数学九年级上册2.2 圆的对称性当堂达标检测题

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1．已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（ ）
A．4cmB．5cmC．9cmD．12cm
【答案】D
【解析】解：∵⊙O的直径为10cm，
∴⊙O的弦不可能比10cm更长，
故选：D．
2．（2022·河北唐山·三模）在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解析】解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上，
∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个，
故选：A．
3．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆内，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为5，
∴0≤d＜5，
故选：D．
4．已知是半径为2的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】解：∵圆的半径为2，
∴直径为4，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于4，不可能为5，
故选：D．
5．如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接，延长交于点T，设的半径为，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：B．
6．（2022·山东德州·一模）圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴,
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故选：D．
7．（2022·河南许昌·一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．OE＝DEC．D．
【答案】B
【解析】解：是的直径，弦于点，
，， ．
故选：B．
8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（ ）
A．3B．6C．6D．6
【答案】C
【解析】解：连接OC，
则OC=AB=×12=6，
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠CAB=∠ACO=22.5°，
∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠COB=45°，
∴OE=CE，
∵CE2+OE2=OC2，
∴2CE2=62，
解得：CE=3，
即CD=2CE=6，
故选：C．
9．（2022·江苏扬州·一模）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O______．（填“上”、“内”、“外”）
【答案】内
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为4cm，
即点A到圆心的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故答案为：内．
10．到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是____________．
【答案】圆
【解析】定点为圆心，定长 为半径，圆心与半径可确定一个圆．故答案为：圆
11．（2022·湖南长沙·一模）如图，在直径为10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于________cm．
【答案】3
【解析】解：如图，连结OA，
则由垂径定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，
在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，
由勾股定理可得OC==3cm，
故答案为3．
12．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝___________．
【答案】5
【解析】解：设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径长为5，
故答案为：5．
13．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．
【答案】⊙O的半径为5．
【解析】解：连接OC，
设⊙O的半径为x．
∵直径AB⊥弦CD，
∴，
在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+42，
解得 x＝5，
∴⊙O的半径为5．
14．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．
【答案】详见解析
【解析】证明：∵
∴
∴
培优第二阶——拓展培优练
1．（2022·江苏常州·一模）如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【解析】解：连接OA，
∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故选：C．
2．已知⊙O的半径为4，当OA=5时，点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O外
C．点A在⊙O内D．不能确定
【答案】B
【解析】解：由题意得，OA=5>4,
即d>r，点在圆外，
故选：B．
3．如图，⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5，则AB的长为（ ）
A．8B．12
C．16D．2
【答案】C
【解析】连接OA，
∵⊙O的直径CD=20， AB⊥CD， OM：OC=3：5，
∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，
∴AM==8，
∴AB=2AM=16，
故选C．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD=2，CD=4，则DF的最大值为（ ）
A．2B．C．5D．10
【答案】C
【解析】解：延长CD交⊙O于点G，连接GE、OC，
∵CD⊥AB，即CG⊥AB，且AB是⊙O的直径，∴CD=DG，
∵点F为CE的中点，
∴DF=GE，
当GE取最大值时，DF也取得最大值，
设⊙O的半径为x时，则OD=r-2，
在Rt△OCD中，OC2=OD2+CD2，
∴r2=(r-2)2+42，
解得：r=5，
∴GE的最大值为10，则DF的最大值为5．
故选：C．
5．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，若CD＝BE＝16，则⊙O的半径为( )
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解析】解：如图，连接OC，
设圆的半径为r，则OE=16-r，
AB为圆的直径，AB⊥CD，则CE=CD=8，
Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，
∴r2=（16-r）2+82，
解得：r=10，
故选： C．
6．如图，在⊙O中，半径r＝10，弦AB＝12，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值是（ ）
A．10B．16C．6D．8
【答案】D
【解析】解：如图，过点C作OC⊥AB于点C，连接OB，
∴ ，
∵⊙O的半径r＝10，
∴OB=10，
∴ ，
根据垂线段最短可得当点M与点C重合时，OM最小，最小值为8．
故选：D
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，
∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝8，
在Rt△COE中，OE＝，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，
故选：B．
