高中湘教版（2019）1.1 集合学案

充分条件和必要条件

某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关．

[问题]　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？

(2)从数学的角度如何描述这种关系？

知识点一　充分条件和必要条件

1．判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系

(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；

(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

2．充分条件、必要条件的理解

p⇒q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的．　　　　

1．p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

提示：相同，都是p⇒q.

2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

提示：这五种表述形式是等价的．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(　　)

(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　)

(3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立．(　　)

(4)“x>1”是“x>0”的充分条件．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

 2.(2021·姜堰二中月考)已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充分条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选B　已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，∴q⇒p，但p q，∴p是q的必要不充分条件．

3．(2021·日照高一月考)已知a，b∈R，则“a>b”是“>1”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．必要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选D　当a＝－1，b＝－2时，a>b，但＝<1；当a＝－2，b＝－1时，>1，但a<b.综上，“a>b”是“>1”的既不充分又不必要条件，故选D.

知识点二　充分必要条件(充要条件)

1．定义：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．当然，此时q也是p的充分必要条件．

2．记法：如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”．

3．传递性：“⇒”和“⇔”都具有传递性，即

(1)如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；

(2)如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s．

对充分必要条件的再理解

(1)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件；

(2)p是q的充分必要条件⇔p成立当且仅当q成立．　　　　

1．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

2．“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

1．(2021·无锡高一月考)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选C　设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．

2．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

答案：A

3．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．

答案：充要

[例1]　(链接教科书第16页例3)下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；

(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；

(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；

(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

[解]　(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝，x－1＝⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．

(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p⇒q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p.

所以p是q的充分不必要条件．

(3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.

故p q，但q⇒p.

所以p是q的必要不充分条件．

(4)因为

所以p是q的既不充分也不必要条件．

充分、必要、充要条件的判断方法

(1)定义法

若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件；

若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p q，q p，则p是q的既不充分又不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若AB，则p是q的充分不必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件．　　　　

[跟踪训练]

1．(多选)已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是(　　)

A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件

B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件

C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件

D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要条件

解析：选CD　对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2>bc2得c≠0，则a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分又不必要条件．故选C、D.

2．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示．

(1)因为q⇒r⇒s，s⇒q，所以s是q的充要条件．

(2)因为r⇒s⇒q，q⇒r，所以r是q的充要条件．

(3)因为p⇒r⇒s⇒q，所以p是q的充分条件.

[例2]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，

故有或

解得m≤3.

又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．

[母题探究]

1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，

所以或

解得m≥9，

故实数m的取值范围是{m|m≥9}．

2．(变设问)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．

若p是q的充要条件，则方程组无解．

故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤

(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　　　

[跟踪训练]

(2021·扬州中学月考)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A⊆(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________．

解析：A⊆(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}．

若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6；

若A≠∅，则A⊆B⇔⇔6≤a≤9.

综上可知，A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9；

一个充分不必要条件可为8≤a≤9.

答案：a≤9　8≤a≤9(答案不唯一)

[例3]　(链接教科书第17页例4)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等实根的充要条件是－<m<0.

[证明]　(1)充分性：∵－<m<0，

∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，

且－3m>0，

∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．

(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，

则有解得－<m<0.

综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.

充要条件的证明思路

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反；

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

[注意]　证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．　　　　

[跟踪训练]

(2021·盐城中学高一月考)已知a，b，c均为实数，证明“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件．

证明：充分性：∵ac<0，∴a≠0，∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程，且Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.

∵ac<0，∴x1·x2＝<0，∴x1，x2为一正一负，即ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：∵ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，∴a≠0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0为一元二次方程．

设两个根分别为x1，x2，则x1·x2＝<0，∴ac<0.

综上知，“ac<0”是“关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根”的充要条件.

[例4]　(1)关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件是(　　)

A．m<　　　　　　　　 B．m<

C．m<－  D．m<－

(2)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件者，用序号填空．

(ⅰ)a，b都为0的必要条件是________；

(ⅱ)使a，b都不为0的充分条件是________．

[解析]　(1)由题意可得Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.四个选项中，只有m<是m≤的必要条件，故选A.

(2)①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.

[答案]　(1)A　(2)(ⅰ)①②　(ⅱ)③

寻求充分条件、必要条件、充要条件的方法

(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p.即p⇒q；

(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p.即q⇒p；

(3)寻求q的充要条件有两种方法：

①等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证；

②非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两方面说明．　　　　

[跟踪训练]

(2021·连云港高级中学高一月考)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

解：①当a＝0时，方程为一元一次方程，其根为x＝－，符合要求．

②当a≠0时，方程为一元二次方程，此时ax2＋2x＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a≥0，从而a≤1.

设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

(ⅰ)方程ax2＋2x＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⇒a<0；

(ⅱ)方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件为⇒0<a≤1.

综上所述，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.

1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　)

A．必要不充分条件　　 B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选B　“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．

∴“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B.

2．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选D　若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件．

3．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　)

解析：选BD　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选B、D.