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初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性巩固练习
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这是一份初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性巩固练习
第08讲 确定圆的条件（2种题型）
1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，
2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
一．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
二．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
一．确定圆的条件（共5小题）
1．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等
B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等
C．过三点可以画一个圆
D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
2．（2016秋•太仓市校级期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
3．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
4．（2022秋•江宁区校级月考）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
二．三角形的外接圆与外心（共20小题）
6．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
7．（2023•姑苏区校级二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝ °．
8．（2022秋•江阴市校级月考）（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径 ；
（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．
9．（2023•无锡二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（ ）
A．三条高的交点 B．内心
C．外心 D．重心
10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11．（2022秋•太仓市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD为⊙O的直径，则AD的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
12．（2022秋•梁溪区校级期中）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．外心在三角形外
B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边距离相等
D．外心到三角形三个顶点距离相等
13．（2023•邗江区校级二模）如图，⊙O的直径为m，△ABC是⊙O的内接三角形，AB的长为x，AC的长为y，且x+y＝6，AD⊥BC于点D，AD＝1，则m的最大值为 ．
14．（2022秋•阜宁县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝4，则⊙O的半径是 ．
15．（2021秋•海州区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于 ．
16．（2022•亭湖区校级模拟）如图1，它是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝4，AC＝2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O重合时运动结束、在整个运动过程中，点C运动的路程是 ．
17．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．
（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．
18．（2022秋•海州区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题．
（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圆的半径．
19．（2022秋•秦淮区期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
20．（2023•秦淮区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为 ．
21．（2019秋•新北区校级期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ °．
22．（2022秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．
（1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°
（2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．
23．（2022秋•惠山区校级月考）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
24．（2023•建邺区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D交BC于点E．过点D作DF∥BC，分别交AC于点G，⊙O于点F．
（1）求证AC＝DF；
（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的长．
25．（2022秋•溧阳市期中）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ABC的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
一、单选题
1．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．弧长相等的弧是等弧 B．直径是最长的弦
C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦
2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等
C．过三点可以画一个圆 D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．弦的垂直平分线必经过圆心
4．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，点，C在平面直角坐标系中，则的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
5．（2021秋·江苏泰州·九年级统考期中）下列命题中真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．任意三点确定一个圆 D．外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形
6．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
7．（2023·江苏·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
9．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（ ）
A．110° B．90° C．85° D．80°
二、填空题
11．（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为______．
12．（2023秋·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________．
13．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为______．
14．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是_______．
15．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在中，，，则的外接圆的半径是______ ．
16．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）小明在与同学的嬉闹中把校服划坏了，划坏的图形恰好是一个直角三角形，这个直角三角形的两条边长分别是5和12，妈妈打算用一个圆形图案把它盖住缝补好，则妈妈用的圆形图案所在圆的半径最小值为___________．
17．（2021秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是______．
18．（2020秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，则△ABC的面积为_____．
三、解答题
19．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．
20．（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹，标上相应字母．
(1)已知，作，使圆心P到、边的距离相等，且经过A、B两点．
(2)如图，四边形是直角梯形，作，使与边都相切．
21．（2023·江苏宿迁·统考一模）已知，点D是的边上一点．
(1)如图甲，，垂足为E，平分交边于点F，交边于点O，求证：；
(2)如图乙，交边于点E，平分交边于点O，，垂足为点F，求；
(3)如图丙，在线段上找一点O作，使经过点D且与相切．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法过程，不证明）
22．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、．
(1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置；
(2)坐标原点与有何位置关系？并说明理由．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，，是的高，，相交于点是的中点，是的外接圆．
(1)点是否在以点M为圆心得同一个圆上？请说明理由．
(2)若，，求外接圆的半径长．
24．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知是直线l和双曲线的交点．
(1)求m的值．
(2)若直线l分别和x轴、y轴交于E、F两点，且点A是的外心，试确定直线l的解析式．
(3)在双曲线上另取一点B，过B作轴于K，试问：在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）阅读下列材料：
已知实数m，n满足 ，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x、y满足 ，求值；
(2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径．
26．（2023·江苏宿迁·统考三模）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点；
(2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件：
①圆心O在上；②经过点P；③与边相切；
(3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．
一．选择题
1．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
2．下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．一个三角形只有一个外接圆
B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧
D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等
4．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
5．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三角形三内角角平分线的交点
7．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
10．如图，在等边△ABC中，AB＝4，点D为AB的中点，动点E、F分别在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圆⊙O，交AC于点G、H．当动点E从点D向点A运动时，线段GH长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大
C．先变小再变大 D．先变大再变小
二．填空题
11．（2021秋•东光县期中）经过两点可以做 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆．
12．（2021秋•建邺区期中）当A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 ．
13．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
14．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
15．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
17．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为 ．
三．解答题
18．如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．
19．如图，△ABC内接于⊙O；∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D．若⊙O的半径为6，求OD的长．
20．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
21．（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，圆心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径．
第08讲 确定圆的条件（2种题型）
1.了解三角形的外接圆与外心相关概念，
2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；
一．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
二．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
一．确定圆的条件（共5小题）
