2023年高考数学(文数)一轮复习课时48《曲线与方程》达标练习（2份，答案版+教师版）

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一、选择题
方程(x2＋y2－2x)eq \r(x＋y－3)=0表示的曲线是( )
A.一个圆和一条直线
B.一个圆和一条射线
C.一个圆
D.一条直线
【答案解析】答案为：D
解析：题中的方程等价于①x＋y－3=0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,x2＋y2－2x＝0.))
注意到圆x2＋y2－2x=0上的点均位于直线x＋y－3=0的左下方区域，即圆x2＋y2－2x=0上的点均不满足x＋y－3≥0，故②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3=0.
已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且|OD|=|BE|，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是( )
A.y=x(1－x)(0≤x≤1) B.x=y(1－y)(0≤y≤1)
C.y=x2(0≤x≤1) D.y=1－x2(0≤x≤1)
【答案解析】答案为：A；
解析：设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋eq \f(y,λ)=1(0≤x≤1)，
线段OE的方程为y=(1－λ)x(0≤x≤1)，联方方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(y,λ)＝1，0≤x≤1，,y＝1－λx，0≤x≤1))
(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y=x(1－x)(0≤x≤1).
已知圆M：(x＋eq \r(5))2＋y2=36，定点N(eq \r(5)，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足Neq \(P,\s\up15(→))=2 Neq \(Q,\s\up15(→))，Geq \(Q,\s\up15(→))·Neq \(P,\s\up15(→))=0，则点G的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,31)=1 C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)=1 D.eq \f(x2,36)－eq \f(y2,31)=1
【答案解析】答案为：A；
解析：由Neq \(P,\s\up15(→))=2 Neq \(Q,\s\up15(→))，Geq \(Q,\s\up15(→))·Neq \(P,\s\up15(→))=0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，
∴|GN|=|GP|，∴|GM|＋|GN|=|MP|=6＞2eq \r(5)，
∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a=6,2c=2eq \r(5)，∴b2=4，
∴点G的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1，故选A.
已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1(x＞3) D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1(x＞4)
【答案解析】答案为：C；
解析：如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，
所以|CA|－|CB|=8－2=6＜10=|AB|.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)=1(x＞3).
动点P(x，y)满足 SKIPIF 1 < 0 =|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
【答案解析】答案为：B.
解析：设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11=0，则|PF|= SKIPIF 1 < 0 ，
点P到直线l的距离d=eq \f(|3x＋4y－11|,5).由已知得eq \f(|PF|,d)=1，
但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线.选D.
平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足eq \(OC,\s\up15(→))=λ1eq \(OA,\s\up15(→))＋λ2eq \(OB,\s\up15(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
【答案解析】答案为：A.
解析：设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up15(→))=(x，y)，eq \(OA,\s\up15(→))=(3,1)，eq \(OB,\s\up15(→))=(－1,3).
∵eq \(OC,\s\up15(→))=λ1eq \(OA,\s\up15(→))＋λ2eq \(OB,\s\up15(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(3x＋y,10)，,λ2＝\f(3y－x,10)，))
又λ1＋λ2=1，∴x＋2y－5=0，表示一条直线.
已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cs θ=eq \f(3,4)，则方程x2sin θ－y2cs θ=1表示( )
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
【答案解析】答案为：D；
解析：因为(sin θ＋cs θ)2=1＋2sin θcs θ=eq \f(9,16)，所以sin θcs θ=－eq \f(7,32)＜0，
又sin θ＋cs θ=eq \f(3,4)＞0，所以sin θ＞－cs θ＞0，故eq \f(1,－cs θ)＞eq \f(1,sin θ)＞0，
而x2sin θ－y2cs θ=1可化为eq \f(y2,－\f(1,cs θ))＋eq \f(x2,\f(1,sin θ))=1，
故方程x2sin θ－y2cs θ=1表示焦点在y轴上的椭圆.
已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.
若eq \(MN2,\s\up10(→))=λeq \(AN,\s\up10(→))·eq \(NB,\s\up10(→))，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
【答案解析】答案为：C；
解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0).因为eq \(MN2,\s\up10(→))=λeq \(AN,\s\up10(→))·eq \(NB,\s\up10(→))，
所以y2=λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2=λa2，
当λ=1时，轨迹是圆；
当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；
当λ＜0时，轨迹是双曲线；
当λ=0时，轨迹是直线.
综上，动点M的轨迹不可能是抛物线.
方程(x2－y2－1)eq \r(x－y－1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )
【答案解析】答案为：B.
解析：原方程等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2－1＝0，,x－y－1≥0))或x－y－1=0，前者表示等轴双曲线x2－y2=1位于直线x－y－1=0下方的部分，后者为直线x－y－1=0，这两部分合起来即为所求.
已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
【答案解析】答案为：B；
解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，
∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点.
∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，
∴|PO|=eq \f(1,2)|F2S|=eq \f(1,2)(|QS|－|QF2|)=eq \f(1,2)(|QF1|－|QF2|)=a，∴点P的轨迹为圆.
已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=eq \f(1,3)，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是( )
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
【答案解析】答案为：D；
解析：在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，
垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离.由题意知|PE|2－|PM|2=1，
又因为|PE|2=|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2=1，
即|PF|2=|PM|2，即|PF|=|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离.
由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，
所以点P的轨迹为抛物线.
过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是( )
A.y=－1 B.y=－2 C.y=x－1 D.y=－x－1
【答案解析】答案为：A.
解析：抛物线的焦点为F(0,1)，设l：y=kx＋1，代入x2=4y得x2=4kx＋4，
即x2－4kx－4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=4k，x1x2=－4.
将y=eq \f(1,4)x2求导得y′=eq \f(1,2)x，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l1：y－y1＝\f(1,2)x1x－x1，,l2：y－y2＝\f(1,2)x2x－x2，))
由x2=4y得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l1：y＋y1＝\f(1,2)x1x，,l2：y＋y2＝\f(1,2)x2x，))两方程相除得eq \f(y＋y1,y＋y2)=eq \f(x1,x2)，
变形整理得y=eq \f(x1y2－x2y1,x2－x1)=eq \f(x1x2x2－x1,4x2－x1)=－1，所以交点P的轨迹方程是y=－1.
二、填空题
已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P(x，y)满足eq \(AP,\s\up15(→))⊥eq \(BP,\s\up15(→))，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案解析】答案为：(1,2)；
解析：由eq \(AP,\s\up15(→))⊥eq \(BP,\s\up15(→))，可得动点P(x，y)的轨迹方程为x2＋(y－2)2=1，
易知双曲线的一条渐近线方程为y=eq \f(b,a)x，由题意知圆心(0,2)到渐近线的距离大于半径1，
所以eq \f(2a,\r(a2＋b2))>1，即3a2>b2.又b2=c2－a2，所以3a2>c2－a2,4a2>c2，离心率e=eq \f(c,a)1，所以1