苏科版九年级上册2.4 圆周角达标测试

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1．（2022·浙江丽水·三模）如图，，，，四个点均在上，，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：连接AB，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠AOB＝70°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝55°，
∵，
∴∠DAO＝∠AOB＝70°，
∵，
∴ ∠ADC＝180°－∠DAO＝180°－70°＝110°，
∵，，，四个点均在上，
∴四边形ABCD是的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABO＋∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝180°－∠ADC－∠ABO＝15°．
故选：B．
2．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵是的两条半径，点C在上，
∴∠C= =40°
故选：B
3．（2022·河北保定·三模）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：A.若点是圆心，则，此选项不符合；B. 若点是圆心，则，此选项不符合；C. 若点是圆心，则，此选项符合；
D. 若点是圆心，则，此选项不符合；因此C满足该条件．故选：C．
4．（2022·四川广元·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
【答案】A
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
5．（2022·贵州贵阳·三模）如图，的内接四边形中，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解析】解：如图，连接BD，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=50°，
∴∠ABD=90°-50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°．
故选：B．
7．如图，AB是的直径，点C，D，E是上的点，其中点C，D在AB下方，点E在AB上方．则的度数为（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
【答案】D
【解析】解：如图，连接，
由圆周角定理得：，
，
故选：D．
8．（2022·山东淄博·二模）轮船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定轮船是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的内C表示一个危险临界点，，轮船P与两个灯塔的夹角为，保证轮船航行不触礁的可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：根据圆的性质
∵
∴
∴
故选：A
9．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为 _____．
【答案】25°
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故答案为：25°．
10．（2022·北京东城·一模）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为________．
【答案】30°
【解析】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，
又∠AOC=90°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．
故答案为：30°．
11．如图，AB是半圆O的直径，∠ABD＝35°，点C是上的一点，则∠C=_______ 度．
【答案】125
【解析】解：∵AB是半圆O的直径
∴
∵∠ABD＝35°
∴
∴
故答案为：125．
12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝_____°．
【答案】45
【解析】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，
∴ AB垂直平分CD
∴AC＝AD
∴△ACD是等腰三角形
∴∠BAC＝∠CAD＝×45°＝22.5°
∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，
故答案为：45．
13．等腰△ABC中，，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺．根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（1）如图1，；
（2）如图2，
【答案】见解析
【解析】解：（1）如图1，DE为所作：
（2）如图2，DE为所作：
14．如图，A，C，B．D四点都在⊙O上，AB是⊙O的直径，且AB＝6，∠ACD＝45°，求弦AD的长．
【答案】
【解析】解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵
∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴。
15．如图，AB是的直径，CD是的弦，如果，求的度数．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
又∵AB是直径，
∴，
则．
16．如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数．
【答案】40°
【解析】解：如图，连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
培优第二阶——拓展培优练
1．（2022·福建泉州·二模）如图，点、分别是上直径异侧的两点，且，连接、、，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】连接BC，如图，
∵，
∴∠CBA=2∠CAB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CBA=60°，
∵∠APC=∠ABC，
∴∠APC=60°，
故选：D．
2．如图，是的直径，点在上，且的长是长的2倍，的平分线交于点，则的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【答案】D
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵的长是长的2倍，的度数＋的度数＝180°，
∴的度数为120°，的度数为60°
∴∠ABC＝60°，∠CDB＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝60°＋45°＝105°，
故选：D．
3．如图，四边形ABCD是的内接四边形，且，连接BD，若的半径为4，则BD的长为（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】D
【解析】解：连接OB，OD，如图：
∵四边形ABCD是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故选：D
4．（2022·广西梧州·中考真题）如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（ ）
A．60°B．62°C．72°D．73°
【答案】C
【解析】解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．
故选：C．
5．（2022·四川广安·二模）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】解：∵BC＝CD，
∴，
∵∠ABD和∠ACD所对的弧都是，
∴∠BAC＝∠DAC＝36°，
，
∵∠ABD＝∠ACD＝44°，
∴∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD＝180°−72°−44°＝64°，
故选：B．
6．如图，菱形OABC的顶点A、B、C在圆O上，且，若点P是圆周上任意一点且不与A、B、C重合，则∠APC的度数为（ ）
A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°
【答案】C
【解析】解： 菱形OABC的顶点A、B、C在圆O上，且，

如图，分两种情况：
①当点P在优弧APC上时， 由圆周角定理得：∠APC=∠AOC=×120°=60°；
②当点P在劣弧AC上时， 由圆周角定理得：∠APC==120°；
综上所述，∠APC为60°或120°，
故选：C．
7．在中，四边形OABC为菱形，点D在上，则的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解析】解：设，则
∵四边形OABC为菱形，
∴，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，即，
∴，即．
故选：C
8．如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：为的直径，
，
，
根据同弧对应的圆周角相等，
，
，
故选：D．
9．如图，，，是半径为的⊙上的三个点，若，，则的大小为________（度）．
【答案】105
【解析】解：如图，连接OA，OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故答案为105
10．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
【答案】
【解析】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．如图，四边形ABCD是的内接四边形，BE是的直径，连接AE、BD．若∠BCD＝115°，则∠EBD的大小为_______．
【答案】25°
【解析】解：四边形ABCD是的内接四边形，∠BCD＝115°，
连接DE，
BE是的直径，
故答案为：．
12．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．
【答案】见解析
【解析】证明：∵AB＝CD，
∴，即，
∴，
∴AD＝BC，
又∵∠ADH＝∠CBH，∠A＝∠C，
∴△ADH≌△CBH（ASA），
∴AH＝CH．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．
(1)求证∶CD=AD；
(2)若AD=，AB=，求FD的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CF=AC，
∴∠CAF=∠F，
∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，
∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴CD=AD；
(2)如图，过点C作CG⊥AF于点G，
∵AC=CF=AB=2，
∴AG=FG，
在Rt∆ACG中，根据勾股定理可得：
，
在Rt∆DCG中，根据勾股定理可得：
，
∴，
由（1）知：CD=AD=，
∴AG=AD+DG=+DG，
∴8-3=，
解得：，
∴AG=，
∴FD=，
∴FD的长为．
14．在四边形ABCD中，P为CD边上一点，且△ADP∽△PCB，分别在图①和图②中用尺规作出所有满足条件的点P．（保留作图轨迹，不写作法）
(1)如图①，四边形ABCD是矩形；
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝60°．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【分析】(1)解：如图①中，
△ADP∽△PCB，△AD∽△CB，
点P、即为所求；
(2)（2）如图②中，
△ADP∽△PCB，△AD∽△CB，
点P、即为所求．
15．（2022·浙江绍兴·二模）如图，D是的边上一点，连结，作的外接圆O，将沿直线折叠，点C的对应点E落在上．
(1)若，如图1．
①求的度数．
②若，求的度数．
(2)若，如图2．求的长．
【答案】(1)①30，②60；
(2)
【分析】(1)①，，
，
将沿直线折叠，点C的对应点E落在上，
；
②，
，
，
，
将沿直线折叠，点C的对应点E落在上，
，
中，，则，
，
，
，
(2)
折叠
培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
【答案】62
【解析】解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
故答案为：62
2．（2022·江苏常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．
【答案】1
【解析】解：连接、，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
3．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___．
【答案】35°
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
4．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在上，若，则_________°．
【答案】
【解析】∵，
∴，
又∵AB是直径，
∴，
∴．
故答案为：．
5．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________．
【答案】
【解析】解：如图，连接
是的中点，






故答案为：
6．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．
【答案】80
【解析】解：∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴．
故答案为．