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初中苏科版（2024）2.4 圆周角精练
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这是一份初中苏科版（2024）2.4 圆周角精练，共81页。试卷主要包含了4 圆 周 角，5，等内容，欢迎下载使用。
知识点一
圆周角的概念
◆1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
◆2、圆心角与圆周角的区别与联系
知识点二
圆周角定理及其推论
◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.
◆2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图：
即∠ABC =12∠AOC
◆3、圆周角定理的推论
圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
知识点三
圆内接四边形及其性质
◆1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆.
◆2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
题型一 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的运用
【例题1】（2022•扬州模拟）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB
等于（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
【变式1-1】（2022•南京模拟）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【变式1-2】（2022•长沙县校级开学）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，
则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【变式1-3】（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式1-4】（2023•绵阳二模）若A，B，C是⊙O上三点，∠ABC＝150°，AC＝6，则⊙O的半径
是（ ）
A．23B．32C．6D．62
【变式1-5】（2022秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度数是（ ）
A．150°B．140°C．145°D．130°
【变式1-6】（2023•云岩区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E、点F是⊙O上一点、连接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．
（1）求证：DF平分∠BFC；
（2）设AB交DF于点G、且DE＝GE，求∠DCF的度数．
题型二 同弧或等弧所对圆周角相等的运用
【例题2】（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
【变式2-1】（2022•枝江市一模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED的度数是 °．
【变式2-2】如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则
∠D的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．20°
题型三 直径所对的圆周角是90°的运用
【例题3】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
【变式3-1】（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【变式3-2】（2022•德城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A．22B．32C．5D．22+2
【变式3-3】（2023•安徽二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB＝10，AC＝6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE的长．
题型四 圆周角定理中的多结论问题
【例题4】下列命题中，正确的有（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对弧也相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-1】如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OD、AD，则以下结论：①D是BC的中点；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-3】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型五 与圆周角定理有关的证明
【例题5】（2023•海珠区一模）如图，⊙O中，AB＝CD，求证：△ABE≌DCE．
【变式5-1】（2022秋•济宁期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．
（1）求证：AC=BD．
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．
【变式5-2】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F，且AB=AE，求证：AF＝BF．
【变式5-3】（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．
【变式5-4】（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．
（1）求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．
题型六 利用圆内接四边形的性质求角度
【例题6】（2022•云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
【变式6-1】（2022•皇姑区一模）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（ ）
A．70°B．35°C．40°D．20°
【变式6-2】（2023•山西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【变式6-3】（2022•通榆县模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ ）
A．52°B．54°C．56°D．60°
【变式6-4】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）求证：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数．
题型七 利用圆内接四边形的性质求线段长
【例题7】（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．52B．5C．52D．10
【变式7-1】（2022•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝ cm．
【变式7-2】（2023•宝鸡二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，连接OA、OC，则OA的长为（ ）
A．4B．22C．3D．2
【变式7-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．722C．532D．92
【变式7-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若OF＝1，求AD的长．
题型八 利用圆内接四边形的性质求面积
【例题8】（2023•江岸区一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）若CP=6，BC=27，求S△APB．
【变式8-1】（2023•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为 ．
【变式8-2】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
题型九 利用圆内接四边形的性质判断结论
【例题9】（2023•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2OD，其中正确结论
有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-1】（2022秋•永吉县期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成了8个角，在结论①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列结论：
①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型十 利用圆内接四边形的性质证明
【例题10】已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．
【变式10-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形．
【变式10-2】（2022秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE．
【变式10-3】（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．
求证：BD＝BC．
【变式10-4】（2023•南宁二模）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD．
题型十一 利用圆周角定理解决最值问题
【例题11】（2023•六盘水二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，点D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
【变式11-1】（2022•淮南一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则CE+DE长的最小值为 ．
【变式11-2】（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为 ．
【变式11-3】（2023•兴化市开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点F是边AB上一动点（不与A、B重合），以AF为直径的⊙O交AC于点D，连接DB交⊙O于点E，连接CE，当点F在边AB上移动时，则CE的最小值为 ．
【变式11-4】（2022秋•红桥区校级期末）如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．
（1）EF＝ ；
（2）点P在MN上运动，则PA+PC的最小值为 ．
题型十二 圆周角定理的综合应用问题
【例题12】（2023•河西区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为DB的中点，求∠AGF的度数；
（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．
【变式12-1】（2023•遵义一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是BC的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．
（1）∠DAB的度数为 度．
（2）求证：DC＝DM；
（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD=2，求ME的长．
【变式12-2】（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．
（1）若AB＝10，OE=10，求AC的长；
（2）求证：EF⊥BD．
【变式12-3】已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【变式12-4】（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，CF=CB，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：2∠EOG+12∠AOF=90°．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.4 圆 周 角
知识点一
圆周角的概念
◆1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
◆2、圆心角与圆周角的区别与联系
知识点二
圆周角定理及其推论
◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.
◆2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图：
即∠ABC =12∠AOC
◆3、圆周角定理的推论
圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
知识点三
圆内接四边形及其性质
◆1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆.
◆2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
题型一 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的运用
【例题1】（2022•扬州模拟）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB
等于（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
【分析】根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝45°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【变式1-1】（2022•南京模拟）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【分析】根据垂径定理得出BC=BD，根据弧与圆心角关系得出∠COB＝∠BOD，利用圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝52°，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．
【解答】解：连接OC，
∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠A＝26°，
∴∠COB＝2∠A＝52°，
∴∠BOD＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键．
【变式1-2】（2022•长沙县校级开学）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，
则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，
∴∠OAB=12（180°﹣∠AOB）＝54°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
【变式1-3】（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】连接OD，根据弧、弦的关系求出BE＝CD，CD⊥AB，CG＝DG，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵点C是BE的中点，点B是CD的中点，
∴CE=BC=BD，CD⊥AB，
∴BE＝CD，CG＝DG，
∵AB＝10，AB是⊙O的直径，
∴OB＝OD＝5，
∵BG＝2，
∴OG＝OB﹣BG＝3，
在Rt△ODG中，OG＝3，OD＝5，
∴DG=OD2−OG2=4，
∴CD＝2DG＝8，
∴BE＝8，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
【变式1-4】（2023•绵阳二模）若A，B，C是⊙O上三点，∠ABC＝150°，AC＝6，则⊙O的半径
是（ ）
A．23B．32C．6D．62
【分析】⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，根据圆周角定理求得∠AOC＝2∠ADC＝60°，根据等边三角形的判定定理知△ACO是等边三角形，所以等边三角形的三条边相等，即可求解．
【解答】解：⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∴⊙O的半径是6．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质．解答该题时，利用圆周角定理要注意圆心角与圆周角的定义，只有三个点都在圆上所组成的角才称之为圆周角．
【变式1-5】（2022秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度数是（ ）
A．150°B．140°C．145°D．130°
【分析】根据等腰三角形等边对等角以及三角形外角的性质得出∠ABD的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可．
【解答】解：∵BD＝BE，∠E＝35°，
∴∠BDE＝∠E＝35°，
∴∠ABD＝∠BDE+∠E＝70°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝140°，
故选：B．
【点评】本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
【变式1-6】（2023•云岩区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E、点F是⊙O上一点、连接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．
（1）求证：DF平分∠BFC；
（2）设AB交DF于点G、且DE＝GE，求∠DCF的度数．
【分析】（1）连接OC、OD，先由∠BAD＝∠BFD＝60°证明△AOB是等边三角形，再证明∠COD＝120°，则∠CFD=12∠COD＝60°，即可证明DF平分∠BFC；
