2023年新高考数学一轮复习课时10.4《曲线与方程》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时10.4

《曲线与方程》达标练习

一 、选择题

1.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)

A.直线       B.椭圆          C.圆          D.双曲线

2.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)

A.圆        B.椭圆       C.双曲线        D.抛物线

3.已知方程＋＝1表示的曲线为C，给出以下四个判断：

①当1<t<4时，曲线C表示椭圆；

②当t>4或t<1时曲线C表示双曲线；

③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<；

④若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则t>4.

其中判断正确的个数是(　　)

A.1       B.2        C.3            D.4

4.已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1                B.－＝1      C.－＝1                   D.＋＝1

5.有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B.若△ABP为正三角形，

则点P的轨迹为(　　)

A.直线        B.圆         C.椭圆        D.双曲线

6.如图，已知F1，F2是椭圆Γ：＋=1(a＞b＞0)的左，右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　 　)

A.直线         B.圆       C.椭圆          D.双曲线

7.在△ABC中，B(－，0)，C(，0)，AB，AC边上的中线长之和为9.则△ABC重心G的轨迹方程是(　　)

A.＋＝1(y≠0)  B.＋＝1(y≠0)   C.－y2＝1(y≠0)   D.x2－＝1(y≠0)

8.已知过定点C(2，0)的直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，作OE⊥AB于E.则点E的轨迹方程是(　　)

A.x2＋y2－2x＝0(x≠0)     B.x2＋y2－2x＝0(y≠0)

C.x2＋y2－4x＝0           D.x2＋y2－4x＝0(y≠0)

9.设点A为圆(x－1)2＋y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则点P的轨迹方程为(　　)

A.y2=2x       B.(x－1)2＋y2=4     C.y2=－2x       D.(x－1)2＋y2=2

10.已知点F(0,1)，直线l：y=－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，

且·=·，则动点P的轨迹C的方程为(　　)

A.x2=4y       B.y2=3x      C.x2=2y       D.y2=4x

11.已知不等式3x2－y2＞0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y=x和直线y=－x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为，则点P的轨迹的一个焦点坐标可以是(　　)

A.(2，0)       B.(3，0)        C.(0，2)            D.(0，3)

12.在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2,0)，G，M为平面上的两点且满足G＋G＋G=0，|M|=|M|=|M|，G∥A，则顶点C的轨迹为(　 　)

A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)

B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)

C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)

D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)

二 、填空题

13.已知圆的方程为x2＋y2=4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，

则抛物线焦点的轨迹方程是________.

14.已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)，

则动点P的轨迹C的方程为__________.

15.在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a>0)，且满足条件：

sinC－sinB=sinA，则动点A的轨迹方程是         .

16.若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________.

0.答案解析

1.答案为：A

解析：设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1，3)，

即解得

又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，

所以点C的轨迹为直线，故选A.

2.答案为：B

解析：设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|=2a＞2c，

所以|PF1|＋|PO|=(|MF1|＋|MF2|)=a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.

3.答案为：B

解析：由4－t＝t－1，可得t＝，方程＋＝1表示圆，故①不正确；

由双曲线的定义可知：当(4－t)(t－1)<0时，即t<1或t>4时，方程＋＝1表示双曲线，故②正确；由椭圆定义可知：当椭圆在x轴上时，满足4－t>t－1>0，即1<t<时，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，故③正确；若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，则∴t<1，故④不正确，故选B.

4.答案为：D

解析：将圆F改写成标准方程(x－1)2＋y2＝12，则圆心F的坐标为(1,0)，半径r＝2，

由题意可知|PA|＝|PB|.又点P在圆F的半径BF上，故|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2>2＝|AF|，所以动点P的轨迹是以A，F为焦点，2为长轴长的椭圆，则2a＝2，2c＝2，所以b＝.故动点P的轨迹方程为＋＝1.故选D.

5.答案为：D

解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，

∵△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d=R，即|x|=R.

而R=|PF|=，∴|x|=·，

整理得(x＋3a)2－3y2=12a2，即－=1，

∴点P的轨迹为双曲线.故选D.

6.答案为：B；

解析：延长F2Q，与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|=|PM|，且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|=|F1M|=(|PF1|＋|PF2|).根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|=2a，所以|OQ|=a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.

7.答案为：B

解析：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，

∵BG＝BE，CG＝CD，∴BG＋CG＝(BE＋CD)＝6(定值).

因此，G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，2a＝6，c＝，

∴a＝3，b＝2，可得椭圆的方程为＋＝1.

∵当G点在x轴上时，A，B，C三点共线，不能构成△ABC.

∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为＋＝1(y≠0).故选B.

8.答案为：A

解析：直线l过定点C(2,0)，∵O(0,0)，C(2,0)，OE⊥CE，∴△OEC为直角三角形，

∴点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O，

故点E的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)，即x2＋y2－2x＝0(x≠0).故选A.

9.答案为：D

解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|=1.

又∵|PA|=1，∴|PM|==，即|PM|2=2.∴(x－1)2＋y2=2.

10.答案为：A

解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1).

∵·=·，∴(0，y＋1)·(－x,2)=(x，y－1)·(x，－2)，

即2(y＋1)=x2－2(y－1)，整理得x2=4y，

∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.

11.答案为：A；

解析：不等式3x2－y2＞0⇒(x－y)(x＋y)＞0⇒或

其表示的平面区域如图中阴影部分所示.点P(x，y)到直线y=x和直线y=－x的

距离分别为|PA|==，|PB|==，

∵∠AOB=120°，∴∠APB=60°，

∴S△PAB=×|PA|×|PB|sin 60°=×，又S△PAB=，

∴×=，∴3x2－y2=3，即x2－=1，

∴P点的轨迹是双曲线，其焦点为(±2，0)，故选A.

12.答案为：B；

解析：设C(x，y)(y≠0)，

由G＋G＋G=0，即G为△ABC的重心，得G.

又|M|=|M|=|M|，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，

又G∥A，则有M.所以x2＋2=4＋，化简得＋=1，y≠0.

所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).

二 、填空题

13.答案为：＋=1(y≠0)

解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，

则|AA1|＋|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|=|FA|＋|FB|，

所以|FA|＋|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线焦点的轨迹方程为＋=1(y≠0).

14.答案为：x2－=1(λ≠0，x≠±1).

解析：由题意知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，

所以kPM·kPN=·=λ，整理得x2－=1(λ≠0，x≠±1)，

即动点P的轨迹C的方程为x2－=1(λ≠0，x≠±1).

15.答案为：－=1.

解析：由正弦定理得－=×，即|AB|－|AC|=|BC|，

故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支.

即动点A的轨迹方程为－=1.

16.答案为：y2＝4(x－2)

解析：当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)，

点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由＝，

得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2).得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.

由联立得x＝x1＋x2＝.

y＝y1＋y2＝，消去参数k，得y2＝4(x－2).

当直线斜率不存在时，MN的方程为x＝1，P(2,0)在曲线y2＝4(x－2)上.