2023年新高考数学一轮复习课时10.2《双曲线》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时10.2

《双曲线》达标练习

一 、选择题

1.已知双曲线9y2－m2x2=1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=(　　)

A.1         B.2        C.3         D.4

【答案解析】答案为：D

解析：由题意知双曲线的一个顶点为，一条渐近线的方程为mx－3y=0，

则顶点到渐近线的距离为=， 解得m=4.

2.已知双曲线－=1(b＞0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)

A.2        B.2     C.6         D.8

【答案解析】答案为：D

解析：设双曲线的焦距为2c.由已知得=b，又c2=4＋b2，解得c=4，

则该双曲线的焦距为8.

3.已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，

则C的方程为(　　)

A.－=1        B.－=1     C.－=1        D.－=1

【答案解析】答案为：A

解析：由题意知解得∴双曲线C的方程为－=1.

4.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)

A.－=1          B.－=1     C.－=1          D.－=1

【答案解析】答案为：A；

解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c=4，a=2，b2=12，

即双曲线方程为－=1，故选A.

5.若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)

A.(，＋∞)       B.(，2)    C.(1，)       D.(1,2)

【答案解析】答案为：C

解析：依题意得，双曲线的离心率e＝ ，因为a>1，所以e∈(1，)，故选C.

6.双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)

A.y＝±x       B.y＝±x      C.y＝±x         D.y＝±x

【答案解析】答案为：C

解析：双曲线－＝1中a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x.

7.已知P是双曲线－y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是(　　)

A.－         B.        C.－          D.不确定

【答案解析】答案为：A；

解析：令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是－y=0，＋y=0，

所以可取|PA|=，|PB|=，

又cos ∠APB=－cos ∠AOB=－cos 2∠AOx=－cos=－，

所以·=||·||·cos∠APB=·(－)=×(－)=－.

8.已知双曲线C：－=1(b>0)的一条渐近线方程为y=x，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为双曲线C上的一点，|PF1|∶|PF2|=3∶1，则|＋|的值是(　　)

A.4           B.2          C.2         D.

【答案解析】答案为：C；

解析：由渐近线方程得=，

又a=2，所以b=，故c=.

设|PF1|=3k，|PF2|=k，

则由双曲线定义知3k－k=4，k=2，

所以|PF1|=6，|PF2|=2，

可判断∠F1PF2=90°，

所以以、为邻边的四边形为矩形，

所以|＋|=2.

9.已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)

A.m>n且e1e2>1         B.m>n且e1e2<1

C.m<n且e1e2>1         D.m<n且e1e2<1

【答案解析】答案为：A

解析：在椭圆中，a1＝m，c1＝，e1＝.在双曲线中，

a2＝n，c2＝，e2＝.因为c1＝c2，所以n2＝m2－2.

由n>0，m>1可得m>n，且m2－2>0.

从而e·e＝＝，

则ee－1＝－1＝>0，即e1e2>1.故选A.

10.已知F是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若|FM|=2a，记该双曲线的离心率为e，则e2=(　　)

A.        B.         C.        D.

【答案解析】答案为：A；

解析：由题意得，F(c，0)，该双曲线的一条渐近线为y=－x，将x=c代入y=－x得y=－，

所以=2a，即bc=2a2，所以4a4=b2c2=c2(c2－a2)，所以e4－e2－4=0，解得e2=，故选A.

11.已知抛物线y=x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，

则：①若AB的斜率为1，则|AB|=4；②|AB|min=2；③yM=－1；④若AB的斜率为1，则xM=1；⑤xA·xB=－4.

以上结论正确的个数是(　　)

A.1         B.2         C.3         D.4

【答案解析】答案为：B.

解析：由题意得，焦点F(0，1)，对于①，lAB为y=x＋1，联立，

得消去x，得y2－6y＋1=0，得yA＋yB=6，则|AB|=yA＋yB＋p=8，故①错误；

对于②，|AB|min=2p=4，故②错误；因为y′=，则lAM∶y－yA=(x－xA)，

即lAM：y=xAx－yA，同理lBM：y=xBx－yB，联立，得

解得M.设lAB为y=kx＋1，联立，得消去y，

得x2－4kx－4=0，xA＋xB=4k，xA·xB=－4，所以yM=－1，③和⑤均正确；

对于④，AB的斜率为1时，xM=2，故④错误，故选B.

12.已知F1，F2是双曲线E：－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是直线x=上一点，△F1PF2是顶角为θ的等腰三角形，若cos θ=，则双曲线E的离心率为(　　)

A.        B.2         C.        D.3

【答案解析】答案为：B；

解析：由题意知∠PF1F2=θ或∠PF2F1=θ，设直线x=与x轴的交点为D，则D（，0），

因为△F1PF2是顶角为θ的等腰三角形，cos θ=，若∠PF1F2=θ，则有|F1F2|=|PF1|=2c，

在Rt△PDF1中，|DF1|=|PF1|cos θ，即c＋=2c×，所以离心率e==2；

若∠PF2F1=θ，则有|F1F2|=|PF2|=2c，在Rt△PDF2中，|DF2|=|PF2|cos θ，

即c－=2c×，不合题意.综上，双曲线E的离心率为2.

二 、填空题

13.在平面直角坐标系xOy中，双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py

(p＞0)交于A，B两点.若|AF|＋|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.

【答案解析】答案为：y=±x

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知

|AF|=y1＋，|BF|=y2＋，|OF|=，

由|AF|＋|BF|=y1＋＋y2＋=y1＋y2＋p=4|OF|=2p，得y1＋y2=p.

联立消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2=0，

所以y1＋y2=，所以=p，即=，故=，

所以双曲线的渐近线方程为y=±x.

14.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为________.

【答案解析】答案为：2.

解析：[双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d==b.

∴b=c，∴a==c，∴e==2.]

15.已知F1、F2分别是双曲线x2－=1(b＞0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|=2且∠F1AF2=45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等         .

【答案解析】答案为：4；

解析：由题意知a=1，如图，

由双曲线定义知|AF1|－|AF2|=2a=2，|BF1|－|BF2|=2a=2，

∴|AF1|=2＋|AF2|=4，|BF1|=2＋|BF2|.

由题意知|AB|=|AF2|＋|BF2|=2＋|BF2|，

∴|BA|=|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形，

∵∠F1AF2=45°，∴∠ABF1=90°，∴△BAF1为等腰直角三角形.

∴|BA|=|BF1|=|AF1|=×4=2.∴S△F1AB=|BA|·|BF1|=×2×2=4.

16.已知F为双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且·=0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________.

【答案解析】答案为：

解析：因为·=0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F′，

则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|=|NF′|，|MN|=2c.

不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|=2a，

所以|MF|－|NF|=2a.因为S△MNF=|MF|·|NF|=ab，所以|MF|·|NF|=2ab.

在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2=|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|=|MN|2，

所以(2a)2＋2·2ab=(2c)2，把c2=a2＋b2代入，并整理，得=1，所以e==.