高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程优秀当堂检测题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程优秀当堂检测题，共7页。

1．已知直线ax－by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．不存在
B [直线与圆相切，则圆心到切线的距离d＝ eq \f(|c|,\r(a2＋b2)) ＝1，
∴a2＋b2＝c2，故三角形为直角三角形．]
2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2 上的点到直线4x－3y－2＝0的最近距离为1，则圆的半径r为( )
A．4 B．5 C．6 D．9
A [由圆的方程可知圆心为(3，－5)，
圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝ eq \f(|4×3－3×（－5）－2|,\r(42＋（－3）2)) ＝5.依题意知，d－r＝1，∴r＝4.]
3．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( )
A．－ eq \r(3) 或 eq \r(3) B． eq \r(3)
C．－ eq \r(2) 或 eq \r(2) D． eq \r(2)
A [∵∠POQ＝120°，∴点O到直线y＝kx＋1的距离d＝ eq \f(1,2) .又d＝ eq \f(|0＋0＋1|,\r(k2＋1)) ＝ eq \f(1,2) ，∴k＝± eq \r(3) .]
4．(多选题)(2020·山东潍坊市高三月考)实数x，y，满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于 eq \f(y,x－1) 的判断正确的是( )
A． eq \f(y,x－1) 的最大值为 eq \r(3) B． eq \f(y,x－1) 的最小值为－ eq \r(3)
C． eq \f(y,x－1) 的最大值为 eq \f(\r(3),3) D． eq \f(y,x－1) 的最小值为－ eq \f(\r(3),3)
CD [由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0为圆心是C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0)) ，半径为1的圆，
则 eq \f(y,x－1) 为圆上的点与定点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0)) 的斜率的值，
设过P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0)) 点的直线为y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)) ，即kx－y－k＝0，
则圆心到直线kx－y＋k＝0的距离d≤r，即 eq \f(|－2k|,\r(1＋k2)) ≤1，
∴3k2≤1，∴－ eq \f(\r(3),3) ≤k≤ eq \f(\r(3),3) ，
∴ eq \f(y,x－1) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) ，即 eq \f(y,x－1) 的最大值为 eq \f(\r(3),3) ，最小值为－ eq \f(\r(3),3) .故选C、D.]
5．圆x2＋y2＝4上与直线l：4x－3y＋12＝0距离最小的点的坐标是( )
A．( eq \f(8,5) ， eq \f(6,5) ) B．( eq \f(8,5) ，－ eq \f(6,5) )
C．(－ eq \f(8,5) ， eq \f(6,5) ) D．(－ eq \f(8,5) ，－ eq \f(6,5) )
C [圆的圆心(0，0)，过圆心与直线4x－3y＋12＝0垂直的直线方程为3x＋4y＝0.
3x＋4y＝0与x2＋y2＝4联立可得x2＝ eq \f(64,25) ，所以它与x2＋y2＝4的交点坐标是(－ eq \f(8,5) ， eq \f(6,5) )，( eq \f(8,5) ，－ eq \f(6,5) ).又圆上一点与直线4x－3y＋12＝0的距离最小，所以所求的点的坐标为(－ eq \f(8,5) ， eq \f(6,5) ).]
6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－ eq \f(5,3) 或－ eq \f(3,5) B．－ eq \f(3,2) 或－ eq \f(2,3)
C．－ eq \f(5,4) 或－ eq \f(4,5) D．－ eq \f(4,3) 或－ eq \f(3,4)
D [圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3，2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3).由题意知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得 eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(1＋k2)) ＝1，即|5k＋5|＝ eq \r(1＋k2) ，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－ eq \f(4,3) 或k＝－ eq \f(3,4) .]
7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 eq \r(6) B．20 eq \r(6) C．30 eq \r(6) D．40 eq \r(6)
B [圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1.根据题意，最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2 eq \r(52－12) ＝4 eq \r(6) ，所以四边形ABCD的面积为
eq \f(1,2) |AC||BD|＝ eq \f(1,2) ×10×4 eq \r(6) ＝20 eq \r(6) .]
8．已知圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于 eq \r(5) ，则k的取值范围是( )
A．( eq \f(1,2) ，2)
B．(－2，－ eq \f(1,2) )
C．(－∞，－2)∪(－ eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )∪(2，＋∞)
D．(－∞，－ eq \f(1,2) )∪(2，＋∞)
C [圆x2＋y2－4x－2y－15＝0的圆心为(2，1)，半径为2 eq \r(5) .
