高中8.3 简单几何体的表面积与体积练习

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (精练）

A学业基础

一、单选题

1．（2022·全国·模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其卷五“商功”中记载这样一个问题:今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺，问积几何?其含义是:今有正四棱锥，下底边长为丈尺，高丈尺，问它的体积为多少立方尺（    ）

(注丈尺)

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（    ）

A． B． C． D．14

3．（2022·全国·高一课前预习）长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为（      ）

A．12，32 B．12，24 C．22，12 D．12，11

4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比为（ ）

A．1∶1 B．1∶

C．1∶ D．1∶2

5．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．1

6．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥的各个顶点都在球心为，半径为的球面上，四边形为矩形，，则四棱锥的体积的最大值为（）

A． B．， C． D．

7．（2022·北京海淀·高三期末）如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是（    ）

A． B． C． D．

8．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）若两个正四面体的顶点都是一个体积为1的正方体的顶点，则这两个四面体的公共部分的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．（2022·黑龙江鸡西·高一期末）如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.

10．（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，分别是，，的中点，，分别是，的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，则___________.

11．（2022·上海长宁·高二期末）正四棱锥底面边长和高均为分别是其所在棱的中点，则棱台的体积为___________.

12．（2022·海南华侨中学高三阶段练习）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______．

三、解答题

13．（2022·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图为正四棱锥,平面，，.

（1）求正四棱锥的体积；

（2）求正四棱锥的表面积.

14．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，求三棱锥的体积.

B应考能力

15．（2022·北京·新农村中学高三阶段练习）已知正方体的棱长为1，面对角线上有一长为1的动线段，面对角线上有一长为1的动线段，则四面体的体积（    ）

A．有最大值但没有最小值 B．有最小值但没有最大值

C．有最大值也有最小值，但最大值不等于最小值 D．与两动线段位置无关，为定值

16．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知一个水平放置的棱长为的正方体的无盖盒子，里面装有若干水（不满），在上面放一个倒置的圆锥体，圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形.若水恰好不溢出，则原来正方体中水的深度估计为（    ）

（参考数据：）

A． B． C． D．

17．（2022·全国·高一课时练习）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，那么它的体积为（    ）

A． B． C． D．以上都不对

18．（2022·全国·高三专题练习）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

C新素养 新题型

19．(多选)（2022·河北·张家口市第一中学高一阶段练习）用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（    ）

A．侧面积之比为 B．侧面积之比为

C．体积之比为 D．体积之比为

20．(多选)（2022·安徽屯溪·高一期中）一个棱长为2的正方体，用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体，对这个新的几何体说法错误的是（    ）

A．所有截面面积和为 B．新几何体表面积为

C．新几何体表面积为 D．新几何体的体积为

21．(多选)（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（    ）

A．圆锥的体积为

B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为

C．圆锥截面的面积的最大值为

D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为

22．（2022·吉林松原·高三阶段练习）若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为___________，体积的最大值为___________.