高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理当堂检测题

课时跟踪检测（七）  用空间向量研究距离问题

1．已知直线l的方向向量n＝(1,0,2)，点A(0,1,1)在直线l上，则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　 )

A．　　　　　　　　 B．

C．  D．2

解析：选A　由已知得＝(－1，－1，－1)，所以点P到直线l的距离为d＝＝＝.

2．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　 )

A．   B．

C．   D．

解析：选D　分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，则d＝＝.

3．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　 )

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选C　因为＝(4，－5,0)，＝(0,4，－3)，则对应的单位向量为，

所以AC边上的高BD的长为B到AC的距离d＝＝ ＝5.

4.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)

A．   B．

C．  D．1

解析：选B　过点B作BE⊥A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，

由题意知A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，

故＝(1,2，－3)，＝(0,2,0)，

对应的单位向量为，

所以点B到A1C的距离为

＝ ＝.

5．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　 )

A．a  B．a

C．a   D．a

解析：选D　建立空间直角坐标系如图．

则A(a,0,0)，D(0,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，

∴＝(0，a，a)，＝(－a,0，a)．

设n＝(x，y，z)为平面AB1D1的法向量，

则

得取z＝1，则n＝(1，－1,1)．

又∵AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，

DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1.

∴平面AB1D1与平面BDC1的距离可转化为点C1到平面AB1D1的距离d.

∵＝(a,0,0)，平面AB1D1的法向量为n＝(1，－1,1)，

∴d＝＝＝a.

6．已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2，3,1)，则点P(4,3,2)到直线l的距离为________.

解析：＝(－2,0，－1)，因为n与l垂直，所以P到l的距离为＝＝.

答案：

7．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．

解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可知AB，AD，AP两两垂直．

以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，则＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)．

设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，

则即取a＝1，得n＝(1,0,1)，

又＝(2,0,0)，所以d＝＝.

答案：

8.如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________．

解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则D1(0,0,2)，F(1,1,0)，G(0,2,1)，

于是有＝(1，－1，－1)，

＝(0，－2,1)，

所以＝＝，||＝，

所以点D1到直线GF的距离为＝.

答案：

9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．

解：建立空间直角坐标系，如图所示，

则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，E，F.

设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，

则n·＝0，n·＝0，

即

∴－ax＝0，ay－z＝0.

即令z＝2，得n＝(0,1,2)．

又＝，

∴所求距离d＝＝＝a.

10.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，四边形AEC1F为平行四边形．

(1)求BF的长；

(2)求点C到平面AEC1F的距离．

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4，3)，设F(0,0，z)．

因为四边形AEC1F为平行四边形，所以由＝得，(－2,0，z)＝(－2,0,2)，

所以z＝2.所以F(0,0,2). 所以＝(－2，－4,2)．

于是||＝2，即BF的长为2.

(2)设n1为平面AEC1F的法向量，

显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1＝(x，y,1)，

所以所以

即所以得n1＝.

又＝(0,0,3)，

所以C到平面AEC1F的距离

d＝＝＝.

1.如图，ABCD­EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　 )

A．   B．

C．  D．

解析：选C　如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，

＝＋＋，＝，＝(1,0,0)，·＝，所以P点到AB的距离d＝＝＝.

2．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，点E为CC1的中点，则直线AC1到平面BED的距离为(　　)

A．2　　　 B．       C．　　　 D．1

解析：选D　以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(0,2，)，易知AC1∥平面BDE.

设n＝(x，y，z)是平面BDE的法向量．

则

取y＝1，则n＝(－1,1，－)为平面BDE的一个法向量．

又因为＝(2,0,0)．

所以直线AC1到平面BDE的距离

d＝＝＝1.

3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AA1＝9，BC＝6，N为BC的中点，则直线D1C1与平面A1B1N的距离是________.

解析：如图，建立空间直角坐标系，设CD＝a，则D1(0,0,9)，A1(6，0,9)，B1(6，a,9)，N(3，a,0)，

所以＝(6，0,0)，＝(0，a,0)，＝(－3，0，－9)．

设平面A1B1N的法向量n＝(x，y，z)，

则

即取x＝3，则y＝0，z＝－，

所以平面A1B1N的一个法向量为n＝(3,0，－)．

所以点D1到平面A1B1N的距离为d＝＝＝9.

又因为D1C1∥平面A1B1N，

所以直线D1C1与平面A1B1N的距离是9.

答案：9

4．四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，求点E到平面O1BC的距离．

解： 因为OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，所以建立如图所示的空间直角坐标系．

因为底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形，

所以OA＝2，OB＝2，则A(2，0,0)，B(0,2,0)，C(－2，0,0)，O1(0,0,3)，＝(0,2，－3)，＝(－2，0，－3)．

设平面O1BC的法向量为n1＝(x，y，z)，

则n1⊥，n1⊥，所以

取z＝2，则x＝－，y＝3，所以n1＝(－，3,2)．

设点E到平面O1BC的距离为d，

因为E是O1A的中点，所以＝，

则d＝＝＝，

所以点E到平面O1BC的距离等于.

5．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图①把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图②)．

(1)求证：CD⊥AB；

(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．

解：(1)证明：由已知条件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB.

(2)以点D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图，

由已知可得A(1,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,1,0)，

所以＝(0，－2,0)，＝(－1,0，－1)，

＝(－1,1,0)．

设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，

则⊥n，⊥n，所以

令x＝1，得平面ACD的一个法向量为n＝(1,0，－1)，

所以点M到平面ACD的距离d＝＝.