高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用练习题

1.4.2 空间向量应用(二)

考点一 空间向量求线线角

【例1】(2020·全国高三一模(文))如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，两两垂直，

以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.

又因为，，

所以，，，，

因为是棱的中点，所以，

所以，，

所以，故选：B.

【举一反三】

1．(2020·河南高二)已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设正方体的棱长为1，如图所示，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有．

设，则，，

所以．

又因为，所以．

故选：A．

2.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】　C

【解析】如图所示，取AC的中点D，以D为原点，BD，DC，DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC＝2，则A(0，－1，0)，M(0，0，2)，

B(－，0，0)，N，

所以＝(0，1，2)，

＝，

所以cos〈，〉＝＝＝，故选C.

3．已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　)

A．　   B．　　　C．　　　D．

【答案】C　

【解析】依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S­ABCD的棱长为，

则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E点坐标为，

＝，＝(－1,0，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，

故异面直线所成角的余弦值为.故选C

考点二 空间向量求线面角

【例2】(2020·全国高二)如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.

(1)求证：；

(2)若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析；(2).

【解析】(1)因为，，所以.

因为为正方形，所以，

又因为，所以.

因为，所以.

因为，故，而为线段的中点，

所以，

又因为，所以.

而，故；

(2)因为，，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则，，，，，

∴，，

设为平面的法向量，则

所以取，则，而，

故直线与平面所成角的正弦值为

【举一反三】

1．(2020·浙江高三开学考试)如图，四棱锥中，，，，，，．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)如下图所示，取的中点，连接.

，，为的中点，则，，

又，可得，四边形为平行四边形，，

且，，

，，，则，，

，，平面，

平面，因此，；

(2)以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、、，

所以，，，.

设平面的法向量为，

由，得，可得，

令，可得，，则，

.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

2．(2020·天津河西.高三二模)在正四棱柱中，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面；

(3)若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)

【解析】如图建立空间直角坐标系，

(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)

(1)证明：设平面的法向量(，，)，

(1，1，0)，(0，1，1)

由，即，

取，得(1，-1，1)，

又(-1，1，2)，

因为，所以，所以平面.

(2)证明：由(1)可知(1，-1，1)，(-1，1，-1)，，所以，

所以平面.

(3)设点的坐标为(1，1，)，(0，1，)，

设直线与平面所成角为，则，

解得，所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，，

所以的长为.

3．(2020·江苏)如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.

(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；

(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.

【答案】(1)；(2).

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，易知C(0，0，0)，

A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，，)，P(1，1，3)，

设直线CE与直线PA夹角为，则

整理得；

直线CE与直线PA夹角的余弦值；

(2)设直线PC与平面DEC夹角为，

设平面DEC的法向量为，

因为，

所以有

取，解得，，

即面DEC的一个法向量为，，

.

直线PC与平面DEC夹角的正弦值为.

考点三 空间向量求二面角

【例3】(2020·河南高三其他(理))如图，在三棱锥中，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2)．

【解析】(1)，

平面，平面，

平面．   

又平面，

．         

在中，，

，

，即． 

又平面平面，

平面．   

(2)据(1)求解知，两两互相垂直．

以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，

则，

．  

设平面的一个法向量，则

令，则，

．   

又平面的一个法向量，   

．  

又分析知二面角的平面角为锐角，

二面角的余弦值为．

【举一反三】

1．(2020·全国)如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)如图，连接，因为平面，所以.

又因为在圆周上，为圆的直径，所以，.

故平面.

(2)因为，直径，，所以，，

由(1)得，，，

垂直于圆所在的平面，所以.

因为，以点为坐标原点，以、为、轴建立如图空间直角坐标系，则、、、，

，，

设平面的法向量，则，即，

取，得.

同理可求得平面的一个法向量.

设与的夹角为，故，

又由图知为锐二面角，二面角的余弦值为.

2．(2020·全国)如图，已知四棱锥中，是平行四边形，，平面平面，，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)证明：如图，取的中点，连接，，

因为，，分别为，，的中点，

所以，，

又因为，，

所以，且，

所以四边形是平行四边形，

所以.

因为平面，平面，

所以平面.

(2)因为平面平面，平面平面，平面，，

所以平面.

因为平面，

所以，

又，，

所以平面.

所以以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则轴在平面内.令，又，，

所以，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则所以

令，则，，所以.

又平面，所以是平面的一个法向量.

所以.

所以二面角的余弦值为.

3．(2020·全国)如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)因为平面，平面，

所以.因为，

所以，所以，

故.又，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

(2)如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，

则，，，，

易知为平面的一个法向量.

设为平面的一个法向量，

由，即∴，

取，则，.

依题意，，解得.

于是，，.

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法求二面角，直线与平面所成的角，证明垂直常用相应的判定定理或性质定理，求空间角常用空间向量法．

考点四 空间向量求距离

【例4】(2020·全国高二课时练习)如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图建立空间直角坐标系，则：

由于平面平面

，又，

平面

故平面的一个法向量为：

到平面的距离为：

故选：B

【举一反三】

1．(2019·湖南高二期末)已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为(    )

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】由题意，则，故选：A

2．(2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模(理))已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，，，，，.

，，.

设平面的法向量，

则，令，得，，

故.

因为直线与平面所成角的正切值为，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

即，解得.

所以平面的法向量，

故到平面的距离为.

故选：D

3．(2020·全国高二课时练习)若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)..

设平面ABC的一个法向量为，由得：.

令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离.故选：.