人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时课后复习题

第1课时　用空间向量研究空间距离

1．[2023·山东青岛五十八中高二检测]直线l的一个方向向量为m＝(1，，1)，点P(3，0，－1)为直线l外一点，点O(0，0，0)为直线l上一点，则点P到直线l的距离为(　　)

A.1    B．2

C.3    D．4

2．[2023·辽宁抚顺高二检测]空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3，1)，N(3，－2，2)，则点P到直线MN的距离为(　　)

A.2    B．2

C.3    D．2

3．已知a＝(1，1，1)为平面α的一个法向量，A(1，0，0)为α内的一点，则点D(1，1，2)到平面α的距离为(　　)

A.    B．

C.    D．

4．[2023·河北沧州高二月考]两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)

A.    B．

C.    D．3

5．[2023·天津塘沽二中高二检测]在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为(　　)

A.　　　B．    C．　　　D．

6．[2023·河南信阳高二检测]如图，在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，CA⊥CB，CA＝CB＝2，AA1＝3，M为AB的中点．则A1到平面CB1M的距离为(　　)

A.

B.

C.

D.

7．已知点A(0，1，2)在平面α内，n＝(－1，3，2)为平面α的一个法向量，则点D(5，7，－3)到平面α的距离为________．

8．若空间中有三点A(1，0，－1)，B(0，1，1)，C(1，2，0)，则A到直线BC的距离为________；点P(1，2，3)到平面ABC的距离为________．

1．[2023·北京丰台高二检测]在空间直角坐标系Oxyz中，若有且只有一个平面α，使点A(2，2，2)到α的距离为1，且点B(m，0，0)到α的距离为4，则m的值为(　　)

A.2    B．1或3

C.2或4    D．2－或2＋

2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，且P(－2，1，4)到平面α的距离为，则x的值为(　　)

A.1    B．11

C.－1或－11    D．－21

3.

如图，在正三棱柱ABC ­ A1B1C1中，若AB＝BB1＝4，则点C到直线AB1的距离为(　　)

A.    B．

C.    D．

4．[2023·山东菏泽高二检测]在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到几何体ABCD ­ A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则点D到平面A1BC1的距离为(　　)

A.    B．

C.    D．

5．如图，已知长方体ABCD ­ A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)

A.5　　　B．8    C．　　　D．

6.

(多选)如图所示，三棱锥S ­ ABC中，△ABC为等边三角形，SA⊥平面ABC，SA＝3，AB＝2.点D在线段SC上，且SD＝SC，点E为线段SB的中点，以线段BC的中点O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过点O作SA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　)

A.直线CE的一个方向向量为(，，)

B.点D到直线CE的距离为

C.平面ACE的一个法向量为(，3，－2)

D.点D到平面ACE的距离为1

7．[2023·河北石家庄高二检测]在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F分别是AB、CC1中点，则点D1到直线EF的距离为________．

8．正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为1，E、F、H分别是BB1、CD、CC1的中点，则直线EH到平面A1D1F的距离为________．

9．[2023·湖北武汉十七中高二检测]如图，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．

(1)求点A1到直线B1E的距离；

(2)求直线FC1到直线AE的距离；

(3)求点A1到平面AB1E的距离．

10．[2023·河北沧州高二检测]如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，M，E，F分别为PC，AB，BC的中点．

(1)求证：ME∥平面PAD；

(2)求直线AC到平面PEF的距离．

1.

如图，在四棱锥S ­ ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝SA＝SD＝2AB＝2，P为棱AD的中点，且SP⊥AB，＝λ(0≤λ≤1)，若点M到平面SBC的距离为，则实数λ的值为(　　)

A.    B．

C.    D．

2．[2023·山东临沂一中高二检测]已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为2，E为线段B1C1中点，F为线段BC上动点，点F到直线DE距离的最小值为________．

3．如图在四棱锥P ­ ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝4，O为AD的中点．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

第1课时　用空间向量研究空间距离

必备知识基础练

1．答案：C

解析：因为直线l的一个方向向量为m＝(1，，1)，＝(3，0，－1)，所以点P到直线l的距离为 ＝ ＝3，故选C.

