综合素养评价（二）立体几何初步

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册全册综合课时作业，共5页。试卷主要包含了《九章算术·商功》中有如下问题等内容，欢迎下载使用。
综合素养评价（二）立体几何初步1.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这 个平面图形的面积是                                                                                    (　　)A.　　　　　　　　　 B．1C.  D．2解析：选D　∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，∴Rt△O′A′B′的直角边长是.∴Rt△O′A′B′的面积是××＝1.∴原平面图形的面积是1×2＝2.故选D.2．(多选)下列命题正确的是          (　　)A．若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行B．垂直于同一个平面的两条直线平行C．空间中垂直于同一直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直解析：选BD　当两个平面相交时，一个平面内的两条平行于它们交线的直线也平行于另一个平面，故A不正确；由线面垂直的性质定理知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故C不正确；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D正确．3.《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何？”译文为：“今有上、下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺)                                                                                                      (　　)A．45 000立方尺  B．52 000立方尺C．63 000立方尺  D．72 000立方尺解析：选B　进行分割如图所示，V＝2(VA­A1MNE＋VAMN­DPQ＋VD­PQFD1)＋VBCGH­ADFE＝2××15×6×65×2＋×65×15×8＋×40＝52 000(立方尺)．4.如图，六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是                                                                          (　　)A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析：选D　选项A、B、C显然错误．因为PA⊥平面ABC，所以∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．因为ABCDEF是正六边形，所以AD＝2AB.因为tan∠PDA＝＝＝1，所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.5．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是   (　　)A．平行  B．相交但不垂直C．相交垂直  D．异面垂直解析：选D　如图，PC⊥平面ABCD，∴PC⊥BD.又四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PA.显然PA与BD异面，∴PA与BD异面垂直．故选D.6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为    (　　)A. B.C.  D.解析：选A　如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a， 设O为底面中心，则∠SAO为SA与平面ABC所成的角．∵AO＝×a＝a，∴cos∠SAO＝＝.7.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．解析：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.答案：平行8．已知直二面角α­l­β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离为__________．解析：如图，作DE⊥BC于点E.由α­l­β为直二面角，AC⊥l，得AC⊥β，进而AC⊥DE.又BC⊥DE，BC∩AC＝C，于是DE⊥平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离．在Rt△BCD中，利用等面积法得DE＝＝＝.答案：9.如图，在棱长均相等的正四棱锥P­ABCD 中，O为底面正方形的中心， M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥PA；④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是__________．解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误．答案：①②③10.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.证明如下：如图，连接BD交AC于点O，连接FO，则PF＝PB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綉PB，∴PF綉MA.∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.11.如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．解：(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面B′BCC′，OC⊂平面B′BCC′，∴OC⊥AB.又OC⊥BO，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.∵OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，则sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.∵平面B′BCC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝，AE＝ ＝，∴tan∠OAE＝＝.(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.12．如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.(1)求证：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36，求a的值．解：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝90°，所以BE⊥AC.所以在题图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC.又A1O∩OC＝O，所以BE⊥平面A1OC，又由题知CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知及(1)知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．由题图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.从而四棱锥A1­BCDE的体积V＝·S·A1O＝·a2·a＝a3，由a3＝36，得a＝6.