2023年新高考数学一轮复习课时10.5《直线与圆锥曲线的位置关系》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时10.5

《直线与圆锥曲线的位置关系》达标练习

一 、选择题

1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|=(　　)

A.         B.        C.5         D.

2.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为(　　)

A.1          B.2          C.3          D.4

3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，

则这样的直线(　　)

A.有且只有一条

B.有且只有两条

C.有且只有三条

D.有且只有四条

4.直线y=x＋3与双曲线－=1的交点个数是(　　)

A.1           B.2         C.1或2           D.0

5.已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则OB的斜率为(　 　)

A.3         B.2        C.－2         D.－3

6.若直线ax＋by－3=0与圆x2＋y2=3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆＋=1的公共点的个数为(　　)

A.0           B.1        C.2           D.1或2

7.已知双曲线x2－y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y=kx＋m与圆x2＋y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为(　　)

A.2        B.2       C.4        D.3

8.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)

A.1条         B.2条       C.3条         D.4条

9.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)

A.(0,]         B.(0,]         C.[,1)         D.[,1)

10.已知过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2＋y2－2x=0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则＋的值不可能为(　　)

A.3      B.4             C.5      D.6

11.过原点的直线l与双曲线－=－1有两个交点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.                  B.

C.∪         D.∪

12.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=(　　)

A.6           B.8         C.12           D.16

二 、填空题

13.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________.

14.设抛物线x2=4y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足=λ，若||=，

则λ的值为________.

15.已知双曲线E：－=1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(,-1)，则l的方程为________.

16.已知直线y=2x＋2与抛物线y=ax2(a＞0)交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若|A＋A|=|A－A|，则a=       .

0.答案解析

1.答案为：D；

解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|=p＋x1＋x2.∵p=2，∴|AB|=2＋=.

2.答案为：B

解析：不妨设A(x0，y0)在第一象限，

由题意可知即∴A，

又∵点A的抛物线y2＝2px上，∴＝2p×，即p4＝16，

又∵p>0，∴p＝2，故选B.

3.答案为：B；

解析：设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，

则|AB|=|AF|＋|FB|=xA＋＋xB＋=xA＋xB＋1=3＞2p=2.

所以符合条件的直线有且只有两条.

4.答案为：A；

解析：因为直线y=x＋3与双曲线－=1的一条渐近线y=x平行，

所以它与双曲线只有1个交点.

5.答案为：D；

解析：由题意可知，直线OA的方程为y=2x，

与抛物线方程y2=2px联立得得即A，

则直线AB的方程为y－p=6，

即y=6x－2p，与抛物线方程y2=2px联立得

得或所以B，

所以直线OB的斜率为kOB==－3.故选D.

6.答案为：C；

解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3=0的距离为＞，所以a2＋b2＜3.

又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.

由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜，|b|＜，由椭圆的方程知其长半轴长为2，

短半轴长为，所以P(a，b)在椭圆内部，

所以过点P的一条直线与椭圆＋=1的公共点有2个，故选C.

7.答案为：A；

解析：∵l与圆相切，∴原点到直线的距离d==1，

∴m2=1＋k2，由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)=0，

∴

∴k2＜1，∴－1＜k＜1，由于x1＋x2=，

∴x2－x1===，

∵0≤k2＜1，∴当k2=0时，x2－x1取最小值2.故选A.

8.答案为：C

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，

由得y＝±2，∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意.当直线l的斜率存在时，

其方程为y＝k(x－)，由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.

当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，

|AB|＝

＝＝＝＝4，

解得k＝±，故这样的直线有3条.故选C.

9.答案为：A

解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为

4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，

所以e＝＝ ＝ .因为1≤b<2，所以0<e≤.

10.答案为：A；

解析：作图如下：

由图可得，可设|PF|=m，|QF|=n，则|PM|=m－1，|QN|=n－1，

因为y2=4x，所以p=2，根据抛物线的常用结论，有＋==1，所以=1，

则m＋n=mn，所以＋=＋==4m＋n－5，

又因为(4m＋n)·1=(4m＋n)·=4＋＋＋1≥5＋2 ，

得4m＋n≥9，所以4m＋n－5≥4，则＋的值不可能为3，答案选A.

11.答案为：B；

解析：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y=kx，将其代入双曲线的方程－=1，

并整理得(3k2－1)x2－9=0.因为直线l与双曲线有两个交点，所以Δ=36(3k2－1)＞0，

所以k2＞，解得k＞或k＜－.

设直线l的倾斜角为α，由直线l的斜率k=tan α(0≤α≤π，且α≠)，

可得α∈∪；

当直线l的斜率不存在，即α=时，直线l为y轴，显然与双曲线有两个交点.故选B.

12.答案为：A.

解析：由题意知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0)，易知当直线AB垂直于x轴时，

△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y=k(x－1)(k≠0)，

与y2=4x联立，消去x得ky2－4y－4k=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以y1＋y2=，y1y2=－4，所以|y1－y2|=，

所以△AOB的面积为×1×=，解得k=±，

所以|AB|=|y1－y2|=6，故选A.]

二 、填空题

13.答案为：3.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，

则直线l的方程为y－0=(x- )，即y=x－p，联立抛物线方程，

消去y并整理，得12x2－20px＋3p2=0，则x1=p，x2=p，则==3.

14.答案为：.

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线x2=4y得焦点F的坐标为(0,1)，

准线方程为y=－1，∵||=，∴y1＋1=，解得y1=，

∴x1=±，由抛物线的对称性取x1=，

∴A，∴直线AF的方程为y=－x＋1，

由解得或

∴B(－2，2)，∴||=2＋1=3，

∵=λ，∴||=λ||，∴=3λ，解得λ=.

15.答案为：2x＋8y＋7=0

解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有，两式相减得=，即=×.

又线段AB的中点坐标是(,-1)，因此x1＋x2=2×=1，y1＋y2=(－1)×2=－2，

=－，=－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1=－(x- )，

即2x＋8y＋7=0.

16.答案为：2；

解析：由得ax2－2x－2=0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=－，

设PQ的中点为M，则xM=xA=，yA=ax=，

由|A＋A|=|A－A|可得A·A=0，即AP⊥AQ，

又M是线段PQ的中点，∴2|AM|=|PQ|，由于MA⊥x轴，

∴|MA|==＋2，

又|PQ|=|x1－x2|=·=·，

∴42=5，解得a=2，此时满足Δ＞0成立.故a=2.