高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第1课时课时练习

第一章　1.4　1.4.2　第1课时

A级——基础过关练

1．若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)

A． B．2

C． D．

【答案】D

【解析】由题意＝(＋)＝，＝－＝，||＝＝．

2．已知平面α过点A(1，－1，2)，和α垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，则点P(3，5，0)到α的距离为(　　)

A． B．2

C．3 D．

【答案】A

【解析】因为＝(－2，－6，2)，所以·n＝(－2，－6，2)·(－3，0，4)＝14，|n|＝＝5．所以点P到平面α的距离为＝．

3．在空间直角坐标系Oxyz中，O为坐标原点，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)，若点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】点P到平面OAB的距离d＝＝＝＝2．

4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则点P到各顶点的距离的不同取值有(　　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝3，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，所以＝(－3，－3，3)，设P(x，y，z)，因为＝＝(－1，－1，1)，所以＝＋(－1，－1，1)＝(2，2，1)．所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝，|PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3，|PB|＝，|PD1|＝＝2．故点P到各顶点的距离的不同取值有，3，，2，共4个．

5．(2021年太原月考)已知在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为(　　)

A．a B．a

C．a D．a

【答案】C

【解析】由题意得PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，建立空间直角坐标系如图所示，则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a)，于是＝(a，0，0)，＝(－a，a，0)，＝(－a，0，a)，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝z＝1，所以平面ABC的一个法向量n＝(1，1，1)，所以点P到平面ABC的距离d＝＝＝a．

6．(2021年张掖质检)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是(　　)

A．1 B．

C． D．2

【答案】B

【解析】以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝4，D是AA1的中点，所以B(2，2，0)，C1(0，4，4)，D(0，0，2)，A1(0，0，4)，所以＝(2，2，－2)，＝(0，4，2)，＝(0，0，2)，设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，因为n·＝0，n·＝0，所以取x＝，所以n＝(，－1，2)，所以点A1到平面DBC1的距离d＝＝＝．

7．(多选)下例四个命题中，正确命题有(　　)

A．若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为

B．若向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)且a⊥b，则m＝－5

C．已知AB为平面α的一条斜线段，点A(1，2，－1)在平面α上，n＝(1，0，1)为平面α的法向量，则点B(2，1，1)到平面α的距离为

D．若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，则α∥β

【答案】CD

【解析】对于A，因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则p＝a－2b＋3c，设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以解得x＝－，y＝，z＝3，所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为，故A不正确；对于B，∵向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)，且a⊥b，∴a·b＝－8－2＋2m＝0，解得m＝5，故B不正确；对于C，＝(1，－1，2)，点B到平面α的距离d＝＝＝，故C正确；对于D，两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，因为v＝－2u，所以v∥u，则α∥β，故D正确．故选CD．

8．(2021年衡水模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AC＝AA1＝2，AB＝2，M为BB1的中点，则点B1与平面ACM的距离为__________．

【答案】1

【解析】因为AB＝2，AC＝2，∠ABC＝90°，所以BC＝＝＝2，如图，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，2)，M(0，0，)，所以＝(－2，2，0)，＝(－2，0，)，＝(0，0，－)，设n＝(x，y，z)是平面ACM的一个法向量，则所以即令x＝1，则y＝1，z＝，所以平面ACM的一个法向量n＝(1，1，)，所以B1与平面ACM的距离d＝＝＝1．

9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝9，BC＝6，N为BC的中点，则直线D1C1到平面A1B1N的距离是__________．

【答案】9

【解析】如图，建立空间直角坐标系，设CD＝a，则D1(0，0，9)，A1(6，0，9)，B1(6，a，9)，N(3，a，0)，所以＝(6，0，0)，＝(0，a，0)，＝(－3，0，－9)．设平面A1B1N的法向量n＝(x，y，z)，则即取x＝3，则y＝0，z＝－，所以平面A1B1N的一个法向量为(3，0，－)．所以点D1到平面A1B1N的距离d＝＝＝9．又因为D1C1∥平面A1B1N，所以直线D1C1与平面A1B1N的距离仍是9．