（2）根据DE＝GE可以得到∠CDG＝45°，然后利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC、OD，
∵OA＝OD，∠BAD＝∠BFD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵OC＝OD，OA⊥CD，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴∠CFD=12∠COD＝60°，
∴∠BFD＝∠CFD，
∴DF平分∠BFC．
（2）解：∵AB⊥CD于E，
∴∠DEB＝90°，
∵DE＝GE，
∴∠CDG＝45°，
根据（1）∠CFD＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
【点评】此题考查圆周角定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
题型二 同弧或等弧所对圆周角相等的运用
【例题2】（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°，
∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠D的度数．
【变式2-1】（2022•枝江市一模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED的度数是 °．
【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED=12∠COD＝21°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED=12∠COD＝21°．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【变式2-2】如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则
∠D的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．20°
【分析】欲求∠D的度数，需先求出同弧所对的∠A的度数；Rt△ABC中，已知∠ACB的度数，即可求得∠A，由此得解．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°；
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°；
∴∠D＝∠A＝40°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
题型三 直径所对的圆周角是90°的运用
【例题3】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC=12∠COD＝63°，再由AB=AD得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵AB=AD，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC=12∠COD=12×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
所以∠AGB的度数为108°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【变式3-1】（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式3-2】（2022•德城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A．22B．32C．5D．22+2
【分析】作DE⊥AB于点E，根据AB是⊙O的直径，得∠C＝90°，再根据角平分线的性质得DE＝CD＝1，再证明Rt△BDE≌Rt△BDC，得BE＝BC，根据勾股定理就可以求出直径了．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BD平分∠CDE，
∴DE＝CD＝1，
∴AD＝3，
∵BD＝BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，
AE=AD2−DE2=32−12=22，
设BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2＝AC2+BC2，
即（22+x）2＝42+x2，
∴x=2，
∴⊙O的直径AB为32．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
【变式3-3】（2023•安徽二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB＝10，AC＝6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE的长．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝8，然后利用三角形的面积可计算出△ABC的面积；
（2）连接OE、AE，过A点作AH⊥CE于H点，如图，先根据垂径定理得到OE⊥AB，则AE=BE，AE=2OA＝52，根据圆周角定理得到∠ACE＝∠BCE＝45°，再利用等腰直角三角形的性质得到CH＝AH＝32，然后利用勾股定理计算出HE＝42，最后计算CH+HE即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC=102−62=8，
∴S△ABC=12×6×8＝24；
（2）连接OE、AE，过A点作AH⊥CE于H点，如图，
∵E为半圆AB的中点，
∴OE⊥AB，
∴AE=BE，AE=2OA＝52，
∴∠ACE＝∠BCE=12∠ACB＝45°，
在Rt△ACH中，CH＝AH=22AC=22×6＝32，
在Rt△AEH中，HE=AE2−AH2=(52)2−(32)2=42，
∴CE＝CH+HE＝32+42=72．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．
题型四 圆周角定理中的多结论问题
【例题4】下列命题中，正确的有（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对弧也相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆周角的定义、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①顶点在圆周上且两边都与圆相交的角是圆周角，故原命题错误，不符合题意；
②同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原命题错误，不符合题意；
③90°的圆周角所对的弦是直径，正确，符合题意；
④在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对弧也相等，故原命题错误，不符合题意
正确的有1个，
故选：A．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解周角的定义、圆周角定理等知识，难度不大．
【变式4-1】如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，AB=BC，BC=CD，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴AB=BC，BC=CD，
∴AC=2CD，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OD、AD，则以下结论：①D是BC的中点；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由AB＝AC，得到∠B＝∠C，由于AB为⊙O的直径，得到AD⊥BC，根据相似三角形的性质得到①②③正确，由于OB＝OD，于是得到∠B＝∠ODB，根据同位角相等，两直线平行即可得到④正确．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∴D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，
∴①②③正确，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质﹣三线合一是解题的关键．
【变式4-3】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①错误，证明∠EOB＝∠BOD＝60°即可；
②正确．证明∠CED＝30°，可得结论；
③错误，M是动点，DM不一定垂直CE；
④正确，连接EM，证明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得结论．
【解答】解：∵AC=CD=DB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵E，D关于AB对称，
∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①错误，
∵∠CED=12∠COD＝30°，
∴∠DOB＝2∠CED，故②正确，
∵M是动点，
∴DM不一定垂直CE，故③错误，
连接EM．
则ME＝MD，
∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型五 与圆周角定理有关的证明
【例题5】（2023•海珠区一模）如图，⊙O中，AB＝CD，求证：△ABE≌DCE．
【分析】首先利用圆周角定理得到∠B＝∠C，然后利用AAS判定两三角形全等即可．
【解答】解：由题意得：∠B＝∠C，
在△ABE与△DCE中，
∠AEB=∠DEC∠B=∠CAB=CD
∴△ABE≌△DCE（AAS）．
【点评】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆周角相等，难度较小．
【变式5-1】（2022秋•济宁期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．
（1）求证：AC=BD．
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．
【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；
（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．
【解答】（1）证明：如图，∵AB＝CD，
∴AB=CD，
∴AC+CB=CB+DB，
∴AC=BD．
（2）证明：连接AD．
∵AC=BD，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAB+∠AMC＝90°，
∴∠CAB+2∠BAD＝90°．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式5-2】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F，且AB=AE，求证：AF＝BF．
【分析】延长AD交⊙O于M，根据垂径定理求出AB=BM，求出BM=AE，根据圆周角定理得出∠BAF＝∠ABF，再根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：延长AD交⊙O于M，
∵BC⊥AD，BC过圆心O，
∴AB=BM，
∵AB=AE，
∴BM=AE，
∴∠BAF＝∠ABF，
∴AF＝BF．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，能根据垂径定理得出AB=BM是解此题的关键．
【变式5-3】（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．
【分析】（1）欲证明AD∥EC，只要证明∠ACE＝∠DAC即可；
（2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
∵∠E＝∠BAC
∴∠E＝∠DAC，
∵BE∥AC
∴∠E＝∠ECA
∴∠ECA＝∠DAC
∴EC‖AD；
（2）四边形EBCA是矩形．理由如下，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
又∵BC＝CD
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AB为⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°，
又∵BE∥AC
∴∠EBC＝∠ACD＝90°
∴四边形EBCA是矩形．
【点评】本题考查圆周角定理、矩形的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式5-4】（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．
（1）求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．
【分析】（1）连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得∠CEA＝90°，从而可得∠FAE+∠AFE＝90°，然后根据已知可得DC=DB，从而可得∠CAG＝∠FAE，进而可得∠AGC＝∠AFE，最后根据对顶角相等可得∠AFE＝∠CFG，从而可得∠AGC＝∠CFG，进而根据等角对等边即可解答；
（2）连接AC，CD，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得∠AFC＝∠CGD，然后根据SAS证明△AFC≌△DGC，从而可得AC＝CD，进而可得AC=CD=DB，最后根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠DAB，从而可得GA＝GB，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，
【解答】证明：（1）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAG+∠AGC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠FAE+∠AFE＝90°，
∵D为弧BC的中点，
∴DC=DB，
∴∠CAG＝∠FAE，
∴∠AGC＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠AGC＝∠CFG，
∴CF＝CG；
（2）连接AC，CD，
∵∠CFG＝∠CGF，
∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF，
∴∠AFC＝∠CGD，
∵CF＝CG，AF＝CD，
∴△AFC≌△DGC（SAS），
∴AC＝CD，
∴AC=CD，
∵CD=DB，
∴AC=DB，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴GA＝GB，
∵OA＝OB，
∴GO⊥AB．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
题型六 利用圆内接四边形的性质求角度
【例题6】（2022•云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式6-1】（2022•皇姑区一模）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（ ）
A．70°B．35°C．40°D．20°
【分析】连接DE，根据圆内接四边形的内对角互补和直径所对的圆周角是直角即可求得结论．
【解答】解：如图，连接DE，
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BED＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠BED＝70°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式6-2】（2023•山西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形求出∠D，根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式6-3】（2022•通榆县模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ ）
A．52°B．54°C．56°D．60°
【分析】由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知∠DCE＝∠BAD＝108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，
∴∠DCE＝∠BAD＝108°．
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF=12∠DCE＝54°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【变式6-4】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）求证：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数．
【分析】（1）连接BF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，求出∠CFB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DF＝CD＝BD，求出∠C＝∠CFD，根据圆内接四边形的性质求出∠E＝∠CFD即可；
（2）求出∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠CFB＝180°﹣∠AFB＝90°，
∵BD＝CD，
∴CD＝DF＝BD，
∴∠C＝∠CFD，
∵四边形AEDB是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：由（1）知：∠E＝∠C＝∠CFD，
∵∠E＝50°，
∴∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝50°+50°＝100°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质，圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
题型七 利用圆内接四边形的性质求线段长
【例题7】（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．52B．5C．52D．10
【分析】根据勾股定理求得BD＝10，根据圆内接四边对角互补，得出∠BCD＝90°，继而根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，
∴BD=AB2+AD2=10，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵BC=CD．
