阶段测评(四) 直线和圆的方程（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

阶段测评(四)　直线和圆的方程

[对应学生用书P117]

(时间：60分钟　满分：75分)

一、单项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心C在y轴上，则圆C的方程为(　　)

A．(x－4)2＋y2＝50　　　　 B．(x＋4)2＋y2＝50

C．x2＋(y－4)2＝50     D．x2＋(y＋4)2＝50

D　[易得线段AB的垂直平分线为2x－y－4＝0.因为圆心在此垂直平分线上，令x＝0，得y＝－4，

∴圆心为(0，－4)，半径为＝5，

∴圆C的方程为x2＋(y＋4)2＝50.]

2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y＝0对称，则圆C2的方程为(　　)

A.(x＋1)2＋(y－1)2＝1     B．(x－1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1     D．(x－1)2＋(y－1)2＝1

B　[设点(x，y)与圆C1的圆心(－1，1)关于直线x－y＝0对称，则从而可知圆C2的圆心坐标为(1，－1)，又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.]

3．已知点A(3，3)，B(－1，1)是圆C的一条直径的两个端点，又点M在圆C上运动，点N(4，－2)，则线段MN的中点P的轨迹方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－2)2＝5     B．＋y2＝

C.(x＋)2＋y2＝     D．(x－2)2＋(y＋1)2＝5

B　[∵A，B是圆C的直径的两个端点，

∴圆心C(1，2)，半径r＝，

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.

设P(x，y)，M(x0，y0).∵线段MN的中点为P，∴

∵M在圆C上运动，∴(2x－5)2＋(2y)2＝5，即＋y2＝.故线段MN的中点P的轨迹方程为＋y2＝.]

4．过点(2，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)

A． 　　　B．－　　 　C．±　　　 D．－

B　[曲线y＝ 的图象如图所示．

若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k<0，设l：y＝k(x－2)，则点O到l的距离d＝.

又S△AOB＝|AB|·d＝×2·d＝，当且仅当d2＝1时，S△AOB取得最大值，

∴＝1，∴k2＝，

∴k＝－.]

二、多项选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)

5．已知圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0，直线l：x－y＋c＝0，则下列c的取值满足圆C上有四个不同的点到直线l的距离为2的是(　　)

A．－2      B．－1      C．0      D．1

BCD　[圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3.要求圆上有四个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则圆心到直线的距离<，即－2<c<2.故B，C，D都满足．]

6．(多选题)(2020·山东临沂市高二期中)若圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0的交点为A，B，则(　　)

A．公共弦AB所在直线方程为x＋y－3＝0

B．线段AB中垂线方程为x－y＋1＝0

C．公共弦AB的长为2

D．在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1

AD　[对于A，圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，联立两个圆的方程可得x＋y－3＝0，即公共弦AB所在直线方程为x＋y－3＝0，A正确；

对于B，圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，其圆心C1为(，)，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，其圆心C2为(1，1)，直线C1C2的方程为y＝x，即线段AB中垂线方程x－y＝0，B错误；

对于C，圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，即(x－)2＋(y－)2＝，其圆心C1为(，)，半径r＝，圆心C1(，)在公共弦AB上，则公共弦AB的长为，C错误；

对于D，圆心C1(，)在公共弦AB上，在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C1，D正确．故选A、D.]

三、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．请把正确答案填在题中的横线上．)

7．过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝__________．

2　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C代入，

得解得

则圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.

令y＝0，得x2－2x－20＝0，设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1，x2是方程x2－2x－20＝0的两根，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－20，

故|MN|＝|x1－x2|

＝＝＝2.]

8．(多空题)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相内切，则ab的最大值为________；若圆C1与圆C2有四条公切线，则直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系是________.

　相离　[由C1与C2内切得＝1，

即(a＋b)2＝1.则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故ab的最大值为.

由两圆存在四条切线，故两圆外离，

>3.∴(a＋b)2>9.

即a＋b>3或a＋b<－3.

则圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝>1，

∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．]

四、解答题(本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

9．(10分)求下列各圆的标准方程：

(1)已知圆C过点A(－1，1)和点B(1，3)，且圆心C在x轴上；

(2)圆心为(3，4)，被直线x＝1截得的弦长为2.

解　(1)设圆心坐标为C(a，0)，

∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即＝ ，解得a＝2，

∴圆心为C(2，0)，半径|AC|＝＝，

∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

(2)∵圆心到直线x＝1的距离为2，且圆被直线x＝1截得的弦长为2，

∴ 圆的半径r＝＝3，

∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9.

10．(12分)已知圆C以点(2，0)为圆心，且被直线x－y＋2＝0截得的弦长为2.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线l经过点M(5，5)，且与圆C相切，求直线l的方程．

解　(1)根据题意，设圆C的方程为(x－2)2＋y2＝r2.

若圆C被直线x－y＋2＝0截得的弦长为2，

又圆心到直线的距离为d＝＝2，

则r2＝22＋()2＝9，

所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.

(2)当斜率不存在时，直线l的方程为x＝5，显然圆心(2，0)到x＝5的距离为3，等于圆的半径，符合题意．

当斜率存在时，设斜率为k，则过点M的直线方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5－5k＝0，

圆心到直线的距离d＝＝3，解得k＝，

所以直线l的方程为8x－15y＋35＝0.

综上，所求的直线方程为x＝5或8x－15y＋35＝0.

11．(13分)已知圆x2＋y2＝4，点A(1，1)和B(1，－1)，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解　 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－1，2y－1).

因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－1)2＋(2y－1)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－)2＋(y－)2＝1.

(2)设PQ的中点为N(x，y).在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，OP，则ON⊥PQ，

所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y＋1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x＋y－1＝0.