数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优秀同步测试题

8.3　简单几何体的表面积与体积

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

课后篇巩固提升

基础巩固

1.长方体的三个面的面积分别是,则长方体的体积是(　　)

A.3 B.2 C. D.6

答案C

解析设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,∵长方体的三个面的面积分别是,∴解得a=,b=,c=1.∴长方体的体积V=abc=×1=.

2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是(　　)

A.

B.

C.

D.1

答案A

解析三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.

3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的全面积为(　　)

A.8 B.12 C.16 D.20

答案B

解析由题意得侧面三角形底边上的高为=2,所以该四棱锥的全面积为22+4××2×2=12.

4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)

A.3π B. C.π D.1

答案B

解析如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,故四棱锥的体积为×2×1=.则几何体的体积为2×.

5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为(　　)

A. B. C. D.

答案D

解析由题意,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为.

6.设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为　　　　　. 

答案28

解析上底面积S1=6××22=6,下底面积S2=6××42=24,∴体积V=(S1+S2+)·h=(6+24)×2=28.

7.正四棱柱的一条对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有　　　　　个. 

答案2

解析设底面边长为a,高为h,由题意得

这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.

8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长宽高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是　　　　　,表面积是　　　　　. 

答案90　138

解析该几何体的体积V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.

9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,则该棱锥的体积为　　　　　. 

答案

解析∵侧棱SA=2,高SO=2,

∴AO==2,因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=AB2·SO=×16×2=.

10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,求它的深度为　　　　　 cm. 

答案75

解析设油槽的上、下底面积分别为S',S.由V=(S++S')h,得h=

=75(cm).

能力提升

1.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面

恰好为中截面,则图①中容器内水面的高度是　　　　　. 

答案a

解析设题图①中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S△ABCh.又题图②中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S△ABC,高度为2a,则V=S△ABC·2a,

∴h=a.

2.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?

解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x,

于是OO1=h-PO1=h-x=h.

所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(a-x)x=.当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点.