高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线4 直线与圆锥曲线的位置关系4.1 直线与圆锥曲线的交点复习练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线4 直线与圆锥曲线的位置关系4.1 直线与圆锥曲线的交点复习练习题，共26页。试卷主要包含了已知双曲线，汽车前照灯主要由光源，已知下列几个命题，已知椭圆等内容，欢迎下载使用。
【特供】4.1 直线与圆锥曲线的交点-2优选练习一．填空题1．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过坐标原点的直线与双曲线交于，两点，点是双曲线上一点，且直线，的斜率分别为，，若不等式恒成立，则双曲线的离心率为________.2．已知抛物线，点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为__________．3．已知双曲线：的左．右焦点分别为，，是双曲线左支上的点，的周长是9，动点在双曲线的右支上，则面积的取值范围是________.4．设抛物线的焦点为F，点的纵坐标为，N为抛物线上一点，若△为等边三角形，则△的面积为________．5．汽车前照灯主要由光源．反射镜及配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线.在平面直角坐标系中，设抛物线，抛物线的准线记为，点，动点在抛物线上运动，若点到准线的距离等于，且满足此条件的点有且只有一个，则__________6．已知下列几个命题：①的两个顶点为，周长为18，则点轨迹方程为；②方程表示的曲线是两条射线；③直线与椭圆恒有两个公共点；④如果曲线上点的坐标满足方程，则有点集其中正确的命题的序号为____________________．7．已知椭圆：(，)的右焦点为，点在椭圆上，直线与圆：相切于点，若，则的离心率为___________.8．已知为双曲线的右焦点，过点作垂直于双曲线的一条渐近线的直线，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线交于点，若，且的面积为（为坐标原点），则双曲线的标准方程为______.9．已知抛物线的焦点为，准线为，点是上一点，过点作的垂线交轴的正半轴于点，交抛物线于点，与轴平行，则___________.10．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为__________.11．已知点，为抛物线：上不同于原点的两点，且，则的面积的最小值为__________.12．已知为椭圆上一点，．是焦点，，则______．13．设抛物线C∶()的焦点为，第一象限内的A，B两点都在C上，O为坐标原点，若，，则点A的坐标为______.14．过抛物线的焦点且斜率大于0的直线交抛物线于点(点于第一象限)，交其准线于点，若，则直线的斜率为___________.15．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为，则的值为___________.16．若点是直线：上的动点，过点作抛物线：的两条切线，切点分别为，，则______.17．过双曲线的右焦点的直线交双曲线于．两点，交轴于点，若，，规定，则的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆中，的定值为________.18．椭圆的左．右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的点，椭圆在点处切线斜率为，则______.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：由可得，直线为，设，然后将直线方程与抛物线方程联立，消去，利用根与系数的关系，结合已知可得，由题意可得，关于原点对称，所以设，，可得，再利用基本不等式可得，从而可得，进而可求出双曲线的离心率详解：解：由恒成立，可得，因为，所以，则设直线为，设，令，由，得，则，因为，，所以，所以恒成立，因为直线过原点，所以，关于原点对称，设，，因为点在双曲线上，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，即，所以离心率为，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式的应用，解题的关键是由恒成立，可得，而求得，由基本不等式得，从而可得，考查计算能力和转化思想，属于中档题2．【答案】【解析】分析：设，，，联立在点处切线方程与抛物线方程，利用判别式为零求出斜率，并分别将点代入在点和处的切线方程，可得直线的方程，进入求出直线所过的定点坐标，即可得出点到直线的距离的最大值．