2020-2021学年1.2 空间向量基本定理测试题

课时跟踪检测（八）  用空间向量研究空间角问题

1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　 )

A．30°　　　　　　　　 B．150°

C．30°或150°  D．以上均不对

解析：选A　 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角θ的范围为0°<θ≤90°．故选A.

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为(　　 )

A．   B．

C．   D．

解析：选A　设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，E(1,2,0)，F(1,0，2)，＝(1,2,0)，＝(1,0,2)，设平面A1ECF的一个法向量n＝(x，y，z)，则即

令x＝－2，得y＝1，z＝1，

所以平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2,1,1)，又A1B1的方向向量为(2,0,0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，cos θ＝，∴tan θ＝.

3.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　 )

A．   B．

C．   D．

解析：选D　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，A1(1,0,1)，M，D(0,0,0)，N，则＝，＝，cos〈，〉＝＝0.

∴〈，〉＝.

4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD夹角的大小为(　　 )

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

解析：选B　建系如图，

设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．易知平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，

则得

令x＝1，则z＝1，

∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.

∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.

∴此角的大小为45°.

5.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　 )

A．1   B．

C．   D．

解析：选C　不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos〈，〉|＝＝＝，得λ＝.故选C.

6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．

解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.

答案：

7．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________.

解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2.

则C(0,2,0)，M(2,0,1)，

D1(0,0,2)，N(2,2,1)．

∴＝(2，－2,1)，

＝(2,2，－1)．

cos〈，〉＝＝－.

∴sin〈，〉＝.

答案：

8．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为________．

解析：由题意得＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．

设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．

由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝.因为平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．

所以平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为＝.

答案：

9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.

(1)求证：AO⊥平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

解：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.

因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，

所以AO2＋CO2＝AC2，

所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.

因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.

(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，所以cos〈，〉＝＝，

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.

10．(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1)证明：MN∥平面C1DE；

(2)求二面角A­MA1­N的正弦值．

解：(1)证明：连接B1C，ME.

因为M，E分别为BB1，BC的中点，

所以ME∥B1C，且ME＝B1C.

又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.

由题设知A1B1綊DC，

可得B1C綊A1D，故ME綊ND，

因此四边形MNDE为平行四边形，

所以MN∥ED.

又MN⊄平面C1DE，

所以MN∥平面C1DE.

(2)由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．

设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，

则所以

可取m＝(，1,0)．

设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，

则所以

可取n＝(2,0，－1)．

于是cos〈m，n〉＝＝＝，

所以二面角A­MA1­N的正弦值为.

1.如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则平面PBC与平面BFD夹角的正切值为(　　)

A．   B．

C．  D．

解析：选D　如图所示，设AC与BD交于O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O­xyz.

设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，

所以O(0,0,0)，B，F，C，＝，易知为平面BFD的一个法向量，由＝，＝，可得平面PBC的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，＝，sin〈n，＝，所以tan〈n，＝.

2．在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选D　不妨设AB＝BC＝PA＝2，∵OP⊥底面ABC，∴PO＝.根据题意，以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示．

则A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，P(1,1，)．

∵点O，D分别是AC，PC的中点，

∴＝＝.

又＝(0,2,0)，＝(1,1，)，

设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取n＝(－，0,1)，

∴cos〈n，〉＝＝，

∴sin θ＝(θ为OD与平面PBC所成的角)，故选D.

3.如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝. 求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．

解：如图，以A为坐标原点，分别

以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，S(0,0,1)，C(1,1,0)，D，

＝，＝(1,1，－1)．

设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则n·＝0，n·＝0，

所以所以

令z＝1，得n＝(2，－1,1)．

因为＝是平面SAB的一个法向量，

所以cos〈，n〉＝.

所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为.

4.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B­A1D­A的正弦值．

解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.

因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.

如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系A­xyz.

因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)．

(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)．

则cos〈，〉＝＝＝－.

因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.

(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)．

设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，

又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，

则即

不妨取x＝3，则y＝，z＝2，

所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，

从而cos〈，m〉＝＝＝.

设二面角B­A1D­A的大小为θ，则|cos θ|＝.

因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝.

因此二面角B­A1D­A的正弦值为.

5.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.

(1)证明：PC⊥AD；

(2)求平面PAC与平面PCD夹角的正弦值；

(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0，2)．

(1)证明：易得＝(0,1，－2)，＝(2,0,0)，则·＝0，所以PC⊥AD.

(2)易得＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．

设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．

由得

令z＝1，可得n＝(1,2,1)．

又＝(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，

所以cos〈，n〉＝＝，

从而sin〈，n〉＝.

所以平面PAC与平面PCD夹角的正弦值为.

(3)易得＝(2，－1,0)．

设AE＝h，h∈[0,2]，

则E(0,0，h)，所以＝.

所以cos〈，〉＝＝＝，

解得h＝，即AE＝.