2．答案：A

解析：因为＝(1，1，1)，所以的一个单位方向向量为u＝(1，1，1).因为＝(1，－1，3)，故||＝＝，·u＝(1－1＋3)＝，所以点P到直线MN的距离为＝＝2.故选A.

3．答案：A

解析：依题意，＝(0，1，2)，而a＝(1，1，1)为平面α的一个法向量，所以点D(1，1，2)到平面α的距离d＝＝＝.故选A.

4．答案：A

解析：∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，＝(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选A.

5．答案：C

解析：

建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E(0，，1)，所以＝(1，，－1)，1＝(0，0，1)，所以1在上的投影为＝＝－，所以点C1到直线EC的距离d＝ ＝ ＝.故选C.

6．答案：D

解析：如图，

分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，3)，B1(0，2，3)，M(1，1，0).则有＝(0，2，3)，＝(1，1，0)，设平面CB1M的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，得平面CB1M的一个法向量为n＝(3，－3，2)，又＝(－2，2，0)，所以A1到平面CB1M的距离d＝＝＝.故选D.

7．答案：

解析：由A(0，1，2)，D(5，7，－3)，可得＝(5，6，－5).又点A(0，1，2)在平面α内，n＝(－1，3，2)为平面α的一个法向量，则点D到平面α的距离d＝＝＝.

8．答案：　

解析：由A(1，0，－1)，B(0，1，1)，C(1，2，0)，可得＝(1，－1，－2)，＝(1，1，－1)，则cos 〈，〉＝＝＝，又〈，〉∈[0，π]，则sin 〈，〉＝，则A到直线BC的距离为||·sin 〈，〉＝×＝，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则，即，令x＝3，则n＝(3，－1，2)，又＝(0，－2，－4)，则点P(1，2，3)到平面ABC的距离为＝＝.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：因为有且只有一个平面α，使点A(2，2，2)到α的距离为1，且点B(m，0，0)到α的距离为4，若AB＝3，所以AB⊥α，且A，B两点在平面α同侧，AB＝4－1＝3，＝3，m＝1或3.

若AB>3，则线段AB与平面α至少有下列两种位置关系，即平面α至少有两个．

若AB<3，由上面AB>3的图形知，A，B两点到平面α的距离的差的绝对值不大于AB，与已知矛盾，即不存在平面α满足题意．故选B.

2．答案：C

解析：＝(x＋2，2，－4)，而d＝＝，即＝，解得x＝－1或－11.故选C.

3．答案：D

解析：

取AC的中点O，取A1C1中点D，连接OD，则OD⊥平面ABC，连接OB，因为△ABC是等边三角形，所以OB⊥AC，因为OB，AC⊂平面ABC，所以OB，AC，OD两两垂直，所以以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，因为AB＝BB1＝4，所以AO＝OC＝2，OB＝＝2，BB1＝2，故A(0，－2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，0，2)，＝(0，4，0)，＝(2，2，2)，点C到直线AB1的距离为d＝

＝ ＝.故选D.

4．答案：D

解析：设AA1＝h，则VABCD ­ A1C1D1＝VABCD ­ A1B1C1D1－VB ­ A1B1C1＝10，所以4h－h××4＝10，可得h＝3，

如图，构建DA，DC，DD1为x、y、z轴的空间直角坐标系，

所以A1(2，0，3)，B(2，2，0)，C1(0，2，3)，则＝(0，2，－3)，＝(2，0，－3)，

若m＝(x，y，z)是平面A1BC1的一个法向量，则，令z＝2，则m＝(3，3，2)，

又＝(2，2，0)，故D到平面A1BC1的距离为＝＝.故选D.

5．答案：C

解析：

以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)，＝(0，－12，5)，＝(－x，0，0)，由，

得，

所以a＝0，b＝c，取n＝(0，5，12)，又＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为d＝＝，因为B1C1∥BC，BC⊂平面A1BCD1，B1C1⊄平面A1BCD1，所以B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离即为点B1到平面A1BCD1的距离，所以直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.故选C.

6．答案：ABD

解析：依题意，S(，0，3)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，E(，，)；若SD＝SC，则D(，－，2)，则＝(，，)，∵＝(，，)，故A正确；

＝(，，2)，＝(－，－1，0)，＝(－，，)，故点D到直线CE的距离d＝ ＝，故B正确；

设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则，即，令z＝－2，则n＝(－，3，－2)为平面ACE的一个法向量，故C错误；

而＝(，，2)，故点D到平面ACE的距离d1＝＝1，故D正确．故选ABD.

