人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理练习
展开这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理练习,共10页。试卷主要包含了基底的判断,基底的运用,基本定理的运用等内容,欢迎下载使用。
1.2 空间向量的基本定理
考点一 基底的判断
【例1】(2020·全国高二课时练习)在正方体中,可以作为空间向量的一组基底的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】:共面,排除A共面,排除B共面,排除D三个向量是不共面的,可以作为一个基底.故选:C
【举一反三】
1.(2020·全国高二课时练习)下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底中基向量与基底基向量对应相等
【答案】C
【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项,空间基底有无数个, 所以错.项中因为基底不唯一,所以错.故选.
2.(2018·全国高二课时练习)设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量,所以不能作为空间的一个基底.
选项D中,,根据空间向量共面定理得这三个向量共面,所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选:C.
3.(2018·开平市忠源纪念中学高二期末(理))若构成空间的一组基底,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵,∴
∵,∴
∵,∴故选A
考点二 基底的运用
【例2】(2019·佛山市荣山中学高二期中)如图,平行六面体中,为的中点,,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】为的中点,
.
故选:.
【举一反三】
1.(2019·甘肃靖远。高二期末(理))如图,在三棱锥中,点,,分别是,,的中点,设,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】连接
分别为中点
故选:
2.(2019·中央民族大学附属中学高二月考)在平行六面体ABCD-中,用向量来表示向量( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为, 故选B
3.(2020·江西吉安。高二期末(理))在四面体中,空间的一点满足,若共面,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由共面知,故选:
考点三 基本定理的运用
【例3】2020·绵竹市南轩中学高二月考(理))如图,在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱长都是,且它们彼此的夹角都是,为与的交点.若,,,
(1)用表示;
(2)求对角线的长;
(3)求
【答案】(1);(2);(3)
【解析】(1)连接,,,如图:
,,
在,根据向量减法法则可得:
底面是平行四边形
且
又为线段中点
在中
(2)顶点为端点的三条棱长都是,且它们彼此的夹角都是
由(1)可知
平行四边形中
故:
故:对角线的长为:.
(3),
又
【举一反三】
1.(2019·济南市历城第二中学高二月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于,是PC的中点,
设.
(1)试用表示出向量;
(2)求的长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵是PC的中点,
∴
(2)
.
2.(2017·陕西新城。西安中学高二期中(理))如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.
(1)设,,,用向量,,表示,并求出的长度;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1);;(2).
【解析】(1)
,同理可得,
.
(2)因为,
所以,
因为,
所以.
异面直线与所成角的余弦值为.
3.(2020·安徽宿州.高二期末(理))已知平行六面体的底面是边长为1的菱形,且,.
(1)证明:;
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】设,,
由题可知:两两之间的夹角均为,且,
(1)由
所以即证.
(2)由,又
所以,
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
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