∴BC＝CD=22BD=52，
故选：A．
【点评】本题考查了圆内接四边形对角互补，勾股定理，同弧所对弦相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-1】（2022•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝ cm．
【分析】先根据圆周角定理得到∠A及∠ABC的度数，进而判断出△ABC是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可求出AB．
【解答】解：∵∠D＝45°，
∴∠A＝45°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2×4÷2=42（cm）．
故答案为：42．
【点评】本题主要考查圆周角定理，涉及到勾股定理，解题关键是熟练使用圆周角定理．
【变式7-2】（2023•宝鸡二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，连接OA、OC，则OA的长为（ ）
A．4B．22C．3D．2
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠ADC＝45°，则有∠AOC＝90°，进而根据勾股定理可进行求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，
∵OA＝OC，AC＝2，
∴OA=2，
∴⊙O的半径为：2．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键．
【变式7-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．722C．532D．92
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理、直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：过点C作CH⊥BD于H，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC＝5×22=522，BH＝CH＝4×22=22，
∴DH=CD2−CH2=322，
∴BD＝BH+DH=722，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式7-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若OF＝1，求AD的长．
【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得BC=BE=CD，进而得到∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，再根据等腰三角形的判定可得BG＝CG；
（2）利用圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系以及垂径定理、三角形中位线定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵点C为BD的中点，
∴BC=CD，
又∵弦CE⊥AB，AB是直径，
∴BC=BE，
∴BC=BE=CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，
∴BG＝CG；
（2）解：如图，过点O作OM⊥BD，垂足为M，
∵BC=BE=CD，
∴BC+CD=BC+BE，
即BD=CE，
∴BD＝CE，
又∵OM⊥BD，OF⊥CE，
∴OM＝OF＝1，DM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABD的中位线，
∴OM=12AD，
∴AD＝2OM＝2．
【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、三角形中位线定理是正确解答的前提．
题型八 利用圆内接四边形的性质求面积
【例题8】（2023•江岸区一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）若CP=6，BC=27，求S△APB．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）过点A作AK⊥BP交BP的延长线于点K，过点A作AJ⊥PC于点J．证明△ABK≌△ACJ（AAS），推出AK＝AJ，BK＝CJ，证明Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），推出PK＝PJ，设PK＝PJ＝x，则AK＝AJ=3x，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AK⊥BP交BP的延长线于点K，过点A作AJ⊥PC于点J．
∵∠K＝∠AJC＝90°，AB＝AC，∠ABK＝∠ACJ，
∴△ABK≌△ACJ（AAS），
∴AK＝AJ，BK＝CJ，
∵AP＝AP，
∴Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），
∴PK＝PJ，
设PK＝PJ＝x，则AK＝AJ=3x，
∵AK2+BK2＝AB2，
∴（3x）2+（6﹣x）2＝（27）2，
解得，x＝1或2，
∴PJ＝1或2，AK＝AJ=3或23，
∴PB＝2或4，
∴△APB的面积=12×2×23=23或12×4×3=23，
综上所述，△APB的面积为23．
【点评】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
【变式8-1】（2023•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为 ．
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ADC＝120°，则∠ADB＝∠CDB＝60°，再利用平行线的性质得到∠EBD＝∠CDB＝60°，于是可判断△BDE为等边三角形，在DB上截取DF＝DA，如图，则△ADF为等边三角形，所以AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，接着证明△ABC为等边三角形得到AB＝AC，然后证明△ABF≌△ACD得到BF＝CD＝3，所以BD＝5，最后根据等边三角形的面积公式计算△BDE的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠CDB＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
在DB上截取DF＝DA，如图，
∵∠ADF＝60°，DA＝DF，
∴△ADF为等边三角形，
∴AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
在△ABF和△ACD中，
∠ABF=∠ACD∠AFB=∠ADCAB=AC，
∴△ABF≌△ACD（AAS），
∴BF＝CD＝3，
∴BD＝BF+DF＝3+2＝5，
即等边△EBD的边长为5，
∴△BDE的面积=34×52=2534．
故答案为：2534．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．
【变式8-2】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为AB的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：
在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：
如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=12AB•PE，S△ABC=12AB•CF，
∴S四边形APBC=12AB•（PE+CF），
当点P为AB的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=3，
∴S四边形APBC=12×2×3=3．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
题型九 利用圆内接四边形的性质判断结论
【例题9】（2023•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2OD，其中正确结论
有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由四边形ABOD是平行四边形，OD＝OB，判定四边形ABOD是菱形，得到OB＝AB，由△ABO是等边三角形得到∠AOB＝60°，由四边形ABOD是菱形，得到∠BOD＝2∠AOB＝120°，由圆周角定理得到∠BCD=12∠BOD＝60°，由菱形的性质得到∠BAD＝∠BOD＝120°，CD和OD没有确定的数量关系．
【解答】解：连接OA，
∵四边形ABOD是平行四边形，OD＝OB，
∴四边形ABOD是菱形，
∴OB＝AB，
故①正确；
∵OA＝OB＝AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABOD是菱形，
∴∠BOD＝2∠AOB＝120°，
∴∠BCD=12∠BOD＝60°，
故②正确；
∵四边形ABOD是菱形，
∴∠BAD＝∠BOD＝120°，
故③正确；
∵C的位置不确定，CD长在变化，半径OD的长不变，
∴CD和OD没有确定的数量关系，
∴④错误．
∴正确的结论是①②③，共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，菱形的判定和性质，关键是判定四边形ABOD是菱形，得到∠BOD＝120°．
【变式9-1】（2022秋•永吉县期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成了8个角，在结论①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆周角定理进行判断即可．
【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD，
∴∠1=∠4，故①正确，符合题意；
∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC，
∴∠2=∠7，故②正确，符合题意；
∵∠3，∠6所对的弧都是弧AD，
∴∠3=∠6，故③正确，符合题意；
∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB．
∴∠5=∠8，故④正确，符合题意．
∴正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练运用圆周角的定理解决问题是本题的关键．
【变式9-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列结论：
①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，作出辅助线，根据有关性质和定理对每一结论进行证明即可得出答案．
【解答】解：①∵AB＝AD，
∴弧AB＝弧AD，∠ADB＝∠ABD．
∵∠ACB＝∠ADB，∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠ABD＝∠ACD．
∴∠ADB＝（180°﹣∠BAD）÷2＝90°﹣∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC＝90°，即∠ACD+∠DFC＝90°，
∴CD⊥DF，
∴∠FDC＝90°，
∴∠ADC＞90°，
∴线段AC不为⊙O的直径，
∴①错误，②正确；
③过F作FG⊥BC，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∠BFC＝∠BAD，
∴∠FBC＝∠ABD，
∴∠FBC＝∠ADB，
∴∠FBC＝∠ACB．
∴FB＝FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC=12∠BAD＝∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC＝∠DFC，FC＝FC，∠ACB＝∠ACD）．
∴CD＝GC=12BC．
∴BC＝2CD，
∴③正确；
④∵∠BFC＝∠BAD，
∠AFB＝180°﹣∠BFC，
∠BCD＝180°﹣∠BAD，
∴∠AFB＝∠BCD
∴④正确；
其中正确的个数为3个．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理；用到的知识点为圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是作出辅助线根据有关性质和定理对每一结论进行证明．
题型十 利用圆内接四边形的性质证明
【例题10】已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】由圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，由AB=AC得到AB＝AC，根据等边三角形的判定可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB=AC，
∴AB＝AC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧和弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质和等边三角形的判定是解决问题的关键．
【变式10-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形．
【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝∠BCE，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠A＝∠BEC，
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形；
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键，解答时，注意方程思想的灵活运用．
【变式10-2】（2022秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE．
【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，再利用圆内接四边形的对角互补以及平角定义可得∠DEC＝∠A，然后再利用平行线的性质可得∠ADO＝∠C，从而利用等量代换可得∠DEC＝∠C，最后利用等角对等边即可解答．
【解答】证明：∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∵∠DEB+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠A，
∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DC＝DE．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
【变式10-3】（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．
求证：BD＝BC．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，进而证明∠BCD＝∠EAD，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代换得到∠BCD＝∠BDC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式10-4】（2023•南宁二模）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义即可得到结论；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据余角的性质得到∠EAB＝∠CAD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABDC是圆O的内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接BC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∠EAB=∠DACAB=AC∠ABE=∠ACD，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴BE＝CD．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
题型十一 利用圆周角定理解决最值问题
【例题11】（2023•六盘水二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，点D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
【分析】连接OM、ON，过A点作AH⊥BC于H点，如图，先根据含30度角的直角三角形三边的关系计算出AH＝43，再根据圆周角定理得到∠MON＝90°，所以MN=2OM，则MN=22AD，然后根据垂线段最短得到AD的最小值为43，从而得到MN的最小值．
【解答】解：连接OM、ON，过A点作AH⊥BC于H点，如图，
在Rt△ABH中，∵∠B＝60°，
∴BH=12AB＝4，
∴AH=3BH＝43，
∵∠MON＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
而OM＝ON，
∴MN=2OM，
∵OM=12AD，
∴MN=22AD，
∴当AD的值最小时，MN的值最小，
∵点D是边BC上的一个动点，
∴当点D在H点时，AD的值最小，
即AD的最小值为43，
∴MN的最小值为22×43=26．
故答案为：26．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂线段最短．
【变式11-1】（2022•淮南一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则CE+DE长的最小值为 ．
【分析】作D点关于OB的对称点F，连接CF交OB于E，如图，先利用角平分线定义得到∠COD＝∠BOD＝30°，再利用对称的性质得到∠FOB＝∠BOD＝30°，OD＝OF，ED＝EF，所以CE+DE＝CF，接着根据两点之间线段最短可判断此时CE+DE的值最小，然后计算出CF即可．
【解答】解：作D点关于OB的对称点F，连接CF交OB于E，如图，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD=12∠BOC＝30°，
∵点D与点F关于OB对称，
∴∠FOB＝∠BOD＝30°，OD＝OF，OB垂直平分DF，
∴ED＝EF，
∴CE+DE＝CE+FE＝CF，
∴此时CE+DE的值最小，
∵∠COF＝90°，OC＝OF，
∴CF=2OC＝22，