∵圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于 eq \r(5) ，∴ eq \r(5) < eq \f(|－5k＋5|,\r(k2＋1)) <3 eq \r(5) ，
∴k的取值范围是(－∞，－2)∪(－ eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )∪(2，＋∞).]
9．(多空题)设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则 eq \r(（x－1）2＋（y－1）2) 的最大值为__________，最小值为________.
eq \r(26) ＋2 eq \r(26) －2 [ eq \r(（x－1）2＋（y－1）2) 的几何意义，即为动点P(x，y)到定点(1，1)的距离．因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，因此 eq \r(（x－1）2＋（y－1）2) 表示点(1，1)与该圆上点的距离．
易知点(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外，结合图易得 eq \r(（x－1）2＋（y－1）2) 的最大值为 eq \r(（1－0）2＋（1＋4）2) ＋2＝ eq \r(26) ＋2，最小值为 eq \r(（1－0）2＋（1＋4）2) －2＝ eq \r(26) －2.]
10．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求 eq \f(y,x) 的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值．
解 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2.
(1)(转化为斜率的最值问题求解)
eq \f(y,x) 表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示．
设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，
由圆心C(3，3)到切线的距离等于圆C的半径，
可得 eq \f(|3k－3|,\r(k2＋1)) ＝2，解得k＝ eq \f(9±2\r(14),5) .
所以 eq \f(y,x) 的最大值为 eq \f(9＋2\r(14),5) ，最小值为 eq \f(9－2\r(14),5) .
(2)(转化为截距的最值问题求解)
设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．
由圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得 eq \f(|3＋3－b|,\r(12＋12)) ＝2，
即|b－6|＝2 eq \r(2) ，解得b＝6±2 eq \r(2) .
所以x＋y的最大值为6＋2 eq \r(2) ，最小值为6－2 eq \r(2) .
11．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－ eq \r(4x－x2) 有公共点，则b的取值范围是( )
A．[1－2 eq \r(2) ，1＋2 eq \r(2) ] B．[1－ eq \r(2) ，3]
C．[－1，1＋2 eq \r(2) ] D．[1－2 eq \r(2) ，3]
D [数形结合，利用图形进行分析．由y＝3－ eq \r(4x－x2) 得(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，它表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示， eq \f(|2－3＋b|,\r(12＋12)) ＝2，得b＝1－2 eq \r(2) .当直线过(0，3)时，解得b＝3，∴1－2 eq \r(2) ≤b≤3.]
12．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2
C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1
D [∵直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，
∴直线mx＋y＋1＝0始终过圆的圆心(0，－1).
又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆的半径r＝ eq \f(|－1＋3|,\r(2)) ＝ eq \r(2) .
∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，即x2＋y2＋2y＝1.]
13．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是____________.
(x＋1)2＋y2＝5 [由题意知CA⊥PA，∴|CP|2＝|CA|2＋|PA|2.
有C(－1，0)，|CA|＝2，|PA|＝1，
设P的坐标为(x，y)，则(x＋1)2＋y2＝5.]
14．(多空题)圆x2＋(y＋4)2＝4上的点到直线l：x＋y＝1的距离的最大值为______________，最小值为__________．
eq \f(5\r(2),2) ＋2 eq \f(5\r(2),2) －2 [由图可知，x2＋(y＋4)2＝4的圆心C(0，－4)，半径r＝2.
由题意，得圆上的点到直线l的距离的最小值为dmin＝ eq \f(|0－4－1|,\r(2)) －2＝ eq \f(5\r(2),2) －2，最大值dmax＝ eq \f(|0－4－1|,\r(2)) ＋2＝ eq \f(5\r(2),2) ＋2.]
15．已知P(－1，2)为圆x2＋y2＝8内一定点．
(1)求过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程；
(2)求过点P且被圆所截得的弦最长的直线方程．
解 已知圆心C(0，0)，半径r＝2 eq \r(2) .
(1)当弦与PC垂直时，过点P且被圆所截得的弦最短．因为kPC＝ eq \f(2,－1) ＝－2，所以k＝ eq \f(1,2) ，因此所求的直线方程为y－2＝ eq \f(1,2) (x＋1)，即x－2y＋5＝0.
(2)当弦过圆心C时，过点P且被圆所截得的弦最长．
因为kPC＝－2，所以所求的直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0.