1．（2022秋•盐都区期中）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等
B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等
C．过三点可以画一个圆
D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
2．（2016秋•太仓市校级期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
3．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
4．（2022秋•江宁区校级月考）下列说法：①长度相等的弧是等弧；②相等的圆心角所对的弧相等；③直径是圆中最长的弦；④经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
二．三角形的外接圆与外心（共20小题）
6．（2022秋•广陵区校级期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
7．（2023•姑苏区校级二模）如图，E为正方形ABCD的边CD上一点（不与C、D重合），将△BCE沿直线BE翻折到△BFE，延长EF交AE于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧EG上一点，则∠EOG＝ °．
8．（2022秋•江阴市校级月考）（1）如图1，请只用无刻度直尺找出△ABC的外心点O；并直接写出其外接圆半径 ；
（2）如图2，请用直尺和圆规将图中的弧补成圆；并标记圆心P．
9．（2023•无锡二模）在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在△ABC的（ ）
A．三条高的交点 B．内心
C．外心 D．重心
10．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
11．（2022秋•太仓市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD为⊙O的直径，则AD的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
12．（2022秋•梁溪区校级期中）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．外心在三角形外
B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边距离相等
D．外心到三角形三个顶点距离相等
13．（2023•邗江区校级二模）如图，⊙O的直径为m，△ABC是⊙O的内接三角形，AB的长为x，AC的长为y，且x+y＝6，AD⊥BC于点D，AD＝1，则m的最大值为 ．
14．（2022秋•阜宁县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝4，则⊙O的半径是 ．
15．（2021秋•海州区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于 ．
16．（2022•亭湖区校级模拟）如图1，它是一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB＝4，AC＝2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在x轴上由点O开始向右滑动，点B在y轴上也随之向点O滑动（如图3），并且保持点O在⊙G上，当点B滑动至与点O重合时运动结束、在整个运动过程中，点C运动的路程是 ．
17．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由．
（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长．
18．（2022秋•海州区校级月考）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题．
（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圆的半径．
19．（2022秋•秦淮区期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
20．（2023•秦淮区模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为 ．
21．（2019秋•新北区校级期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ °．
22．（2022秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．
（1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°
（2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．
23．（2022秋•惠山区校级月考）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
24．（2023•建邺区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D交BC于点E．过点D作DF∥BC，分别交AC于点G，⊙O于点F．
（1）求证AC＝DF；
（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的长．
25．（2022秋•溧阳市期中）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）已知Rt△ABC的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
一、单选题
1．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．弧长相等的弧是等弧 B．直径是最长的弦
C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦
2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等
C．过三点可以画一个圆 D．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧
3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等 B．三点确定一个圆
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．弦的垂直平分线必经过圆心
4．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，点，C在平面直角坐标系中，则的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
5．（2021秋·江苏泰州·九年级统考期中）下列命题中真命题的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．任意三点确定一个圆 D．外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形
6．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（ ）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10
7．（2023·江苏·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
9．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）如图，为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则为（ ）
A．110° B．90° C．85° D．80°
二、填空题
11．（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为______．
12．（2023秋·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆的半径为_____________．
13．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为______．
14．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是_______．
15．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在中，，，则的外接圆的半径是______ ．
16．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）小明在与同学的嬉闹中把校服划坏了，划坏的图形恰好是一个直角三角形，这个直角三角形的两条边长分别是5和12，妈妈打算用一个圆形图案把它盖住缝补好，则妈妈用的圆形图案所在圆的半径最小值为___________．
17．（2021秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是______．
18．（2020秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，则△ABC的面积为_____．
三、解答题
19．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．
20．（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写做法，保留作图痕迹，标上相应字母．
(1)已知，作，使圆心P到、边的距离相等，且经过A、B两点．
(2)如图，四边形是直角梯形，作，使与边都相切．
21．（2023·江苏宿迁·统考一模）已知，点D是的边上一点．
(1)如图甲，，垂足为E，平分交边于点F，交边于点O，求证：；
(2)如图乙，交边于点E，平分交边于点O，，垂足为点F，求；
(3)如图丙，在线段上找一点O作，使经过点D且与相切．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法过程，不证明）
22．（2023秋·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，、、．
(1)在图中画出经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的位置；
(2)坐标原点与有何位置关系？并说明理由．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，，是的高，，相交于点是的中点，是的外接圆．
(1)点是否在以点M为圆心得同一个圆上？请说明理由．
(2)若，，求外接圆的半径长．
24．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知是直线l和双曲线的交点．
(1)求m的值．
(2)若直线l分别和x轴、y轴交于E、F两点，且点A是的外心，试确定直线l的解析式．
(3)在双曲线上另取一点B，过B作轴于K，试问：在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2022秋·江苏常州·九年级统考期中）阅读下列材料：
已知实数m，n满足 ，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知实数x、y满足 ，求值；
(2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径．
26．（2023·江苏宿迁·统考三模）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点；
(2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件：
①圆心O在上；②经过点P；③与边相切；
(3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线．
一．选择题
1．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
2．下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法正确的是（ ）
A．一个三角形只有一个外接圆
B．三点确定一个圆
C．长度相等的弧是等弧
D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等
4．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
5．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（ ）
A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三角形三内角角平分线的交点
7．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x轴，M为Rt△ABC的外心．若点A的坐标为（3，4），点M的坐标为（﹣1，1），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
10．如图，在等边△ABC中，AB＝4，点D为AB的中点，动点E、F分别在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圆⊙O，交AC于点G、H．当动点E从点D向点A运动时，线段GH长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大
C．先变小再变大 D．先变大再变小
二．填空题
11．（2021秋•东光县期中）经过两点可以做 个圆，不在同一直线的 个点可以确定一个圆．
12．（2021秋•建邺区期中）当A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三点可以确定一个圆，则n需要满足的条件为 ．
13．平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3） 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
14．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
15．如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
17．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为 ．
三．解答题
18．如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．
19．如图，△ABC内接于⊙O；∠A＝30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D．若⊙O的半径为6，求OD的长．
20．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
21．（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于点D，圆心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半径．
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