8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长．依题意，CD长为（ ）
A．寸B．13寸C．25寸D．26寸
【答案】D
【解析】解：连结AO，
∵ CD为直径，CD⊥AB，
∴ ．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，∴ R＝13，
∴ CD＝2R＝26(寸)．
故选：D
9．（2022·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 _____．
【答案】
【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝＝4，FC＝FD，
∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，
∴E（2，0），
设P（2，m），则F（0，m），
连接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，
在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，
∴（3﹣m）2+22＝m2+42，
∴m＝（舍正），
∴F（0，），
∴CF＝DF＝＝，
∴OD＝OF+DF＝＝4，
∴D（0，﹣4），
故答案为：（0，﹣4）．
10．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MNCD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为_______．
【答案】
【解析】解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，
设⊙O的半径为r，AD=t，
∵CD⊥AB，MNCD，
∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，
∴四边形MEOD是矩形，
∴OE=DM=t，OD=ME=r-5，
在Rt△AOD中，，①
在Rt△NOE中，，②
②×4-①得2r-21=0，
解得r=，
即⊙O的半径为．
故答案为：
11．已知的直径为10cm，，是的两条弦，ABCD，，，则弦和之间的距离是________cm．
【答案】1或7
【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图所示，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵，，
∴BE=3cm，DF=4cm，
∵OD=OB=5cm，
∴，
∴EF=OE-OF=1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
同理求得，
∴EF=OE+OF=7cm；
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm，
故答案为：1或7．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为_______．
【答案】
【解析】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝12，
∵⊙O的直径为16，
∴⊙O的半径为8，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM＝，
∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，
则最大值为＝4，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×4＝8．
故答案为：8．
13．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．
(1)△ACD为等边三角形；
(2)请证明：E是OB的中点；
(3)若AB＝8，求CD的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】(1)证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
(2)△ACD是等边三角形，CF是AD的中垂线，
＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
(3)解：在Rt△OCE中，AB=8
∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴CE＝，
∴CD＝2CE＝．
14．图中是圆弧拱桥，某天测得水面AB宽20m，此时圆弧最高点距水面5m．
（1）确定圆弧所在圆的圆心O．（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求圆弧所在圆的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）如图，圆心即为所求；
（2）设圆弧拱桥最高点为，连接、交于，
则，，，
设，则，
在中，，即，
解得:，
，
圆半径为．
15．如图，点A和动点P在直线上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作出△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧且PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DFCD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ＝ ，DF＝ ；
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长；
（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．
【答案】（1）5x，3x；（2）9；（3）6．
【解析】解：（1）在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，
∴AB＝4x，
∴BQ＝5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB＝OQ，
∴AH＝BH＝AB＝2x，
∴CD＝2x，
∴FD＝CD＝3x，
故答案为：5x，3x；
（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，
∴CQ＝6x+4，
作OM⊥AQ于点M，如图1，

∴OM∥AB，
∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，
∴点O是BQ的中点，
∴QM＝AM＝x
∴OD＝MC＝x+4，
∴OE＝BQ＝x，
∴ED＝2x+4，
S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90，
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，
∴AP＝3x＝9；
（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为1，得NQ＝2，如图2，
过点B作BM⊥EG于点M，
∵GM＝x，BM＝x
∴∠GBM＝45°，
∴BM∥AQ，
∴AI＝AB＝4x，
∴IQ＝x，
∴NQ＝＝2，
∴x＝2，
∴AP＝6．
培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2021·江苏南通·中考真题）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．
【答案】．
【解析】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得，，（不符合题意，舍去）
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为：．
2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
【答案】5
【解析】解：连接OA，
∵C是的中点，
∴
∴
设的半径为R，
∵
∴
在中，，即，
解得，
即的半径为5cm
故答案为：5
3．（2020·江苏南通·中考真题）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．
【答案】12
【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为：12．