2023年新高考数学一轮复习课时10.1《椭圆》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时10.1

《椭圆》达标练习

一 、选择题

1.已知椭圆＋=1(a＞b＞0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·=0，则椭圆的离心率为(　 　)

A.         B.         C.       D.

2.曲线C1：＋=1与曲线C2：＋=1(k<9)的(　 　)

A.长轴长相等      B.短轴长相等      C.离心率相等       D.焦距相等

3.已知点F1，F2分别为椭圆C：＋=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=(　 　)

A.4         B.6        C.8         D.12

4.设F1，F2分别为椭圆＋=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，

则的值为(　　)

A.        B.         C.        D.

5.椭圆＋=1的焦距为2，则m的值等于(　　)

A.5        B.3          C.5或3        D.8

6.已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)

A.(±，0)                  B.(0，±)

C.(±，0)或(±，0)       D.(0，±)或(±，0)

7.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为(　　)

A.         B.         C.         D.

8.椭圆ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)与直线y=1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)

A.        B.      C.        D.

9.已知点P是椭圆＋=1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，

O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·=0，则||取值范围是(　　)

A.[0,3)　　        B.(0,2)    C.[2，3)        D.(0,4]

10.如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)

A.         B.         C.         D.

11.如图，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该椭圆的离心率为(　　)

A.         B.         C.－1         D.

12.已知椭圆＋=1(a>b>0)的左顶点和上顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，

在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为(　 　)

A.          B.      C.      D.

二 、填空题

13.已知P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________.

14.已知A，B分别为椭圆＋=1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y= x的距离为1，则该椭圆的离心率为________.

15.椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为________.

16.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______.

0.答案解析

一 、选择题

1.答案为：D；

解析：由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，∴=(－a，－b)，=(c，－b).

∵·=0，∴－ac＋b2=0，即b2=ac.

又知b2=a2－c2，∴a2－c2=ac.∴e2＋e－1=0，

解得e=或e=(舍).∴椭圆的离心率为，故选D.

2.答案为：D.

解析：因为c=25－9=16，c=(25－k)－(9－k)=16，所以c1=c2，

所以两个曲线的焦距相等.

3.答案为：A.

解析：由|PF1|＋|PF2|=4，

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，

所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.

4.答案为：B；

解析：由题意知a=3，b=，c=2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，

因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以|PF2|==.

又因为|PF1|＋|PF2|=2a=6，所以|PF1|=2a－|PF2|=，所以=×=，故选B.

5.答案为：C

解析：当m>4时，m－4=1，∴m=5；当0<m<4时，4－m=1，∴m=3.

综上，m的值为5或3.

6.答案为：B

解析：因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，

所以圆锥曲线x2＋＝1即为椭圆x2＋＝1，易知其焦点坐标为(0，±)，故选B.

7.答案为：B

解析：由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a,0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为(，0)，将x＝，代入圆D的方程得y＝±，不妨设点A在x轴上方，即A(，)，代入椭圆C的方程可得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c，所以椭圆C的离心率e＝＝.

8.答案为：B

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by=1，ax＋by=1，

即ax－ax=－(by－by)，=－1，=－1，

∴×(－1)×=－1.∴=.故选B.

9.答案为：B；

解析：如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.

∵·=0，∴⊥.又MP为∠F1PF2的平分线，

∴|PF1|=|PG|，且M为F1G的中点.∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.

∵|F2G|=||PF2|－|PG||=||PF1|－|PF2||，∴||=|2a－2|PF2||=|4－|PF2||.

∵4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，∴||∈(0,2).

10.答案为：C

解析：设外层椭圆方程为＋＝1(a>b>0，m>1)，

则切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，切线BD的方程为y＝k2x＋mb，

则由消去y，得(b2＋a2k)x2－2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0.

因为Δ＝(2ma3k)2－4(b2＋a2k)(m2a4k－a2b2)＝0，整理，

得k＝·.由消去y，

得(b2＋a2k)x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，

因为Δ2＝(2a2mbk2)2－4×(b2＋a2k)(a2m2b2－a2b2)＝0，

整理，得k＝·(m2－1).所以k·k＝.因为k1k2＝－，

所以＝，e2＝＝＝，所以e＝，故选C.

11.答案为：C

解析：连接AF1，∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2，

又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF2F1＝∠AF2B＝30°，

因此，在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，|F1A|＝|F1F2|＝c，|F2A|＝|F1F2|＝c.

根据椭圆的定义，得2a＝|F1A|＋|F2A|＝(1＋)c，

解得a＝c，∴椭圆的离心率为e＝＝－1.故选C.

12.答案为：B.

解析：如图，由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，

由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，

线段F1F2为直径的圆x2＋y2=c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP=c，

即点O到直线AB的距离为c.

又直线AB的方程为y=x＋b，整理得bx－ay＋ab=0，

点O到直线AB的距离d==c，

两边同时平方整理得，a2b2=c2(a2＋b2)=(a2－b2)(a2＋b2)=a4－b4，可得b4＋a2b2－a4=0，

两边同时除以a4，得()2＋－1=0，可得=，

则e2===1－=1－=，故选B.

二 、填空题

13.答案为：

解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.

14.答案为：.

解析：根据椭圆的标准方程＋=1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，

A(－3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则＋=1，kAP=m=，kBQ=n=，

∴mn==，∴=，∴直线y= x=x，即x－3y=0.

又点A到直线y= x的距离为1，∴==1，解得b2=，

∴c2=a2－b2=，∴e===.

15.答案为：－1.

解析：设F′为椭圆的右焦点，则AF⊥AF′，∠AF′F=，

∴|AF|=|AF′|，|FF′|=2|AF′|，

因此椭圆C的离心率为===－1.

16.答案为：（，1）.

解析：设椭圆的方程为＋=1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹

的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，

故（）2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，

又0＜e＜1，所以＜e＜1.