湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数第二课时学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数第二课时学案，共12页。

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径．
[问题] (1)函数y＝sin x与y＝cs x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cs x的什么性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cs x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cs x的图象在什么位置取得最大(小)值？





知识点一 函数的周期性
1．周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有意义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
2．最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．
eq \a\vs4\al()
对周期函数定义的再理解
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期；
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与y＝Acs(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的周期常用公式T＝eq \f(2π,|ω|)来求．
是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
1．若函数f(x)的周期为3，且f(1)＝－2，则f(7)＝________．
答案：－2
2．函数y＝cs 2x的周期为________．
答案：π
3．函数y＝sin(－x)的周期为________．
解析：∵y＝sin(－x)＝－sin x，∴周期为2π.
答案：2π
知识点二 正弦函数、余弦函数的性质
eq \a\vs4\al()
1．正、余弦函数的单调性
正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．
2．三角函数的最值与单调性之间的联系
如图，由三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象可知：图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0＋eq \f(T,2)之间构成的区间为减区间，最小值点x0＋eq \f(T,2)与第二个最大值点x0＋T所构成的区间为增区间，
从而三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kT＋x0，kT＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(T,2)))))(k∈Z)，单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kT＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(T,2)))，kT＋（x0＋T）))(k∈Z)．
3．三角函数的最值与周期性之间的联系
由三角函数图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为eq \f(T,2)，相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为eq \f(T,4).
正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？
提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝3sin 2x是奇函数．( )
(2)函数y＝－cs eq \f(π,3)x是偶函数．( )
(3)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )
(4)余弦函数y＝cs x的一个减区间是[0，π]．( )
(5)∃x∈[0，2π]满足sin x＝2.( )
(6)当余弦函数y＝cs x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×
角度一 正、余弦函数的最小正周期
[例1] 求下列函数的最小正周期：
(1)ƒ(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；
(2)ƒ(x)＝|sin x|.
[解] (1)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2π))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x＋π）＋\f(π,3)))
＝ƒ(x＋π)，
即ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，
∴函数ƒ(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝π.
法二(公式法)：∵y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，∴ω＝2.
又T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.
∴函数ƒ(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝π.
(2)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝|sin x|,
∴ƒ(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ƒ(x)，
∴ƒ(x)的最小正周期为π.
法二(图象法)：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知最小正周期T＝π.
eq \a\vs4\al()
求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝eq \f(2π,ω)来求；
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
角度二 正、余弦函数的奇偶性和周期性的综合
[例2] 定义在R上的函数ƒ(x)既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，ƒ(x)＝sin x，求ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．
[解] ∵ƒ(x)的最小正周期是π，
∴ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))).
∵ƒ(x)是R上的偶函数，
∴ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
∴ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2).
[母题探究]
1．(变条件)若例2中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．
解：ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
2．(变设问)若例2条件不变，求ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,6)))的值．
解：ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,6)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19π,6)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,6)))
＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2).
eq \a\vs4\al()
1．解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
2．推得函数周期的若干形式：
(1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t；
(2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t；
(3)若f(x＋t)＝eq \f(1,f（x）)，则函数周期为2t；
(4)若f(x＋t)＝－eq \f(1,f（x）)，则函数周期为2t.
[跟踪训练]
1．下列函数中是奇函数，且最小正周期为π的函数是( )
A．y＝cs|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))
解析：选D y＝cs|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝cs 2x是偶函数，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
2．函数ƒ(x)为偶函数且ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－ƒ(x)，ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，则ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝________．
解析：∵ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－ƒ(x)，∴ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，即T＝π，ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
答案：1
角度一 正、余弦函数值的大小比较
[例3] (链接教科书第177页例3)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 250°与sin 260°；(2)cseq \f(15π,8)与cseq \f(14π,9).
[解] (1)∵函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上单调递减，且90°