人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用一课一练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用一课一练，共11页。试卷主要包含了平面的法向量，空间向量证明平行，空间向量证垂直等内容，欢迎下载使用。
1.4.1 空间向量应用(一)   考法一 平面的法向量【例1】(2020年广东潮州)如图已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量． 【答案】见解析【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴＝是平面SAB的一个法向量．(3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以得方程组∴令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【举一反三】1．(2020年广东惠州)正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析【解析】设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．∴∴∴令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.2．(2019·涟水县第一中学高二月考)四棱锥中，底面，为正方形的对角线，给出下列命题：①为平面PAD的法向量；  ②为平面PAC的法向量； ③为直线AB的方向向量； ④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量． 其中正确命题的序号是______________【答案】②，③，④【解析】①因为底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；②由底面是正方形知，因为底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，为平面PAC的法向量，②正确；③因为底面是正方形，所以，则为直线AB的方向向量，③正确；④易知，因为底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正确.故答案为：②，③，④考点二 空间向量证明平行【例2】(2019年广东湛江二中周测)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：PB∥平面EFG.(2)证明平面EFG∥平面PBC【答案】见解析【解析】 证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．∴＝(2，0，－2)，＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，设＝s＋t，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，∴解得s＝t＝2，∴＝2＋2，又∵与不共线，∴，与共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.(2)证明　∵＝(0，1，0)，＝(0，2，0)，∴＝2，∴BC∥EF.又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.【举一反三】1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【答案】见解析【解析】　法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD．法二　＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．法三　＝－＝－＝－＝－＝－.即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD．2．(2020·上海杨浦.复旦附中高二期中)已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______.【答案】直线在平面上或直线与平面平行【解析】由，所以.又向量为平面的一个法向量.所以直线在平面上或直线与平面平行.故答案为：直线在平面上或直线与平面平行.3．(2019·江苏海陵.泰州中学高二月考)已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.【答案】【解析】由题意，知，∴，即，∴.故答案为：考法三 空间向量证垂直【例3】(2020.广东.田家炳中学)如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.【答案】见解析【解析】方法一　设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λ＋μ.令＝a，＝b，＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，则＝a＋c，＝a＋b，＝a－c，m＝λ＋μ＝a＋μb＋λc，·m＝(a－c)·＝4－2μ－4λ＝0.故⊥m，结论得证．方法二　取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0)．因为n⊥，n⊥，故即令x＝1，则y＝2，z＝－，故n＝(1，2，－)为平面A1BD的一个法向量，而＝(1，2，－)，所以＝n，所以∥n，故AB1⊥平面A1BD.【举一反三】1．(2018·浙江高三其他)已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为(    )A． B． C．与相交但不垂直 D．【答案】A【解析】.本题选择A选项.2．(2020·安徽池州。高二期末(理))已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为(    )A． B．C． D．【答案】B【解析】因为直线平面，故直线l的方向向量与平面的法向量平行，因为,故选：B.3．(2019·瓦房店市实验高级中学高二月考)四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是(    )A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角【答案】B【解析】依题意，而，所以，而，所以平面.故选：B4．(2020·江苏省邗江中学高一期中)如图，在正方体中，分别是的中点，试用空间向量知识解决下列问题(1)求证：  (2)求证平面．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，，，，故，，故，故.(2)，故，故，又，，故平面.5．(2019·九台市第四中学高二期末(理))如图，平面，四边形是矩形， ，点是的中点，点在边上移动. (1)当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
(2)证明：无论点E在边BC的何处，都有.【答案】(1)平面，理由见解析.(2)证明见解析【解析】(1)是的中点，是的中点，.又平面.平面，平面.(2)以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，，，设，则在上，设，，，，.无论点在边的何处，都有.