∴CE+DE长的最小值为22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了最短路径问题．
【变式11-2】（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为 ．
【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′，易得△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC=32，由圆周角定理可得∠APD＝∠ACB＝45°，进而可得∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，于是可知点D在点O′为圆心，AO′为半径的AB上运动，根据等腰直角三角形的性质得O′B=AB2=3，由勾股定理求得CO′=35，利用三角形三边关系可知CD≥CO′﹣O′D，因此当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D，代入计算即可求解．
【解答】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′，
则∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∵以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC=BC2=62=32，
∵AB=AB，
∴∠APD＝∠ACB＝45°，
∵AD⊥AP，
∴∠DAP＝90°，
∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，
∴点D在点O′为圆心，AO′为半径的AB上运动，
在等腰直角△ABO′中，O′B=AB2=322=3，
在Rt△BO′C中，CO′=O′B2+BC2=32+62=35，
∴O′D＝O′B＝3，
∵CD≥CO′﹣O′D
∴当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D=35−3．
故答案为：35−3．
【点评】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆中的最值问题，解题关键是根据题意找到动点的运动轨迹，结合三角形三边关系求最值．
【变式11-3】（2023•兴化市开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点F是边AB上一动点（不与A、B重合），以AF为直径的⊙O交AC于点D，连接DB交⊙O于点E，连接CE，当点F在边AB上移动时，则CE的最小值为 ．
【分析】连DF，AE，EF，得∠AEB＝180°﹣30°＝150°为定角，由此可得E在以AB为弦所对圆心角为60°的圆弧上运动，设该圆圆心为N，连NE，CN，AN，BN，由两点之间线段最短知：CE+NE≥CN，进而可求CE的最小值．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，BC=AB2−AC2=42−22=23，∠BAC＝60°，
连DF，AE，EF，
∵AF为的直径，
∴∠ADF＝∠AEF＝90°，
∴∠AFD＝∠AED＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEB＝180°﹣30°＝150°为定角，
∴E在以AB为弦所对圆心角为60°的圆弧上运动，
设该圆圆心为N，连NE，CN，AN，BN，则∠ANB＝60°，AN＝BN，
∴△AB为等边三角形，
∴AB＝BN＝AN＝4，∠ABN＝60°，
∴∠CBN＝90°，
∴CN=BC2+BN2=12+16=27，
又EN＝BN＝4，
由两点之间线段最短知：CE+NE≥CN，
∴CE≥CN﹣EN＝27−4，
∴当C、E、N在一直线时．CE有最小值为：27−4．
故答案为：27−4．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
【变式11-4】（2022秋•红桥区校级期末）如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．
（1）EF＝ ；
（2）点P在MN上运动，则PA+PC的最小值为 ．
【分析】（1）连接OA，OC，利用垂径定理求出AE与CF的长，根据勾股定理求出OE与OF的长，进而可得出结论；
（2）由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC＝PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．
【解答】解：（1）连接OA，OC，
∵∵AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE=12AB＝4，CF=12CD＝3，
∴OE=OB2−BE2=52−42=3，
OF=OC2−CF2=52−32=4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7；
（2）连接OB，作CH垂直于AB于H．
∵EF＝OE+OF＝3+4＝7，
∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，
BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，
在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC=BH2+CH2=72+72=72，即PA+PC的最小值为72．
故答案为：7，72．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
题型十二 圆周角定理的综合应用问题
【例题12】（2023•河西区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为DB的中点，求∠AGF的度数；
（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．
【分析】（I）根据AB为⊙O的直径，D为AC的中点，C为DB的中点，可得出∠BAC＝30°，再由DE⊥AB可知∠AEG＝90°，进而可得出结论；
（II）连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（I）∵AB为⊙O的直径，D为AC的中点，C为DB的中点，
∴AD=CD=BC，
∴∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEG＝90°，
∴∠AGF＝90°﹣30°＝60°；
（II）如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，AD=AF，
∵点D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∴AC=DF，
∴AC＝DF＝12，
∴EF=12DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝7.5，
∴⊙O的半径是7.5．
【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式12-1】（2023•遵义一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是BC的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．
（1）∠DAB的度数为 度．
（2）求证：DC＝DM；
（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD=2，求ME的长．
【分析】（1）由圆周角定理及弧中点性质可得答案；
（2）根据等腰三角形的判定，判断∠MCD＝∠CMD，即可证明；
（3）利用（1）、（2）的结论，再证明出△CDE是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠COD＝∠BOD＝45°，
∵BD=BD，
∴∠BAD=12∠BOD＝22.5°，
故答案为：22.5．
（2）∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AMO＝∠ABD，
∵BD=BD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OD＝OB，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝∠OBD，
∵∠AMO＝∠CMD，
∴∠MCD＝∠CMD，
∴DC＝DM．
（3）∵CD＝BD=2，
∴DM＝DC=2，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝22.5°，
∵∠COD＝45°，OC＝OD，
∴∠ODC＝67.5°，
∴∠CDE＝45，
∵CE⊥AD，
∴DE=22•CD，
∴DE＝1，
∴ME=2−1．
【点评】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键．
【变式12-2】（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．
（1）若AB＝10，OE=10，求AC的长；
（2）求证：EF⊥BD．
【分析】（1）根据垂径定理可得OE垂直平分AC，从而可得OE⊥AC，AC＝2AE，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进行计算即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠APC＝∠BPD＝90°，从而可得∠DPF+∠BPF＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得EP＝EC，从而可得∠EPC＝∠C，再利用对顶角相等，以及同弧所对的圆周角相等可得∠DPF＝∠B，最后利用等量代换可得∠B+∠BPF＝90°，从而利用三角形内角和定理进行计算可得∠BFP＝90°，即可解答．
【解答】（1）解：∵E是AC的中点，
∴OE垂直平分AC，
∴OE⊥AC，AC＝2AE，
∵AB＝10，
∴OA=12AB＝5，
在Rt△AOE中，OE=10，
∴AE=OA2−OE2=52−(10)2=15，
∴AC=2AE=215，
∴AC的长为215；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠APC＝∠BPD＝90°，
∴∠DPF+∠BPF＝90°，
∵E是AC的中点，
∴EP＝EC=12AC，
∴∠EPC＝∠C，
∵∠EPC＝∠DPF，∠B＝∠C，
∴∠DPF＝∠B，
∴∠B+∠BPF＝90°，
∴∠BFP＝180°﹣（∠B+∠BPF）＝90°，
∴EF⊥BD．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
【变式12-3】已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝52；
（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC=BC2−AB2=102−62=8．
∵AD平分∠CAB，
∴CD=BD，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝52；
（2）如图②，连接OB，OD，
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB=12∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
【变式12-4】（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，CF=CB，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：2∠EOG+12∠AOF=90°．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得BC=BD，又由CF=CB，得到CF=BC=BD，从而得到BD+BC=BC+CF，即BF=CD，即可得证；
（2）连接BC，由（1）得：CF=BD，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；
（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到12∠AOF=∠OBF，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴BC=BD，
∵CF=CB，
∴CF=BC=BD，
∴BD+BC=BC+CF，即BF=CD，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：CF=BD，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴DE=CE=12CD=2，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：x=34，
∴GE的长为34；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵AF=AF，
∴12∠AOF=∠OBF，
在△OCG和△OBG中，
OC=OBOG=OGCG=BG，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴2∠EOG+12∠AOF=90°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
圆心角
圆周角
区 别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的.
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
联 系
两边都与圆相交
解题技巧提炼
利用“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”结合其它知识来求角的度数或线段长.
解题技巧提炼
利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，以及其它的知识来求解.
解题技巧提炼
当有直径时，常用直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形来进行解题.
解题技巧提炼
主要利用的是圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，对每个选项进行逐一的判断即可．
解题技巧提炼
主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，熟练掌握它们是解题的关键．
解题技巧提炼
主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数.
解题技巧提炼
主要是利用圆内接四边形对角互补，结合图形的其它性质转化角之间的关系，同时还要利用勾股定理等知识进行相关的计算.
解题技巧提炼
主要是利用圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
解题技巧提炼
多结论的判断主要利用圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识对每个选项进行判断，掌握它们的性质是解题的关键．
解题技巧提炼
利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
解题技巧提炼
求最值问题时利用圆周角定理，以及“垂线段最短”，“两点之间线段最短”，“三角形的三边关系”等知识，圆中的最值问题，关键是找到运动轨迹.
解题技巧提炼
圆周角定理的综合应用问题主要里利用圆周角定理、弧、线、圆心角定理、垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握这些定理是解题的关键．
圆心角
圆周角
区 别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的.
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
联 系
两边都与圆相交
解题技巧提炼
利用“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”结合其它知识来求角的度数或线段长.
解题技巧提炼
利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，以及其它的知识来求解.
解题技巧提炼
当有直径时，常用直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形来进行解题.
解题技巧提炼
主要利用的是圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，对每个选项进行逐一的判断即可．
解题技巧提炼
主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，熟练掌握它们是解题的关键．
解题技巧提炼
主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数.
解题技巧提炼
主要是利用圆内接四边形对角互补，结合图形的其它性质转化角之间的关系，同时还要利用勾股定理等知识进行相关的计算.
解题技巧提炼
主要是利用圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
解题技巧提炼
多结论的判断主要利用圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识对每个选项进行判断，掌握它们的性质是解题的关键．
解题技巧提炼
利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
解题技巧提炼
求最值问题时利用圆周角定理，以及“垂线段最短”，“两点之间线段最短”，“三角形的三边关系”等知识，圆中的最值问题，关键是找到运动轨迹.
解题技巧提炼
圆周角定理的综合应用问题主要里利用圆周角定理、弧、线、圆心角定理、垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握这些定理是解题的关键．
知识点一
圆周角的概念
◆1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
◆2、圆心角与圆周角的区别与联系
知识点二
圆周角定理及其推论
◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.
◆2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图：
即∠ABC =12∠AOC
◆3、圆周角定理的推论
圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
知识点三
圆内接四边形及其性质
◆1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆.
