数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课堂检测

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8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
-----典例精讲

本节课知识点目录：
1、 棱柱的表面积；
2、 棱锥的表面积。
3、 棱台的表面积
4、 棱柱的体积；
5、 棱锥的体积。
6、 棱台的体积
7、 简单组合体的表面积和体积
8、 等体积变换与割补法
9、 面积最值
10、 体积最值
11、 联考、模考题选

一、棱柱的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积
【典型例题】
【例1】已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（       ）
A． B． C． D．135

【例2】已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（       ）

A．
B．
C．
D．

【例3】已知三棱柱的侧面均为矩形，求证：该三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．

【例4】用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．

【例5】三棱柱中，若存在点，使得点到三棱柱所有面所在平面的距离相等，则该三棱柱的侧面积与表面积之比为（       ）
A． B． C． D．
【例6】已知正四棱柱中，，，为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则__________.

【对点实战】
1.已知长方体全部棱长的和为，表面积为，则其体对角线的长为（       ）
A． B． C． D．

2.如图，正方体????−?1?1?1?1的棱长为a，将该正方体沿对角面??1?1?切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得的四棱柱的全面积为_________________.



3.若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为______.


4.正四棱柱的一条对角线长为9，表面积为144，适合这些条件的正四棱柱有___个.

5.已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.


二、棱锥的表面积
【典型例题】
【例1】正三棱锥中，若三条侧棱两两垂直，且顶点到底面的距离为，则这个正三棱锥的表面积为（       ）
A． B． C． D．

【例2】正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（       ）
A． B． C． D．

【例3】已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（       ）
A． B．
C． D．

【例4】在《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知四棱锥为阳马，底面ABCD是边长为2的正方形，有两条侧棱长为3，则该阳马的表面积为（       ）
A． B．
C． D．

【例5】正六棱锥底面周长为6，高为，则此锥体的侧面积等于（       ）
A． B． C． D．


【例6】如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，则此正三棱锥的表面积为___________．



【例7】若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是________(只需写出一个可能的值)




【例8】如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.

【对点实战】
1.已知正三棱锥的底面边长为6，点到底面的距离为3，则三棱锥的表面积是（       ）
A． B． C． D．

2.已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（       ）
A． B． C． D．

3.已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（       ）
A． B． C． D．

4.已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高夹角为，其侧面积为______，全面积为_____．

5.若在三棱锥中，，，则该三棱锥的表面积为______.


6.已知正四棱柱中，，，为上底面中心.设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为，，则__________.


三、棱台的表面积
【典型例题】
【例1】若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（       ）
A． B． C． D．

【例2】正四棱台上、下底面边长分别为，，侧棱长，则棱台的侧面积为（       ）
A． B． C． D．

【例3】《九章算术·商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尽……”，所谓“堑堵”，就是两底面为直角三角形的棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中点，过点B，C，M的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则该三棱台的表面积为（     ）

A．40 B．50
C．25＋15＋3 D．30＋20

【例4】已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．


【例5】一个几何体共有六个侧面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，腰为9cm，上、下底面都是正六边形，求该几何体的全面积．

【例6】正四棱台两底面边长分别为a和b(a （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【对点实战】
1.正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它侧面积为（       ）
A． B． C． D．

2.若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.

3.已知正四棱台两底面边长分别为，侧棱长为，则它的侧面积为_______．

4.如图所示，正四棱台的高是，两底面的边长分别是和.

（1）求这个棱台的侧棱长和斜高.
（2）求该棱台的侧面积与表面积.

5.正四棱台两底面边长分别为和.

（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.


四、棱柱的体积
棱柱体积：V棱柱＝Sh
【典型例题】
【例1】若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（       ）
A． B． C． D．

【例2】已知三棱锥的体积为，且，，，则三棱锥 的表面积为
A． B． C． D．



【例3】已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2,点D是的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为___________


【例4】一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________．


【例5】．斜三棱柱中，侧面的面积为S，且它与侧棱的距离为h，求此三棱柱的体积.


【对点实战】
1.若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（       ）
A． B． C． D．

2.如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为______．


3.如图，三棱柱的所有棱长都是，，．

（1）求三棱柱的全面积；
（2）若该三棱柱的体积为，且在下底面的正投影为下底面的中心，求的值．



五、棱锥的体积
棱锥的体积：V棱锥＝Sh
【典型例题】
【例1】已知三棱锥的体积为，且，，，则三棱锥的表面积为（       ）
A． B． C．或 D．或

【例2】六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（       ）

A． B． C． D．



【例3】将边长为的正方形沿对角线折起，使为正三角形，则三棱锥的体积为
A． B． C． D．

【例4】已知三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则三棱锥的体积为（       ）
A． B． C． D．


【例5】如图，在棱长为a的正方体中，P在线段上，且，M为线段上的动点，则三棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．与点M的位置有关

【例6】在如图所示的三棱锥容器中，，，分别为三条侧棱上的小洞，，，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（       ）

