数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件导学案

充要条件

[课程目标] 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义，了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系；2.能通过充分性、必要性解决简单的问题；3.能对充分条件进行证明．

知识点　充分、必要条件与充要条件

1．充分条件、必要条件

2．充要条件：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作__p⇔q__．此时，我们说p是q的__充分必要条件__，简称为__充要条件__．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q__互为充要条件__．

[研读](1)“p是q的充分条件”的等价说法有：

①“若p，则q”为真；②p⇒q；③q是p的必要条件．

(2)“p是q的必要条件”的等价说法：

①“若q，则p”为真；②q⇒p；③q是p的充分条件．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．(　√　)

(2)“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．(　√　)

(3)“x2>1”是“x>1”的充分条件．(　×　)

(4)“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件.(　×　)

(5)已知p：x>0，y>0，q：xy<0.则p是q的既不充分又不必要条件．(　√　)

(6)已知p：x＝0，y＝0，q：x2＋y2＝0.则p是q的充要条件．(　√　)

【解析】 (1)由x＝y可以推出x2＝y2，则“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．

(2)当ab＝0时，不一定有b＝0，但b＝0时，一定有ab＝0，所以“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．

(3)当x2>1时，x>1不一定成立，如(－2)2>1，但－2<1；当x>1时，可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要条件．

(4)当x2－3x＋2＝0时，可得x＝1或x＝2；当x＝1或x＝2时，可推出x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要条件．

(5)因为x>0，y>0⇒/ xy<0，xy<0⇒/ x>0，y>0，所以p是q的既不充分也不必要条件．

(6)因为x＝0，y＝0 ⇒x2＋y2＝0，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2＋y2＝0⇒x＝0，y＝0，所以q是p的充分条件，p是q的必要条件，所以p是q的充要条件．

 下列各题中，分别指出p是q的什么条件．

(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；

(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A;

(4)p：a是自然数；q：a是正数.

解：(1)因为两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， 所以p是q的必要不充分条件.

(2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件.

(3)因为p⇒q，且q⇒p，所以p是q的充要条件.

(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇒/ q；又是正数，但不是自然数，故q⇒/ p．故p是q的既不充分也不必要条件．

[规律方法]

充分条件、必要条件的判定方法

(1)定义法：直接判断p⇒q和q⇒p是否成立，然后得结论．

(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围⇒/ 小范围．

(3)传递法：已知p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则p1⇒pn.

活学活用

下列各题中，p是q的什么条件？

(1) p：ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a>－1；

(2) p：1－x<2x－8，q：x－3>2；

(3) p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；

(4) p：x>2，y>2，q：x＋y>4.

解：(1)由ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22－4×a×(－1)>0且a≠0，得a>－1且a≠0，即p⇒/ q；反之，取a＝0，则方程ax2＋2x－1＝0只有一个实数根，即q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．

(2)易知p：x>3，q：x>5，所以p是q的必要不充分条件．

(3)因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件．

(4)p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件．

 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

证明：充分性：因为a＋b＝1，

所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝＝0.

必要性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝＝0，

所以a＋b＝1或a2－ab＋b2＝0.

又因为a2－ab＋b2＝>0，

所以a＋b＝1.

综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

[规律方法]

证明充要条件一般分为两个步骤，即证明充分性和必要性这两个方面．其中充分性就是要证明条件⇒结论，必要性就是证明结论⇒条件．所以在证明之前，一定要先分清楚哪个是条件，那个是结论．

活学活用

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一正一负根的充要条件是ac<0；

证明：充分性：ac<0⇒⇒x1x2<0；

必要性：ax2＋bx＋c＝0有一正一负根，则x1x2＝<0⇒ac<0.

综上可得，ax2＋bx＋c＝0有一正一负根的充要条件是ac<0.

 已知p：－3≤x≤1，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是(　C　)

A．{a|a>4}　　　　　B．{a|a≤0}

C．{a|a≥4}    D．{a|a<0}

【解析】 因为q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q⇒/ p，

所以或解得a≥4.故选C.

[规律方法]

利用充分、必要条件求参数的思路：根据充分、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．

【迁移探究1】 若将本例中“q是p的必要不充分条件”改为“q是p的充分不必要条件”，其他条件不变，则a的取值范围是__a≤0__．

【解析】 因为q是p的充分不必要条件，即q⇒p，但p⇒/ q，

所以或解得a≤0.

【迁移探究2】 本例中，是否存在实数a，使q是p的充要条件？若存在，求出a；若不存在，请说明理由．

解：若q是p的充要条件，则有方程组无解，所以，不存在实数a，使q是p的充要条件．

活学活用

1．已知P＝，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，若x∈Q是x∈P的充分条件，求实数a的取值范围．

解：∵P＝{x|x<－1，或x>3}，Q＝{x|(x＋1)·(x＋a)>0}，

由x∈Q是x∈P的充分条件⇔Q⊆P⇔－a≥3⇔a≤－3.

2．已知P＝，Q＝{x|(x＋1)(x＋a)>0}，若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．

解：P＝⇒∁RP＝{x|－1≤x≤3}，

Q＝⇒∁RQ＝{x|(x＋1)(x＋a)≤0}．

由x∈P是x∈Q的充分条件⇔P⊆Q⇔∁RQ⊆∁RP⇔－3≤a≤1.

1．下列四个命题中，真命题是(　C　)

A．两个无理数的和还是无理数

B．若a2＝b2，则a＝b

C．正方形的四边相等

D．菱形的对角线相等

【解析】 两个无理数的和不一定是无理数，如(1－)＋＝1；若a2＝b2，则a＝±b；正方形的四边相等；菱形的对角线互相垂直．

2．若a，b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的(　A　)

A． 充分不必要条件

B． 必要不充分条件

C． 充要条件

D． 既不充分也不必要条件

【解析】 由a＞b＞0可推出a2＞b2；但由a2＞b2无法推出a＞b＞0，如a＝－2，b＝1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要条件．

3．p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的(　D　)

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【解析】 菱形不一定是矩形，矩形也不一定是菱形．故选D.

4．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　A　)

A．x>1    B．x<1

C．x>3    D．x<3

【解析】 x>2⇒x>1，但x>1⇒/ x>2.故选A.

5．A，B是两个非空集合，由A⊆B可以推得的结论是__②⑤__．(填序号)

①A＝B；②A∩B＝A；③A∩B＝B；④A∪B＝A；

⑤(A∪B)⊇(A∩B).

【解析】 由Venn图知②⑤正确．

6．求证：方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根的充要条件是c＝(a－b)2.

证明：充分性：若c＝(a－b)2，

则x2－2(a－b)x＋c＝0化为x2－2(a－b)x＋(a－b)2＝0，

即[x－(a－b)]2＝0，所以x1＝x2＝a－b，所以方程有两个相等实数根．

必要性：因为方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根，

所以Δ＝[－2(a－b)]2－4c＝0，

整理得c＝(a－b)2.

所以，c＝(a－b)2是方程x2－2(a－b)x＋c＝0有两个相等实数根的充要条件．