2023年新高考数学一轮复习课时10.3《抛物线》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

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2023年新高考数学一轮复习课时10.3《抛物线》达标练习一 、选择题1.抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为(　　)A.           B.－           C.4           D.－4【答案解析】答案为：B.解析：由y=ax2，变形得x2=y=2×y，∴p=.又抛物线的准线方程是y=1，∴－=1，解得a=－.]2.设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)A.y2=4x或y2=8x     B.y2=2x或y2=8x    C.y2=4x或y2=16x     D.y2=2x或y2=16x【答案解析】答案为：C；解析：由已知得抛物线的焦点F(,0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则=，=.由已知得，·=0，即y－8y0＋16=0，因而y0=4，M.由|MF|=5得，=5，又p＞0，解得p=2或p=8，即抛物线方程为y2=4x或y2=16x.3.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若=4，则|QF|等于(　　)A.            B.          C.3            D.2【答案解析】答案为：C；解析：因为=4，所以||=4||，所以=.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，所以==，所以|QQ′|=3，根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3.4.已知抛物线y2=2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　 　)A.y2=4x       B.y2=－4x      C.y2=8x       D.y2=－8x【答案解析】答案为：D；解析：因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|=2p，所以S△CAB=×2p×=24，解得p=4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2=8x，所以直线AB的方程为x=2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=－8x，故选D.5.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=(O为坐标原点)，则·=(　　)A.－        B.       C.        D.－【答案解析】答案为：A；解析：不妨设M(m，)(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|=|MF|=，所以解得m=，p=2，所以=，=，所以·=－2=－.故选A.6.焦点为F的抛物线C：y2＝8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为(　　)A.y＝x＋2或y＝－x－2        B.y＝x＋2C.y＝2x＋2或y＝－2x＋2      D.y＝－2x＋2【答案解析】答案为：A解析：如图，过M作MP与准线垂直，垂足为P，则＝＝＝，则当取得最大值时，∠MAF必须取得最大值，此时直线AM与抛物线相切，可设切线方程为y＝k(x＋2)，与y2＝8x联立，消去x得ky2－8y＋16k＝0，所以Δ＝64－64k2＝0，得k＝±1.则直线方程为y＝x＋2或y＝－x－2.7.已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为(　 　)A.y2=x           B.y2=2x          C.y2=4x           D.y2=8x【答案解析】答案为：C；解析：由题意，得F，直线AB的方程为y=x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立y=x－和y2=2px得，y2－2py－p2=0，则y1＋y2=2p，所以y0==p，故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0=，即M，因为MC⊥AB，所以kAB·kMC=－1，故kMC=－1，从而直线MC的方程为y=－x＋p，令y=0，得x=p，故C，四边形CMNF的面积可以看作直角梯形CMNO与直角三角形NOF的面积之差，即S四边形CMNF=S梯形CMNO－S△NOF=·p－p·=p2=7，∴p2=4，又p＞0，∴p=2，故抛物线E的方程为y2=4x，故选C.8.如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　)A.n＋10          B.n＋20       C.2n＋10          D.2n＋20【答案解析】答案为：A解析：由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.9.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)A.2－1       B.2－2       C.－1       D.－2【答案解析】答案为：C　解析：由题意得圆x2＋(y－4)2=1的圆心A(0,4)，半径r=1，抛物线的焦点F(1,0).由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r=－1=－1.故选C.10.已知直线l：x－y－a=0与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|=，则a=(　　)A.－1        B.1      C.－2        D.2【答案解析】答案为：D；解析：∵直线l的方程为x－y－a=0，∴直线l的倾斜角为60°，∵直线l与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且|MN|=，∴|PQ|=sin 60°=8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得得x2－4x＋4a=0，由Δ＞0得a＜3，∴x1＋x2=4，x1x2=4a，∴|PQ|=·=8，即48－16a=16，∴a=2，故选D.11.已知M(x0，y0)是曲线C：－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若·＜0，则x0的取值范围是(　　)A.(－1,0)∪(0,1)       B.(－1,0)     C.(0,1)      D.(－1,1)【答案解析】答案为：A解析：由题意知曲线C为抛物线，其方程为x2＝2y，所以F(0,)，根据题意可知，N(x0,0)，x0≠0，＝(-x0,－y0)，＝(0，－y0)，所以·＝－y0(－y0)＜0，即0＜y0＜，因为点M在抛物线上，所以有0＜＜，又x0≠0，解得－1＜x0＜0或0＜x0＜1，故选A.12.抛物线C：y2=4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　)A.        B.        C.        D.3【答案解析】答案为：C；解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|=|EF|=|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，E，所以N(－1，)，M(0，2)，所以|NF|=，|NM|=，所以△MNF的面积为，故选C.二 、填空题13.若抛物线x2=4y上的点A到焦点的距离为10，则点A到x轴的距离是________.【答案解析】答案为：9.解析：[根据题意，抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，点A到准线的距离为10，故点A到x轴的距离是9.]14.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F与双曲线－y2=1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|=3，则直线AF的斜率为________.【答案解析】答案为：－2.解析：∵双曲线－y2=1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2=8x，∵|AF|=3，∴xA＋2=3，得xA=1，代入抛物线方程可得yA=±2.∵点A在第一象限，∴A(1，2)，∴直线AF的斜率为=－2.15.已知抛物线C1：y=ax2(a＞0)的焦点F也是椭圆C2：＋=1(b＞0)的一个焦点，点M，P(1.5,1)分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为     .【答案解析】答案为：2；解析：将P代入到＋=1中，可得＋=1，∴b=，∴c=1，∴抛物线的焦点F为(0,1)，∴抛物线C1的方程为x2=4y，准线为直线y=－1，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知当D，M，P三点共线时，|MP|＋|MD|最小，最小值为1－(－1)=2.16.直线y=k(x－1)与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=________.【答案解析】答案为：±.解析：[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，所以|AB|=x1＋x2＋2=，所以x1＋x2=.联立得到k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，所以x1＋x2==，所以k=±.]