◆2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
题型一 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的运用
【例题1】（2022•扬州模拟）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB
等于（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
【变式1-1】（2022•南京模拟）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【变式1-2】（2022•长沙县校级开学）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，
则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【变式1-3】（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式1-4】（2023•绵阳二模）若A，B，C是⊙O上三点，∠ABC＝150°，AC＝6，则⊙O的半径
是（ ）
A．23B．32C．6D．62
【变式1-5】（2022秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度数是（ ）
A．150°B．140°C．145°D．130°
【变式1-6】（2023•云岩区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E、点F是⊙O上一点、连接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．
（1）求证：DF平分∠BFC；
（2）设AB交DF于点G、且DE＝GE，求∠DCF的度数．
题型二 同弧或等弧所对圆周角相等的运用
【例题2】（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
【变式2-1】（2022•枝江市一模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED的度数是 °．
【变式2-2】如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则
∠D的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．20°
题型三 直径所对的圆周角是90°的运用
【例题3】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
【变式3-1】（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【变式3-2】（2022•德城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A．22B．32C．5D．22+2
【变式3-3】（2023•安徽二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB＝10，AC＝6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE的长．
题型四 圆周角定理中的多结论问题
【例题4】下列命题中，正确的有（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对弧也相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-1】如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OD、AD，则以下结论：①D是BC的中点；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式4-3】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型五 与圆周角定理有关的证明
【例题5】（2023•海珠区一模）如图，⊙O中，AB＝CD，求证：△ABE≌DCE．
【变式5-1】（2022秋•济宁期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．
（1）求证：AC=BD．
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．
【变式5-2】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F，且AB=AE，求证：AF＝BF．
【变式5-3】（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．
【变式5-4】（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．
（1）求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．
题型六 利用圆内接四边形的性质求角度
【例题6】（2022•云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
【变式6-1】（2022•皇姑区一模）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（ ）
A．70°B．35°C．40°D．20°
【变式6-2】（2023•山西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【变式6-3】（2022•通榆县模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ ）
A．52°B．54°C．56°D．60°
【变式6-4】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）求证：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数．
题型七 利用圆内接四边形的性质求线段长
【例题7】（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．52B．5C．52D．10
【变式7-1】（2022•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝ cm．
【变式7-2】（2023•宝鸡二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，连接OA、OC，则OA的长为（ ）
A．4B．22C．3D．2
【变式7-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．722C．532D．92
【变式7-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若OF＝1，求AD的长．
题型八 利用圆内接四边形的性质求面积
【例题8】（2023•江岸区一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）若CP=6，BC=27，求S△APB．
【变式8-1】（2023•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为 ．
【变式8-2】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
题型九 利用圆内接四边形的性质判断结论
【例题9】（2023•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2OD，其中正确结论
有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-1】（2022秋•永吉县期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成了8个角，在结论①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列结论：
①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
题型十 利用圆内接四边形的性质证明
【例题10】已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．
【变式10-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形．
【变式10-2】（2022秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE．
【变式10-3】（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．
求证：BD＝BC．
【变式10-4】（2023•南宁二模）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD．
题型十一 利用圆周角定理解决最值问题
【例题11】（2023•六盘水二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，点D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
【变式11-1】（2022•淮南一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则CE+DE长的最小值为 ．
【变式11-2】（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为 ．
【变式11-3】（2023•兴化市开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点F是边AB上一动点（不与A、B重合），以AF为直径的⊙O交AC于点D，连接DB交⊙O于点E，连接CE，当点F在边AB上移动时，则CE的最小值为 ．
【变式11-4】（2022秋•红桥区校级期末）如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．
（1）EF＝ ；
（2）点P在MN上运动，则PA+PC的最小值为 ．
题型十二 圆周角定理的综合应用问题
【例题12】（2023•河西区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为DB的中点，求∠AGF的度数；
（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．
【变式12-1】（2023•遵义一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是BC的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．
（1）∠DAB的度数为 度．
（2）求证：DC＝DM；
（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD=2，求ME的长．
【变式12-2】（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．
（1）若AB＝10，OE=10，求AC的长；
（2）求证：EF⊥BD．
【变式12-3】已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【变式12-4】（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，CF=CB，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：2∠EOG+12∠AOF=90°．
（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》
2.4 圆 周 角
知识点一
圆周角的概念
◆1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
◆2、圆心角与圆周角的区别与联系
知识点二
圆周角定理及其推论
◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.
◆2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图：
即∠ABC =12∠AOC
◆3、圆周角定理的推论
圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
知识点三
圆内接四边形及其性质
◆1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆.
◆2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°.
题型一 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的运用
【例题1】（2022•扬州模拟）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB
等于（ ）
A．20°B．25°C．35°D．45°
【分析】根据圆周角定理解答．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝45°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【变式1-1】（2022•南京模拟）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【分析】根据垂径定理得出BC=BD，根据弧与圆心角关系得出∠COB＝∠BOD，利用圆周角定理得出∠COB＝2∠A＝52°，然后利用直角三角形两锐角互余性质求解即可．
【解答】解：连接OC，
∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠A＝26°，
∴∠COB＝2∠A＝52°，
∴∠BOD＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质，掌握垂径定理，弧与圆心角关系，圆周角定理，直角三角形两锐角互余性质是解题关键．
【变式1-2】（2022•长沙县校级开学）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB＝36°，
则∠OAB＝（ ）
A．18°B．54°C．36°D．72°
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA＝180°，
∴∠OAB=12（180°﹣∠AOB）＝54°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
【变式1-3】（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】连接OD，根据弧、弦的关系求出BE＝CD，CD⊥AB，CG＝DG，根据勾股定理求解即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵点C是BE的中点，点B是CD的中点，
∴CE=BC=BD，CD⊥AB，
∴BE＝CD，CG＝DG，
∵AB＝10，AB是⊙O的直径，
∴OB＝OD＝5，
∵BG＝2，
∴OG＝OB﹣BG＝3，
在Rt△ODG中，OG＝3，OD＝5，
∴DG=OD2−OG2=4，
∴CD＝2DG＝8，
∴BE＝8，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
【变式1-4】（2023•绵阳二模）若A，B，C是⊙O上三点，∠ABC＝150°，AC＝6，则⊙O的半径
是（ ）
A．23B．32C．6D．62
【分析】⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，根据圆周角定理求得∠AOC＝2∠ADC＝60°，根据等边三角形的判定定理知△ACO是等边三角形，所以等边三角形的三条边相等，即可求解．
【解答】解：⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∴⊙O的半径是6．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质．解答该题时，利用圆周角定理要注意圆心角与圆周角的定义，只有三个点都在圆上所组成的角才称之为圆周角．
【变式1-5】（2022秋•宿豫区期中）如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，BD＝BE，∠E＝35°，∠AOD的度数是（ ）
A．150°B．140°C．145°D．130°
【分析】根据等腰三角形等边对等角以及三角形外角的性质得出∠ABD的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可．
【解答】解：∵BD＝BE，∠E＝35°，
∴∠BDE＝∠E＝35°，
∴∠ABD＝∠BDE+∠E＝70°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝140°，
故选：B．
【点评】本题考查了同弧所对的圆周角和圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
【变式1-6】（2023•云岩区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E、点F是⊙O上一点、连接BF，CF，DF，∠BFD＝60°．
（1）求证：DF平分∠BFC；
（2）设AB交DF于点G、且DE＝GE，求∠DCF的度数．
【分析】（1）连接OC、OD，先由∠BAD＝∠BFD＝60°证明△AOB是等边三角形，再证明∠COD＝120°，则∠CFD=12∠COD＝60°，即可证明DF平分∠BFC；
（2）根据DE＝GE可以得到∠CDG＝45°，然后利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC、OD，
∵OA＝OD，∠BAD＝∠BFD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵OC＝OD，OA⊥CD，
∴∠AOC＝∠AOD＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴∠CFD=12∠COD＝60°，
∴∠BFD＝∠CFD，
∴DF平分∠BFC．
（2）解：∵AB⊥CD于E，
∴∠DEB＝90°，
∵DE＝GE，
∴∠CDG＝45°，
根据（1）∠CFD＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
【点评】此题考查圆周角定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
题型二 同弧或等弧所对圆周角相等的运用
【例题2】（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°，
∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠D的度数．
【变式2-1】（2022•枝江市一模）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED的度数是 °．
【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED=12∠COD＝21°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED=12∠COD＝21°．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【变式2-2】如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是弧BAC上一点，则
∠D的度数是（ ）
A．40°B．50°C．80°D．20°
【分析】欲求∠D的度数，需先求出同弧所对的∠A的度数；Rt△ABC中，已知∠ACB的度数，即可求得∠A，由此得解．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°；
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°；
∴∠D＝∠A＝40°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
题型三 直径所对的圆周角是90°的运用
【例题3】如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，求∠AGB的度数．
【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC=12∠COD＝63°，再由AB=AD得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．
【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵AB=AD，
∴∠B＝∠D＝45°，
∵∠DAC=12∠COD=12×126°＝63°，
∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．
所以∠AGB的度数为108°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【变式3-1】（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式3-2】（2022•德城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A．22B．32C．5D．22+2
【分析】作DE⊥AB于点E，根据AB是⊙O的直径，得∠C＝90°，再根据角平分线的性质得DE＝CD＝1，再证明Rt△BDE≌Rt△BDC，得BE＝BC，根据勾股定理就可以求出直径了．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵BD平分∠CDE，
∴DE＝CD＝1，
∴AD＝3，
∵BD＝BD，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC（HL），
∴BE＝BC，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，
AE=AD2−DE2=32−12=22，
设BE＝BC＝x，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2＝AC2+BC2，
即（22+x）2＝42+x2，
∴x=2，
∴⊙O的直径AB为32．
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
【变式3-3】（2023•安徽二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB＝10，AC＝6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE的长．
【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝8，然后利用三角形的面积可计算出△ABC的面积；
（2）连接OE、AE，过A点作AH⊥CE于H点，如图，先根据垂径定理得到OE⊥AB，则AE=BE，AE=2OA＝52，根据圆周角定理得到∠ACE＝∠BCE＝45°，再利用等腰直角三角形的性质得到CH＝AH＝32，然后利用勾股定理计算出HE＝42，最后计算CH+HE即可．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC=102−62=8，
∴S△ABC=12×6×8＝24；
（2）连接OE、AE，过A点作AH⊥CE于H点，如图，
∵E为半圆AB的中点，
∴OE⊥AB，
∴AE=BE，AE=2OA＝52，
∴∠ACE＝∠BCE=12∠ACB＝45°，
在Rt△ACH中，CH＝AH=22AC=22×6＝32，
在Rt△AEH中，HE=AE2−AH2=(52)2−(32)2=42，
∴CE＝CH+HE＝32+42=72．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．
题型四 圆周角定理中的多结论问题
【例题4】下列命题中，正确的有（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对弧也相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用圆周角的定义、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①顶点在圆周上且两边都与圆相交的角是圆周角，故原命题错误，不符合题意；
②同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原命题错误，不符合题意；
③90°的圆周角所对的弦是直径，正确，符合题意；
④在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对弧也相等，故原命题错误，不符合题意
正确的有1个，
故选：A．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解周角的定义、圆周角定理等知识，难度不大．
【变式4-1】如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①AC=2CD；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，AB=BC，BC=CD，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴AB=BC，BC=CD，
∴AC=2CD，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OD、AD，则以下结论：①D是BC的中点；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由AB＝AC，得到∠B＝∠C，由于AB为⊙O的直径，得到AD⊥BC，根据相似三角形的性质得到①②③正确，由于OB＝OD，于是得到∠B＝∠ODB，根据同位角相等，两直线平行即可得到④正确．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∴D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，
∴①②③正确，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质﹣三线合一是解题的关键．
【变式4-3】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①错误，证明∠EOB＝∠BOD＝60°即可；
②正确．证明∠CED＝30°，可得结论；
③错误，M是动点，DM不一定垂直CE；
④正确，连接EM，证明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得结论．
【解答】解：∵AC=CD=DB，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵E，D关于AB对称，
∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①错误，
∵∠CED=12∠COD＝30°，
∴∠DOB＝2∠CED，故②正确，
∵M是动点，
∴DM不一定垂直CE，故③错误，
连接EM．
则ME＝MD，
∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题型五 与圆周角定理有关的证明
【例题5】（2023•海珠区一模）如图，⊙O中，AB＝CD，求证：△ABE≌DCE．
【分析】首先利用圆周角定理得到∠B＝∠C，然后利用AAS判定两三角形全等即可．
【解答】解：由题意得：∠B＝∠C，
在△ABE与△DCE中，
∠AEB=∠DEC∠B=∠CAB=CD
∴△ABE≌△DCE（AAS）．
【点评】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆周角相等，难度较小．
【变式5-1】（2022秋•济宁期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．
（1）求证：AC=BD．
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．
【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；
（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．
【解答】（1）证明：如图，∵AB＝CD，
∴AB=CD，
∴AC+CB=CB+DB，
∴AC=BD．
（2）证明：连接AD．
∵AC=BD，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAB+∠AMC＝90°，
∴∠CAB+2∠BAD＝90°．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式5-2】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，BE交AD于点F，且AB=AE，求证：AF＝BF．
【分析】延长AD交⊙O于M，根据垂径定理求出AB=BM，求出BM=AE，根据圆周角定理得出∠BAF＝∠ABF，再根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：延长AD交⊙O于M，
∵BC⊥AD，BC过圆心O，
∴AB=BM，
∵AB=AE，
∴BM=AE，
∴∠BAF＝∠ABF，
∴AF＝BF．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，能根据垂径定理得出AB=BM是解此题的关键．
【变式5-3】（2023•沂源县一模）如图，点B，C为⊙O上两定点，点A为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC＝CD，试判断四边形EBCA的形状，并说明理由．
【分析】（1）欲证明AD∥EC，只要证明∠ACE＝∠DAC即可；
（2）根据等腰三角形的性质和矩形的判定即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
∵∠E＝∠BAC
∴∠E＝∠DAC，
∵BE∥AC
∴∠E＝∠ECA
∴∠ECA＝∠DAC
∴EC‖AD；
（2）四边形EBCA是矩形．理由如下，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC
又∵BC＝CD
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AB为⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°，
又∵BE∥AC
∴∠EBC＝∠ACD＝90°
∴四边形EBCA是矩形．
【点评】本题考查圆周角定理、矩形的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式5-4】（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．
（1）求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．
【分析】（1）连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得∠CEA＝90°，从而可得∠FAE+∠AFE＝90°，然后根据已知可得DC=DB，从而可得∠CAG＝∠FAE，进而可得∠AGC＝∠AFE，最后根据对顶角相等可得∠AFE＝∠CFG，从而可得∠AGC＝∠CFG，进而根据等角对等边即可解答；
（2）连接AC，CD，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得∠AFC＝∠CGD，然后根据SAS证明△AFC≌△DGC，从而可得AC＝CD，进而可得AC=CD=DB，最后根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠DAB，从而可得GA＝GB，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，
【解答】证明：（1）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAG+∠AGC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠FAE+∠AFE＝90°，
∵D为弧BC的中点，
∴DC=DB，
∴∠CAG＝∠FAE，
∴∠AGC＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠AGC＝∠CFG，
∴CF＝CG；
（2）连接AC，CD，
∵∠CFG＝∠CGF，
∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF，
∴∠AFC＝∠CGD，
∵CF＝CG，AF＝CD，
∴△AFC≌△DGC（SAS），
∴AC＝CD，
∴AC=CD，
∵CD=DB，
∴AC=DB，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴GA＝GB，
∵OA＝OB，
∴GO⊥AB．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
题型六 利用圆内接四边形的性质求角度
【例题6】（2022•云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
A．140°B．130°C．120°D．100°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式6-1】（2022•皇姑区一模）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（ ）
A．70°B．35°C．40°D．20°
【分析】连接DE，根据圆内接四边形的内对角互补和直径所对的圆周角是直角即可求得结论．
【解答】解：如图，连接DE，
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BED＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠BED＝70°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式6-2】（2023•山西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，则∠AOC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形求出∠D，根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式6-3】（2022•通榆县模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（ ）
A．52°B．54°C．56°D．60°
【分析】由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知∠DCE＝∠BAD＝108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，
∴∠DCE＝∠BAD＝108°．
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCF=12∠DCE＝54°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
【变式6-4】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）求证：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数．
【分析】（1）连接BF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，求出∠CFB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DF＝CD＝BD，求出∠C＝∠CFD，根据圆内接四边形的性质求出∠E＝∠CFD即可；
（2）求出∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】（1）证明：连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠CFB＝180°﹣∠AFB＝90°，
∵BD＝CD，
∴CD＝DF＝BD，
∴∠C＝∠CFD，
∵四边形AEDB是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：由（1）知：∠E＝∠C＝∠CFD，
∵∠E＝50°，
∴∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝50°+50°＝100°．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质，圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
题型七 利用圆内接四边形的性质求线段长
【例题7】（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，BC=CD．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
A．52B．5C．52D．10