7．答案：

解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D1(0，0，2)，F(0，2，1)，E(1，1，0)，所以＝(－1，－1，2)，＝(－1，1，1)，所以点D1到直线EF的距离为d＝ ＝ ＝，即点D1到直线EF的距离为.

8．答案：

解析：以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(0，0，1)，D1(0，1，1)，E(1，0，)，F(，1，0)，H(1，1，)，

＝(0，1，0)，＝(0，1，0)，＝(，0，－1)，＝(1，0，－)，

∵＝，且EH，A1D1不共线，则EH∥A1D1，

∵EH⊄平面A1D1F，A1D1⊂平面A1D1F，

∴EH∥平面A1D1F，

设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，

则，

取x＝2，可得n＝(2，0，1)，

因此直线EH到平面A1D1F的距离为d＝＝＝.

9．解析：

(1)如图所示以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，B(1，1，0)，E(0，0，1)，A1(1，0，2)，C1(0，1，2)，B1(1，1，2)，F(1，1，1)，

＝(－1，－1，－1)，＝(0，1，0)，

设点A1到直线B1E的距离为d1，

，

则点A1到直线B1E的距离为.

(2)＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，故∥，＝(1，1，0)，

设直线FC1到直线AE的距离为d2，则d2即为F到直线AE的距离；

∴d2＝ ＝，

则直线FC1到直线AE的距离为.

(3)设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，

由，

令x＝1，则y＝－2，z＝1，所以n＝(1，－2，1)，

设点A1到平面AB1E的距离为d3，

∴d3＝＝＝，

则点A1到平面AB1E的距离为.

10．解析：(1)取PD中点N，连接MN和AN，则MN∥DC且MN＝DC，

又底面ABCD为正方形，∴MN∥AE且MN＝AE＝AB，∴四边形MNAE为平行四边形，∴AN∥ME，

又AN⊂平面PAD，ME⊄平面PAD，

∴ME∥平面PAD.

(2)建立以D为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．

则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，，0)，F(，1，0)，

所以＝(－，，0)，＝(1，，－1)，＝(1，，0)，

设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，则，即，

令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，

因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.

又AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF；

因为＝(0，，0)，所以点A到平面PEF的距离d＝＝＝.

所以直线AC到平面PEF的距离为.

核心素养升级练

1．答案：A

解析：

由题意得：因为SA＝SD，P为AD中点，所以SP⊥AD.又SP⊥AB，AB与AD交于点A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以SP⊥平面ABCD.以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，S(0，0，)，故＝(0，－1，0)，＝(－1，0，)，所以＝λ＝(－λ，0，λ)(0≤λ≤1)，所以＝＋＝(－λ，－1，λ).又＝(1，1，－)，＝(2，0，0)，设平面SBC的法向量m＝(x，y，z)，则.令z＝1，则x＝0，y＝，所以m＝(0，，1).点M到平面SBC的距离为d＝＝＝，解得λ＝或λ＝(舍)，故选A.

2．答案：

解析：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则有D(0，0，0)，E(1，2，2)，设F(x，2，0)，作FO⊥DE，O为垂足，则点F到直线DE的距离为||，设＝λ，则有O(λ，2λ，2λ)，＝(1，2，2)，＝(λ－x，2λ－2，2λ)，∵⊥，∴·＝0，∴λ－x＋2(2λ－2)＋2×2λ＝0，∴x＝9λ－4，因此||＝＝，化简得||＝，当6λ－3＝0时，即λ＝时，此时x＝，||有最小值，最小值为.

3．解析：(1)证明：∵PA＝PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD，

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

而PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD.

(2)连接OC，∵底面ABCD为直角梯形，

其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝4，

∴OC⊥AD，又PO⊥平面ABCD，

∴以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

C(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，－2)，

设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，

则，取x＝1，得n＝(1，1，1)，

设线段AD上存在Q(0，m，0)，m∈[－2，2]，使得它到平面PCD的距离为，＝(0，m，－2)，

∴Q到平面PCD的距离d＝＝＝，

解得m＝－1或m＝5(舍去)，

则Q(0，－1，0)，则＝.