详解：设，，．由题意知在点处切线的斜率存在且不为，设在点处切线的斜率为，则切线方程为，所以，整理得，由，解得，所以在点处的切线方程为．同理可得在点处的切线方程为．又都过点，所以，，所以直线的方程为：，即，直线恒过定点，所以点直线的距离的最大值为点到定点的距离，即为．故答案为：3．【答案】【解析】分析：由题结合双曲线的定义可得，，则可求出，再由直线与渐近线平行可得.详解：∵是双曲线左支上的点，∴.∵的周长是9，∴.∵，∴，.设，则，解得，.根据双曲线的对称性，不妨取，则，∴，∴直线的方程为.∵直线与渐近线平行，∴双曲线的右支上任意一点到直线的距离都大于两平行线间的距离，即都大于，∴.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形面积的取值范围，解题的关键是求出直线的方程,得出直线与渐近线平行，判断出双曲线的右支上任意一点到直线的距离都大于两平行线间的距离，即可求出结果.4．【答案】【解析】分析：由题设知在准线上，且垂直于准线，令可得，进而求三角形边长，利用三角形面积公式求面积即可.详解：由题设知：抛物线的准线为，所以在准线上，∴要使△为等边三角形，即，此时有垂直于，令，则，而，∴，可得，即或（舍）∴，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据题设，判断在准线上，且与垂直，进而求动点的坐标，然后求等边三角形的边长，利用三角形面积公式求面积.5．【答案】【解析】分析：设出，根据条件可得出，由题意方程只有一个解，所以其判别式为0，可得出答案.详解：抛物线，则准线的方程为,焦点，设由点到准线的距离等于，则所以化简可得：由满足此条件的点有且只有一个，所以即，则由，所以故答案为：6．【答案】③④【解析】分析：对于①.根据椭圆定义可得轨迹方程，需要特别注意三点不能共线，故需且对于②.化简得，注意自变量范围即可判定对于③. 直线过定点，易得点在椭圆内，所以恒有两个交点对于④.根据曲线与方程定义即可判定详解：解：对于①. 根据椭圆定义点轨迹方程为，但是构成三角形不能三点共线，所以且，所以点轨迹方程为且，故错误对于②. 即有意义，则所以，所以是两个线段不是两条射线，故错误；对于③. 直线过定点，该点在椭圆内，所以恒有两个交点，故正确；对于④.根据曲线与方程定义可得，如果曲线上点的坐标满足方程则点的集合是的子集，故正确.故答案为：③④【点睛】定义法求轨迹方程：（1）在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量进行限制.7．【答案】【解析】分析：设椭圆左焦点为，，由可知，得到，由此求得，由椭圆定义可得；在中，利用勾股定理构造方程求得，由可得结果.详解：设椭圆左焦点为，由圆方程知其圆心，半径，，，又，，，解得：，由椭圆定义知：；与圆相切于点，，又，，，即，即，整理可得：，.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.8．【答案】【解析】分析：根据向量关系可以求得在线段上，且，从而根据双曲线性质求得，，，方法一根据角平分线定理求得，从而结合面积求得参数a，b；方法二过点作的垂线，垂足为，由，从而求得，从而结合面积求得参数a，b；最后写出双曲线标准方程.详解：解法一：由可得点在线段上，，由双曲线焦点与渐近线的性质得，，，易知平分，∴，，∵，∴，得，∴，得，从而，∴双曲线的标准方程为.解法二：由得，点在线段上，，由双曲线焦点与渐近线的性质得：，，，过点作的垂线，垂足为，则，故，，得，∴，得，从而，∴双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】关键点点睛：通过双曲线几何性质找到，，在三角形中解得参数a，b的关系，从而求得标准方程.9．【答案】6【解析】分析：设，结合已知条件，求出点和点的坐标表示，由三点共线求出的值，再结合两点之间的距离公式求出结果.详解：由抛物线的方程，可得焦点为，准线方程为，设，则，因为，所以，直线：，令，得，即，设，由，，三点共线，得，整理得，解得或(舍)，所以，所以.故答案为：610．【答案】【解析】分析：由右焦点的坐标及a．b．c的关系求出m的值即可写出椭圆的方程，设直线MN的方程，与椭圆方程联立求出两根之和，进而求出弦MN的中点的坐标，由F为的重心可得，将点的坐标代入可得直线MN的斜率.详解：由椭圆的右焦点为知，则，，设直线MN的方程为，设，，将直线MN的方程与椭圆的方程联立，整理可得，，，，所以，所以MN的中点，因为F为的重心，所以，即，所以，即，两式相比可得.