【分析】根据勾股定理求得BD＝10，根据圆内接四边对角互补，得出∠BCD＝90°，继而根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，
∴BD=AB2+AD2=10，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵BC=CD．
∴BC＝CD=22BD=52，
故选：A．
【点评】本题考查了圆内接四边形对角互补，勾股定理，同弧所对弦相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-1】（2022•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝ cm．
【分析】先根据圆周角定理得到∠A及∠ABC的度数，进而判断出△ABC是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可求出AB．
【解答】解：∵∠D＝45°，
∴∠A＝45°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2×4÷2=42（cm）．
故答案为：42．
【点评】本题主要考查圆周角定理，涉及到勾股定理，解题关键是熟练使用圆周角定理．
【变式7-2】（2023•宝鸡二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，连接OA、OC，则OA的长为（ ）
A．4B．22C．3D．2
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠ADC＝45°，则有∠AOC＝90°，进而根据勾股定理可进行求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，
∵OA＝OC，AC＝2，
∴OA=2，
∴⊙O的半径为：2．
故选：D．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键．
【变式7-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4B．722C．532D．92
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理、直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：过点C作CH⊥BD于H，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DC＝5×22=522，BH＝CH＝4×22=22，
∴DH=CD2−CH2=322，
∴BD＝BH+DH=722，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式7-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若OF＝1，求AD的长．
【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得BC=BE=CD，进而得到∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，再根据等腰三角形的判定可得BG＝CG；
（2）利用圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系以及垂径定理、三角形中位线定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵点C为BD的中点，
∴BC=CD，
又∵弦CE⊥AB，AB是直径，
∴BC=BE，
∴BC=BE=CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，
∴BG＝CG；
（2）解：如图，过点O作OM⊥BD，垂足为M，
∵BC=BE=CD，
∴BC+CD=BC+BE，
即BD=CE，
∴BD＝CE，
又∵OM⊥BD，OF⊥CE，
∴OM＝OF＝1，DM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABD的中位线，
∴OM=12AD，
∴AD＝2OM＝2．
【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、三角形中位线定理是正确解答的前提．
题型八 利用圆内接四边形的性质求面积
【例题8】（2023•江岸区一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）若CP=6，BC=27，求S△APB．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）过点A作AK⊥BP交BP的延长线于点K，过点A作AJ⊥PC于点J．证明△ABK≌△ACJ（AAS），推出AK＝AJ，BK＝CJ，证明Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），推出PK＝PJ，设PK＝PJ＝x，则AK＝AJ=3x，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AK⊥BP交BP的延长线于点K，过点A作AJ⊥PC于点J．
∵∠K＝∠AJC＝90°，AB＝AC，∠ABK＝∠ACJ，
∴△ABK≌△ACJ（AAS），
∴AK＝AJ，BK＝CJ，
∵AP＝AP，
∴Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），
∴PK＝PJ，
设PK＝PJ＝x，则AK＝AJ=3x，
∵AK2+BK2＝AB2，
∴（3x）2+（6﹣x）2＝（27）2，
解得，x＝1或2，
∴PJ＝1或2，AK＝AJ=3或23，
∴PB＝2或4，
∴△APB的面积=12×2×23=23或12×4×3=23，
综上所述，△APB的面积为23．
【点评】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
【变式8-1】（2023•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为 ．
【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ADC＝120°，则∠ADB＝∠CDB＝60°，再利用平行线的性质得到∠EBD＝∠CDB＝60°，于是可判断△BDE为等边三角形，在DB上截取DF＝DA，如图，则△ADF为等边三角形，所以AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，接着证明△ABC为等边三角形得到AB＝AC，然后证明△ABF≌△ACD得到BF＝CD＝3，所以BD＝5，最后根据等边三角形的面积公式计算△BDE的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠CDB＝60°，
∴△BDE为等边三角形，
在DB上截取DF＝DA，如图，
∵∠ADF＝60°，DA＝DF，
∴△ADF为等边三角形，
∴AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
在△ABF和△ACD中，
∠ABF=∠ACD∠AFB=∠ADCAB=AC，
∴△ABF≌△ACD（AAS），
∴BF＝CD＝3，
∴BD＝BF+DF＝3+2＝5，
即等边△EBD的边长为5，
∴△BDE的面积=34×52=2534．
故答案为：2534．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．
【变式8-2】如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为AB的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：
在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：
如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB=12AB•PE，S△ABC=12AB•CF，
∴S四边形APBC=12AB•（PE+CF），
当点P为AB的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=3，
∴S四边形APBC=12×2×3=3．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
题型九 利用圆内接四边形的性质判断结论
【例题9】（2023•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④CD=2OD，其中正确结论
有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由四边形ABOD是平行四边形，OD＝OB，判定四边形ABOD是菱形，得到OB＝AB，由△ABO是等边三角形得到∠AOB＝60°，由四边形ABOD是菱形，得到∠BOD＝2∠AOB＝120°，由圆周角定理得到∠BCD=12∠BOD＝60°，由菱形的性质得到∠BAD＝∠BOD＝120°，CD和OD没有确定的数量关系．
【解答】解：连接OA，
∵四边形ABOD是平行四边形，OD＝OB，
∴四边形ABOD是菱形，
∴OB＝AB，
故①正确；
∵OA＝OB＝AB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABOD是菱形，
∴∠BOD＝2∠AOB＝120°，
∴∠BCD=12∠BOD＝60°，
故②正确；
∵四边形ABOD是菱形，
∴∠BAD＝∠BOD＝120°，
故③正确；
∵C的位置不确定，CD长在变化，半径OD的长不变，
∴CD和OD没有确定的数量关系，
∴④错误．
∴正确的结论是①②③，共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，菱形的判定和性质，关键是判定四边形ABOD是菱形，得到∠BOD＝120°．
【变式9-1】（2022秋•永吉县期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成了8个角，在结论①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据圆周角定理进行判断即可．
【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD，
∴∠1=∠4，故①正确，符合题意；
∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC，
∴∠2=∠7，故②正确，符合题意；
∵∠3，∠6所对的弧都是弧AD，
∴∠3=∠6，故③正确，符合题意；
∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB．
∴∠5=∠8，故④正确，符合题意．
∴正确的有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练运用圆周角的定理解决问题是本题的关键．
【变式9-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列结论：
①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD
其中正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，作出辅助线，根据有关性质和定理对每一结论进行证明即可得出答案．
【解答】解：①∵AB＝AD，
∴弧AB＝弧AD，∠ADB＝∠ABD．
∵∠ACB＝∠ADB，∠ACD＝∠ABD，
∴∠ACB＝∠ADB＝∠ABD＝∠ACD．
∴∠ADB＝（180°﹣∠BAD）÷2＝90°﹣∠DFC．
∴∠ADB+∠DFC＝90°，即∠ACD+∠DFC＝90°，
∴CD⊥DF，
∴∠FDC＝90°，
∴∠ADC＞90°，
∴线段AC不为⊙O的直径，
∴①错误，②正确；
③过F作FG⊥BC，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∠BFC＝∠BAD，
∴∠FBC＝∠ABD，
∴∠FBC＝∠ADB，
∴∠FBC＝∠ACB．
∴FB＝FC．
∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC=12∠BAD＝∠DFC．
∴△FGC≌△DFC（∠GFC＝∠DFC，FC＝FC，∠ACB＝∠ACD）．
∴CD＝GC=12BC．
∴BC＝2CD，
∴③正确；
④∵∠BFC＝∠BAD，
∠AFB＝180°﹣∠BFC，
∠BCD＝180°﹣∠BAD，
∴∠AFB＝∠BCD
∴④正确；
其中正确的个数为3个．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理；用到的知识点为圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是作出辅助线根据有关性质和定理对每一结论进行证明．
题型十 利用圆内接四边形的性质证明
【例题10】已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．
【分析】由圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，由AB=AC得到AB＝AC，根据等边三角形的判定可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB=AC，
∴AB＝AC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧和弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质和等边三角形的判定是解决问题的关键．
【变式10-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形．
【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝∠BCE，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠A＝∠BEC，
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形；
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键，解答时，注意方程思想的灵活运用．
【变式10-2】（2022秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE．
【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，再利用圆内接四边形的对角互补以及平角定义可得∠DEC＝∠A，然后再利用平行线的性质可得∠ADO＝∠C，从而利用等量代换可得∠DEC＝∠C，最后利用等角对等边即可解答．
【解答】证明：∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∵∠DEB+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠A，
∵OD∥BC，
∴∠ADO＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DC＝DE．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
【变式10-3】（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．
求证：BD＝BC．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，进而证明∠BCD＝∠EAD，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代换得到∠BCD＝∠BDC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠BCD＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【变式10-4】（2023•南宁二模）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义即可得到结论；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据余角的性质得到∠EAB＝∠CAD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABDC是圆O的内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接BC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
∴∠EAB+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∠EAB=∠DACAB=AC∠ABE=∠ACD，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴BE＝CD．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
题型十一 利用圆周角定理解决最值问题
【例题11】（2023•六盘水二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠B＝60°，AB＝8，点D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则线段MN的最小值为 ．
【分析】连接OM、ON，过A点作AH⊥BC于H点，如图，先根据含30度角的直角三角形三边的关系计算出AH＝43，再根据圆周角定理得到∠MON＝90°，所以MN=2OM，则MN=22AD，然后根据垂线段最短得到AD的最小值为43，从而得到MN的最小值．
【解答】解：连接OM、ON，过A点作AH⊥BC于H点，如图，
在Rt△ABH中，∵∠B＝60°，
∴BH=12AB＝4，
∴AH=3BH＝43，
∵∠MON＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
而OM＝ON，
∴MN=2OM，
∵OM=12AD，
∴MN=22AD，
∴当AD的值最小时，MN的值最小，
∵点D是边BC上的一个动点，
∴当点D在H点时，AD的值最小，
即AD的最小值为43，
∴MN的最小值为22×43=26．
故答案为：26．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂线段最短．
【变式11-1】（2022•淮南一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB＝2，则CE+DE长的最小值为 ．
【分析】作D点关于OB的对称点F，连接CF交OB于E，如图，先利用角平分线定义得到∠COD＝∠BOD＝30°，再利用对称的性质得到∠FOB＝∠BOD＝30°，OD＝OF，ED＝EF，所以CE+DE＝CF，接着根据两点之间线段最短可判断此时CE+DE的值最小，然后计算出CF即可．
