

不妨设，又，直线方程为，

即，代入得，，

故答案为：.

16．【答案】

【解析】分析：设过的直线方程为，利用韦达定理求得，利用焦半径公式求出，可得，再利用焦半径公式可得答案.

详解：设过的直线方程为，，，

则联立方程得

，，

，，

，，

所以，

故，

.

故答案为：.

17．【答案】

【解析】分析：由题意，直线．均不与坐标轴重合，联立直线与双曲线方程，可得点坐标；联立直线与椭圆方程，可得点坐标，进而可计算出的值．

详解：由题意，直线．均不与坐标轴重合，

双曲线的渐近线方程为，

设直线的方程为，由，

可得直线的方程为，

联立，

得，

，

联立，

得，

，

故答案为：．

18．【答案】

【解析】分析：将直线方程代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据直线恰好平分可知，利用两点连线斜率公式表示出，代入韦达定理的结论可构造方程求得结果.

详解：由得：，

由得：，

设，则，，

直线恰好平分，直线与直线的倾斜角互补，

直线斜率与直线斜率互为相反数，即，

即，整理得：，

，又，解得：.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查直线与抛物线综合应用问题，解题关键是能够通过直线恰好平分得到，从而结合韦达定理构造方程求得结果.