A． B． C． D．


【例7】如图，正方体，动点、在棱上，动点、分别在棱、上，若，，，（、、、大于零），则四面体的体积（       ）

A．与有关 B．与有关 C．与有关 D．与有关


【例8】
【对点实战】
1.在棱长为的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
A． B． C． D．

2.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（       ）.
A． B． C． D．

3.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（       ）
A． B． C． D．

4.已知平行六面体的体积为24，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为（       ）
A．4 B．6 C．8 D．16

5.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（       ）
A． B． C． D．

6.如图，在正三棱柱中，，则四棱锥的体积是________



六、棱台的体积
棱台的体积：V棱台＝(S′＋＋S)h
【典型例题】
【例1】在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（       ）
A． B． C． D．



【例2】若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（     ）
A．8 B．4
C．2 D．2

【例3】正四棱台的底面边长分别是和，侧面面积为，则这个正四棱台的体积为________.
【例4】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.


七、简单组合体的表面积与体积
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．

【典型例题】
【例1】钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie）形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（       ）
            
A． B． C． D．

【例2】某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（       ）

A． B． C． D．


【例3】如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（       ）

A． B．
C． D．



【例4】如图所示的铅笔模型是由正三棱柱和正三棱锥构成的，正三棱锥的底面边长和高都是1，正三棱柱的高是正三棱锥的高的20倍，则这只铅笔模型的体积是（       ）

A． B． C． D．


【例5】镇海中学大成殿具有悠久的历史，始建于北宋年间，大成殿建筑美观大气，如图：上建筑屋脊状楔体，下建筑是长方体．假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，，，，，，（长度单位：米）．则大成殿的体积为______（体积单位：立方米）．



【对点实战】
1.如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则___________.


2.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且，则___________.


3.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长宽高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是_____，表面积是_____. 


4.如下图是一个奖杯底座（四棱台）的三视图和直观图，､为上下底面的中心，､､､为各棱的中点.

（1）求它的体积；
（2）求它的表面积.


八、等体积变换与割补法
1.转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法．
2.对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法．

【典型例题】
【例1】如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，当底面水平放置时，则水面的高为（       ）

A．2 B． C．3 D．


【例2】已知三棱锥中，，分别是，的中点，在线段上，且，平面将该三棱锥截成一个四面体和一个五面体，分别记该四面体和五面体的体积为，，则______；若分别记该四面体和五面体的表面积为，，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）．



【例3】如图，四边形是正方形，四边形是矩形，平面平面，，，则多面体的体积为（       ）

A． B． C． D．

【例4】在棱长为的正方体中，为的中点， 则点到平面的距离为（       ）
A． B． C． D．


【例5】在三棱柱中，E，F分别是AB，AC的中点，平面把该三棱柱分成体积为，的两部分，则等于
A． B． C． D．



【例6】如图，已知直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱），点分别在侧棱和上，，平面把三棱柱分成上、下两部分，则上、下两个几何体的体积比为

A． B． C． D．


【例7】已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则（       ）
A．该三棱锥的内切球半径为 B．该三棱锥外接球半径为
C．该三棱锥体积为 D．该三棱锥体积为



【例8】在棱长为1的正方体中，直线与平面之间的距离为________．



【对点实战】
1.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（       ）g

A． B． C． D．


2.．三棱台中，，则三棱锥的体积之比是________．

江苏省宿迁市四校2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题

3.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是________．


4.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为______.

5.如图，在四面体中作截面，其中，，，则______．



九、 面积最值
【典型例题】
【例1】用长度分别是2，3，5，6，9（单位：）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（       ）
A． B． C． D．


【例2】我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，，若，当“阳马”体积最大时，则“堑堵”的表面积为

A． B． C． D．


【例3】两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是______________


【例4】有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_______．


【例5】如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的表面积为__________．



【例6】如图所示，在三棱锥中，和都是边长为2的等边三角形，则当此三棱锥的表面积最大时______．


【例7】一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值?



十、体积最值
棱台的体积：V棱台＝(S′＋＋S)h
【典型例题】
【例1】如图，在直三棱柱中，，.

（1）求该直三棱柱的表面积；
（2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，当该大棱柱表面积最大时，求该大棱柱的外接球的体积.


【例2】已知正方形的边长为，、分别为、的中点，沿将三角形折起到的位置，则三棱锥体积的最大值为（       ）
A． B． C． D．


【例3】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．


【例4】如图，在正方体中，点P是上的任意一点，点M，N分别是AB和BC上的点，且，若，则三棱锥体积的最大值是_______．



【例5】如图，在直三棱柱中，，，，，点为侧棱上的动点，当最小时，三棱锥的体积为______．



【例6】某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？



十一、联赛、联考与自主招生题选
【例1】一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（       ）
A． B． C． D．


【例2】命题“在中,若,、、所对应的边长分别为,则”,类比此性质,若在立体几何中,请给出对应四面体性质的猜想,并证明之.


【例3】已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为
A． B． C． D．













结束