【解答】解：作D点关于OB的对称点F，连接CF交OB于E，如图，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD=12∠BOC＝30°，
∵点D与点F关于OB对称，
∴∠FOB＝∠BOD＝30°，OD＝OF，OB垂直平分DF，
∴ED＝EF，
∴CE+DE＝CE+FE＝CF，
∴此时CE+DE的值最小，
∵∠COF＝90°，OC＝OF，
∴CF=2OC＝22，
∴CE+DE长的最小值为22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了最短路径问题．
【变式11-2】（2022秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为 ．
【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′，易得△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC=32，由圆周角定理可得∠APD＝∠ACB＝45°，进而可得∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，于是可知点D在点O′为圆心，AO′为半径的AB上运动，根据等腰直角三角形的性质得O′B=AB2=3，由勾股定理求得CO′=35，利用三角形三边关系可知CD≥CO′﹣O′D，因此当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D，代入计算即可求解．
【解答】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′，
则∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∵以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC=BC2=62=32，
∵AB=AB，
∴∠APD＝∠ACB＝45°，
∵AD⊥AP，
∴∠DAP＝90°，
∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，
∴点D在点O′为圆心，AO′为半径的AB上运动，
在等腰直角△ABO′中，O′B=AB2=322=3，
在Rt△BO′C中，CO′=O′B2+BC2=32+62=35，
∴O′D＝O′B＝3，
∵CD≥CO′﹣O′D
∴当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D=35−3．
故答案为：35−3．
【点评】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆中的最值问题，解题关键是根据题意找到动点的运动轨迹，结合三角形三边关系求最值．
【变式11-3】（2023•兴化市开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点F是边AB上一动点（不与A、B重合），以AF为直径的⊙O交AC于点D，连接DB交⊙O于点E，连接CE，当点F在边AB上移动时，则CE的最小值为 ．
【分析】连DF，AE，EF，得∠AEB＝180°﹣30°＝150°为定角，由此可得E在以AB为弦所对圆心角为60°的圆弧上运动，设该圆圆心为N，连NE，CN，AN，BN，由两点之间线段最短知：CE+NE≥CN，进而可求CE的最小值．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，BC=AB2−AC2=42−22=23，∠BAC＝60°，
连DF，AE，EF，
∵AF为的直径，
∴∠ADF＝∠AEF＝90°，
∴∠AFD＝∠AED＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEB＝180°﹣30°＝150°为定角，
∴E在以AB为弦所对圆心角为60°的圆弧上运动，
设该圆圆心为N，连NE，CN，AN，BN，则∠ANB＝60°，AN＝BN，
∴△AB为等边三角形，
∴AB＝BN＝AN＝4，∠ABN＝60°，
∴∠CBN＝90°，
∴CN=BC2+BN2=12+16=27，
又EN＝BN＝4，
由两点之间线段最短知：CE+NE≥CN，
∴CE≥CN﹣EN＝27−4，
∴当C、E、N在一直线时．CE有最小值为：27−4．
故答案为：27−4．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
【变式11-4】（2022秋•红桥区校级期末）如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，AB⊥MN于E，CD⊥MN于F．
（1）EF＝ ；
（2）点P在MN上运动，则PA+PC的最小值为 ．
【分析】（1）连接OA，OC，利用垂径定理求出AE与CF的长，根据勾股定理求出OE与OF的长，进而可得出结论；
（2）由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC＝PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．
【解答】解：（1）连接OA，OC，
∵∵AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE=12AB＝4，CF=12CD＝3，
∴OE=OB2−BE2=52−42=3，
OF=OC2−CF2=52−32=4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7；
（2）连接OB，作CH垂直于AB于H．
∵EF＝OE+OF＝3+4＝7，
∴CH＝OE+OF＝3+4＝7，
BH＝BE+EH＝BE+CF＝4+3＝7，
在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC=BH2+CH2=72+72=72，即PA+PC的最小值为72．
故答案为：7，72．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
题型十二 圆周角定理的综合应用问题
【例题12】（2023•河西区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D为直径AB同侧圆上的点，且点D为AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE，交⊙O于点F，AC与DF交于点G．
（Ⅰ）如图①，若点C为DB的中点，求∠AGF的度数；
（Ⅱ）如图②，若AC＝12，AE＝3，求⊙O的半径．
【分析】（I）根据AB为⊙O的直径，D为AC的中点，C为DB的中点，可得出∠BAC＝30°，再由DE⊥AB可知∠AEG＝90°，进而可得出结论；
（II）连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（I）∵AB为⊙O的直径，D为AC的中点，C为DB的中点，
∴AD=CD=BC，
∴∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEG＝90°，
∴∠AGF＝90°﹣30°＝60°；
（II）如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，AD=AF，
∵点D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∴AC=DF，
∴AC＝DF＝12，
∴EF=12DF＝6，设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
解得x＝7.5，
∴⊙O的半径是7.5．
【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式12-1】（2023•遵义一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是BC的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．
（1）∠DAB的度数为 度．
（2）求证：DC＝DM；
（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD=2，求ME的长．
【分析】（1）由圆周角定理及弧中点性质可得答案；
（2）根据等腰三角形的判定，判断∠MCD＝∠CMD，即可证明；
（3）利用（1）、（2）的结论，再证明出△CDE是等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠COD＝∠BOD＝45°，
∵BD=BD，
∴∠BAD=12∠BOD＝22.5°，
故答案为：22.5．
（2）∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AMO＝∠ABD，
∵BD=BD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OD＝OB，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝∠OBD，
∵∠AMO＝∠CMD，
∴∠MCD＝∠CMD，
∴DC＝DM．
（3）∵CD＝BD=2，
∴DM＝DC=2，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝22.5°，
∵∠COD＝45°，OC＝OD，
∴∠ODC＝67.5°，
∴∠CDE＝45，
∵CE⊥AD，
∴DE=22•CD，
∴DE＝1，
∴ME=2−1．
【点评】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键．
【变式12-2】（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．
（1）若AB＝10，OE=10，求AC的长；
（2）求证：EF⊥BD．
【分析】（1）根据垂径定理可得OE垂直平分AC，从而可得OE⊥AC，AC＝2AE，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进行计算即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠APC＝∠BPD＝90°，从而可得∠DPF+∠BPF＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得EP＝EC，从而可得∠EPC＝∠C，再利用对顶角相等，以及同弧所对的圆周角相等可得∠DPF＝∠B，最后利用等量代换可得∠B+∠BPF＝90°，从而利用三角形内角和定理进行计算可得∠BFP＝90°，即可解答．
【解答】（1）解：∵E是AC的中点，
∴OE垂直平分AC，
∴OE⊥AC，AC＝2AE，
∵AB＝10，
∴OA=12AB＝5，
在Rt△AOE中，OE=10，
∴AE=OA2−OE2=52−(10)2=15，
∴AC=2AE=215，
∴AC的长为215；
（2）证明：∵AB⊥CD，
∴∠APC＝∠BPD＝90°，
∴∠DPF+∠BPF＝90°，
∵E是AC的中点，
∴EP＝EC=12AC，
∴∠EPC＝∠C，
∵∠EPC＝∠DPF，∠B＝∠C，
∴∠DPF＝∠B，
∴∠B+∠BPF＝90°，
∴∠BFP＝180°﹣（∠B+∠BPF）＝90°，
∴EF⊥BD．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
【变式12-3】已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝52；
（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC=BC2−AB2=102−62=8．
∵AD平分∠CAB，
∴CD=BD，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝52；
（2）如图②，连接OB，OD，
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB=12∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
【变式12-4】（2023•滨江区一模）如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，CF=CB，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：2∠EOG+12∠AOF=90°．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得BC=BD，又由CF=CB，得到CF=BC=BD，从而得到BD+BC=BC+CF，即BF=CD，即可得证；
（2）连接BC，由（1）得：CF=BD，CD＝BF＝4，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，即可得到答案；
（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到12∠AOF=∠OBF，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴BC=BD，
∵CF=CB，
∴CF=BC=BD，
∴BD+BC=BC+CF，即BF=CD，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：CF=BD，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴DE=CE=12CD=2，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：x=34，
∴GE的长为34；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵AF=AF，
∴12∠AOF=∠OBF，
在△OCG和△OBG中，
OC=OBOG=OGCG=BG，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴2∠EOG+12∠AOF=90°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键．
圆心角
圆周角
区 别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的.
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
联 系
两边都与圆相交
解题技巧提炼
利用“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”结合其它知识来求角的度数或线段长.
解题技巧提炼
利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，以及其它的知识来求解.
解题技巧提炼
当有直径时，常用直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形来进行解题.
解题技巧提炼
主要利用的是圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，对每个选项进行逐一的判断即可．
解题技巧提炼
主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，熟练掌握它们是解题的关键．
解题技巧提炼
主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数.
解题技巧提炼
主要是利用圆内接四边形对角互补，结合图形的其它性质转化角之间的关系，同时还要利用勾股定理等知识进行相关的计算.
解题技巧提炼
主要是利用圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
解题技巧提炼
多结论的判断主要利用圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识对每个选项进行判断，掌握它们的性质是解题的关键．
解题技巧提炼
利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
解题技巧提炼
求最值问题时利用圆周角定理，以及“垂线段最短”，“两点之间线段最短”，“三角形的三边关系”等知识，圆中的最值问题，关键是找到运动轨迹.
解题技巧提炼
圆周角定理的综合应用问题主要里利用圆周角定理、弧、线、圆心角定理、垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握这些定理是解题的关键．
圆心角
圆周角
区 别
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的.
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个.
联 系
两边都与圆相交
解题技巧提炼
利用“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”结合其它知识来求角的度数或线段长.
解题技巧提炼
利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，以及其它的知识来求解.
解题技巧提炼
当有直径时，常用直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形来进行解题.
解题技巧提炼
主要利用的是圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，对每个选项进行逐一的判断即可．
解题技巧提炼
主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，熟练掌握它们是解题的关键．
解题技巧提炼
主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数.
解题技巧提炼
主要是利用圆内接四边形对角互补，结合图形的其它性质转化角之间的关系，同时还要利用勾股定理等知识进行相关的计算.
解题技巧提炼
主要是利用圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
解题技巧提炼
多结论的判断主要利用圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识对每个选项进行判断，掌握它们的性质是解题的关键．
解题技巧提炼
利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
解题技巧提炼
求最值问题时利用圆周角定理，以及“垂线段最短”，“两点之间线段最短”，“三角形的三边关系”等知识，圆中的最值问题，关键是找到运动轨迹.
解题技巧提炼
圆周角定理的综合应用问题主要里利用圆周角定理、弧、线、圆心角定理、垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握这些定理是解题的关键．
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