10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，E是CD边的中点，将△DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB＝2．

(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；

(2)求点E到平面PAB的距离．

(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，

E是CD边的中点，将△DAE沿AE折起，

使点D到达点P的位置，且PB＝2，

∴AE＝＝2．

∴AE2＋ED2＝AD2．∴∠AED＝90°．

∴AE⊥AB．

∵AB2＋PA2＝PB2，∴AB⊥PA．

∵AE∩PA＝A，∴AB⊥平面PAE．

∵AB⊂平面ABCE，∴平面PAE⊥平面ABCE．

(2)解：∵AE＝2，DE＝2，PA＝2，

∴PA2＝AE2＋PE2．∴AE⊥PE．

∵AB⊥平面PAE，AB∥CE，

∴CE⊥平面PAE．∴EA，EC，EP两两垂直．

如图，以E为原点，EA，EC，EP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则E(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，P(0，0，2)，

＝(0，0，－2)，＝(2，0，－2)，＝(2，4，－2)．

设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，

则取x＝1，得n＝(1，0，1)，

∴点E到平面PAB的距离d＝＝＝．

B级——能力提升练

11．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的面A1B1C1D1上取一点E，使∠EAB＝∠EAD＝60°，则线段AE的长为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，设E(x，y，1)，故cos∠EAB＝＝＝，cos∠EAD＝＝＝．于是x＝y＝，故||＝＝．

12．(多选)(2022年广东联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥底面ABCD，AB＝1，AD＝3，AP＝2，点E在PD上，＝2，点M在棱PB上，则点M到平面ACE的距离可能为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】如图，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，E，所以＝(1，3，0)，＝，＝(－1，0，2)．设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，由得令x＝3，得n＝(3，－1，3)．设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ＝(1－λ，0，2λ)，所以点M到平面ACE的距离d＝＝(λ＋1)，因为0≤λ≤1，所以≤d≤．故选BD．

13．如图，正三棱锥S－ABC的高SO＝2，侧棱SC与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离是________．

【答案】

【解析】如图，建立空间直角坐标系，在Rt△SOC中，SO＝2，∠SCO＝45°，所以OC＝2，AB＝BC＝AC＝2，所以S(0，0，2)，A(－1，－，0)，B(－1，，0)，C(2，0，0)，所以＝(－1，－，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)．设平面SAB的法向量n＝(x，y，z)，则得取z＝1，则x＝－2，y＝0，所以平面SAB的一个法向量n＝(－2，0，1)，d＝＝＝．所以点C到侧面SAB的距离为．

14．(2021年重庆联考)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，若AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则＝________；点C到平面AEC1F的距离为________．

【答案】2　

【解析】以D为原点，DA，DC，DF所在直线为x，y，z轴可建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，a)，由＝得(－2，0，a)＝(－2，0，2)，∴a＝2，∴F(0，0，2)，∴＝(－2，－4，2)，∴＝＝2．设平面AEC1F的法向量n＝(x，y，z)，又∵＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)，∴令x＝1，解得y＝－，z＝1，∴n＝．∵＝(0，0，3)，∴C到平面AEC1F的距离d＝＝＝．

15．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点．

(1)求证：平面A1DC1∥平面EFG；

(2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离．

解：(1)∵E是AB中点，F是BC中点，

∴连接AC，得EF∥AC．

∵AA1∥CC1，∴ACC1A1是平行四边形．

∴A1C1∥AC．∴EF∥A1C1．

又∵A1C1⊂平面A1C1D，EF⊄平面A1C1D，∴EF∥平面A1C1D．

同理，连接AB1可得EG∥AB1∥DC1，可得EG∥平面A1C1D．

∵EF∩EG＝E，EF与EG⊂平面EFG，

∴平面A1C1D∥平面EFG﹒

(2)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，

∴＝(2，0，2)，1＝(0，2，2)，＝(0，1，－2)．

设平面A1DC1的法向量为n＝(x，y，z)，

则⇒取n＝(1，1，－1)，

则平面A1DC1与平面EFG间的距离为＝＝﹒