故答案为：【点睛】直线与椭圆的综合问题：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助求根公式，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况；（3）弦长问题，利用根与系数的关系，弦长公式求解；（4）中点弦或弦的中点，一般利用点差法求解，注意判断直线与方程是否相交；（5）与向量结合的问题，通常利用向量的坐标运算即可.11．【答案】【解析】分析：设，，利用可得即可求得，利用两点间距离公式求出．，面积，利用基本不等式即可求最值.详解：设，，由可得，解得：，，，，，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设，坐标，采用设而不求的方法，将转化为，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求的最值.12．【答案】【解析】分析：利用余弦定理以及椭圆的定义可得，再由三角形面积公式计算可得结果.详解：由已知得，，所以，从而，在中，，即，①由椭圆的定义得，即，②由①②得，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理的应用．三角形面积公式，对于焦点三角形面积问题，一是结合余弦定理和面积公式，二是利用椭圆定义可得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.13．【答案】【解析】分析：根据所给条件，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，设，由且，结合抛物线焦半径公式可得，从而求得，，再解即可得解.详解：如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，设，由且，所以，所以 ，所以，所以，同理，故在中，，解得，所以，，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了抛物线上的点的问题，考查了抛物线焦半径公式以及解三角形，要求较高的计算量，属于较难题.解此类问题的方法有：（1）利用几何关系结合抛物线的性质进行计算；（2）联立形成方程，利用韦达定理进行计算.14．【答案】【解析】分析：过作于（是准线），可得，与直线倾斜角相等，求出即可得结论．详解：如图，作于（是准线），则，由题意，∴，，由知轴，与直线倾斜角相等，∴的斜率为．故答案为：．15．【答案】【解析】分析：联立方程利用韦达定理求得结合抛物线的定义求得弦AB的长，求得圆的半径，利用中点公式求得H到y轴的距离，进而计算得解.详解：解：如图所示，抛物线的焦点F(1,0),直线l:,与抛物线的方程联立消去y并整理得：,设A,B的横坐标分别为,则,∴,∴由,取MN的中点为C,则CH⊥MN,|MC|=,∴tan∠HMN=tan∠HMC=,故答案为：.【点睛】本题考查直线与抛物线的相交弦长问题，关键是利用抛物线的定义求得过焦点的直线与抛物线相交所得弦长.16．【答案】【解析】分析：设，得，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程知切线．的方程，求出直线的方程为，再联立抛物线方程，消元得一元二次方程结合韦达定理即可.详解：解：设，，则，∵，在上，∴，∵的导数为，所以切线的斜率为，切线的方程为，即①，同理得切线的方程为②，设，代入①②得且，∴直线的方程为，联立得，∴，∴，∴.故答案为：.【点睛】解答直线与圆锥曲线的综合问题时，时常把两种线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．17．【答案】【解析】分析：设椭圆的右焦点为，过点的直线为，设，联立直线方程与椭圆方程，得到与，根据图形可知，，然后得出，将与的值代入求解即可.详解：如图，设椭圆的右焦点为，过点的直线为，代入椭圆的方程得：，设，，则，，过点分别作轴的垂线，垂足为，则，，所以将，代入化简得：.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆中的定值问题，解答本题的关键在于先设出直线的方程，然后根据几何条件得出与关于两点，坐标的关系，然后联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求解.18．【答案】【解析】分析：设出点P的坐标，联立椭圆C在点P处的切线与椭圆的方程组，消元后用判别式为0建立k与点P坐标的关系，再算出PF1，PF2的斜率即可得解.详解：椭圆中，，，设点，椭圆在点处切线：，由消去y得，则有，整理得，即，而，即，，于是有，则有，即，又，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：联立直线l与椭圆C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为：(1)直线l与椭圆C相交；(2)直线l与椭圆C相切；(3)直线l与椭圆C相离.